新人教版九年级数学下册第26章反比例函数全面复习(分知识点总结题型讲解).doc
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新人教版九年级数学下册第26章反比例函数全面复习
（分知识点总结题型讲解）
知识结构
（二）学习目标
1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．
2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．
4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．
5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．
（三）重点难点
1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．
2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．
二、基础知识
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：
（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：
双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：
图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（3）反比例函数与一次函数的联系．
（四）实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；
（2）根据实际意义列函数解析式．
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
（五）充分利用数形结合的思想解决问题．
第一部分：
基础知识
考点1：
反比例函数概念（A）y=（k≠0），（B）xy=k（k≠0）（C）y=kx-1（k≠0）
例题1、判断下列各式哪些是反比例函数？
①；②；③；④；⑤
例题2、已知函数，当取何值时，它是反比例函数，
当堂巩固
1、反比例函数的图象经过点（2，5），若点（1，）在反比例函数的图象上，则等于（）（A）10．（B）5．（C）2．（D）0.1．
2、下列关系式中，哪个等式表示是的反比例函数（）
A：
B：
C：
D：
3、某工厂先有原料100吨，这些原材料能用的天数y与每天平均用的吨数x之间的函数关系为。
4、某奶粉生产厂要制造一种容积为2升（1升＝1立方分米）的圆柱形桶,桶的底面面积与桶高有怎样的函数关系式.
5、下列问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）
A、小明完成100m赛跑，所用时间t（s）与他跑步的平均v（m/s）之间的关系
B、菱形的面积为48平方厘米，它的两条对角线的长为y（厘米）与x（厘米）的关系
C、一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系
D、压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系
6、如果函数是反比例函数，那么k=
7、已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则m的值为
8、若与－3成反比例，与成正比例，则是的（ ）
A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定
9、如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（）
A．反比例函数B．正比例函数C．一次函数D反比例或正比例
10、已知与成正比例．与成反比例，那么与之间的关系是（）
（A）成正比例（B）成反比例（c）有可能成正比例，也有可能是反比例（D）无法确定．
考点2：
反比例函数图像
例题1、若反比列函数的图像经过二、四象限，则的值为多少？
例题2、如图，函数y＝与y＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（）
当堂巩固
1、反比例函数的图象位于（）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限
2、如果反比例函数的图象经过点（3，－1），那么函数的图象应在（）
A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、二象限 D．第三、四象限
3、如果反比例函数的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ）
A、第一、三象限 B、第一、二象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限
4、已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（）．
（A）k＞2（B）k≥2（C）k≤2（D）k＜2
5、已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则的取值范围是．
6、已知反比例函数y=，其函数图象在第一、第三象限内，则k的值可为_______（任写一个值即可）。
7、反比例函数的图象经过点（2，1），则的值是．
8、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（
A、－1或1 B、小于的任意实数C、－1 Ｄ、不能确定
9、如图是三个反比例函数y=，y=，y=在x轴上方的图象，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（）
A．k1>k2>k3B．k3>k2>k1C．k2>k3>k1D．k3>k1>k2
10、已知反比例函数的图像经过点（，），则它的图像一定也经过（ ）
A、（－,－）B、（,－）C、（－，）D、（0，0）
考点3：
反比例函数图像的性质
例题1、反比例函数，当，y随x的增大而.
例题2、若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的两点，且x1>x2>0，则y1y2（填“>”“=”“<”）．
例题3、设有反比例函数,为其图象上两点,若,则的取值范围.
例题4、已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=在同一直角坐标系中的图象如图所示，则
当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3
当堂巩固
1、反比例函数y＝的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，则k的值可为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2、在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（）
A．k＞3B．k＞0C．k＜3D．k＜0
3、设有反比例函数，、、为其图象上的点，则的大小关系为；
4、已知反比例函数的图象上有三点,C（（且＜则有（）
（A）（B）（C）（D）
5、下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是（）
A．y=3x+4B．y=x-2C．y=-D．y=
6、在反比例函数的图象上有两点A，B，当时，有，则的取值范围是（）A、B、C、D、
7、在反比例函数（k<0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且>>0，则的值为（） A、正数 B、负数C、非正数 D、非负数
8、若M、N、P三点都在函数（ｋ＜0）的图象上，则的大小关系为（ ）A、＞＞ B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞
9、若A（，）、B（，）在函数的图象上，则当、满足________时，＞.
x
o
y
x
o
y
x
o
y
A
C
D
x
o
y
B
10、如图所示，如果点A（x,y）和点B（x,y）是直线y=kx－b上的两点，且当x图②
y
C′
O
1
2
3
1
2
3
－1
－3
－2
－1
－2
x
·
P′
A′
B′
11、一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象是
12、在下图中，反比例函数的图象大致是（）
13、当>0时，两个函数值y，一个随x增大而增大，另一个随x的增大而减小的是（）．
A．y=3x与y=B．y=-3x与y=C．y=-2x+6与y=D．y=3x-15与y=-
14、如图，函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜-1或0＜x＜2B．x＜-1或x＞2
B．C．-1＜x＜0或0＜x＜2D．-1＜x＜0或x＞2
考点4：
反比例函数的解析式与图像面积的关系
根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系
即S=|k|．
例题1、在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，AB/AO=，反比例函数的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，求D点的坐标；
例题2、如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，求△ABC的面积；
当堂巩固
h
a
O
h
a
O
h
a
O
h
a
O
1、已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是图（）
2、矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数之间的函数关系图象大致应为（）
3、如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得（）
（A）S1＞S2（B）S1＝S2（C）S1＜S2（D）大小关系不能确定
4、如图2,点P是x轴上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ交双曲线于点Q,连结OQ,当点P沿x轴正半方向运动时,Rt△QOP的面积（）。
A.逐渐增大;B.逐渐减小;C.保持不变;D.无法确定
5、图中三角形ABC的面积为：
6、如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为2，则k＝.
7．如图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则．
7题图
6题图
5题图
8、如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB∥轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，求四边形OABC的面积是.
第二部分：
综合运用
题型一：
求交点坐标与函数解析式
例题1如图，一次函数的图象经过点B（，0），且与反比例函数（为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点（1，）．求：
y
O
A
B
x
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当时，反比例函数的取值范围．
例题2.右图中曲线是反比例函数y=的图像的一支。
（1）这个反比例
△AOB的面积为2，求n的值。
当堂巩固
1.如图，已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，一2）．
⑴求直线y=ax+b的解析式；
⑵设直线y=ax+b与x轴交于点M，求AM的长．
2.如图，正比例函数与反比例函数相交于A、B点，已知点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4。
过点A的一次函数与反比例函数的图像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）。
（1）求正比例函数、反比例函数和一次函数的解析式；
（2）结合图像，求出当时x的取值范围。
题型二：
求几何图形的面积
例题1.如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A（2，3），B（－3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞的
解集______________；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
例题2、如图所示，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，⊥轴于点，交于点，⊥轴于点，交于点，求四边形的面积；
当堂巩固
1、如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线（x>0）于点N；作PM⊥AN交双曲线（x>0）于点M，连结AM.已知PN=4.
（1）求k的值.
（2）求△APM的面积.
2．已知一次函数的图象与么比例函数的图象交于A、B两点，.已知当
时，；当时，.
⑴求一次函数的解析式；
⑵已知一次函数在第一象限上有一点C到轴的距离为3，求△ABC的面积.
题型三：
反比例函数的动点问题
例题1、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？
如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
例题2、反比例函数和一次函数，其中一次函数图像经过，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求出两函数的交点的坐标．在轴上是否存在点，使为等腰三角形？
若存在，把符合条件的点的坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
题型四：
反比例函数综合题
例题1、如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B（a，b）在第一象限，四边形OABC是矩形，若反比例函数（k＞0，x>0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且BE=CE.
（1）求证：
BD=AD；
（2）若四边形ODBE的面积是9，求k的值.
例题2、如图反比例函数的图象过矩形的顶点，、分别在轴、轴的正半轴上，．
（1）设矩形的对角线交于点，求出点的坐标；
（2）若直线平分矩形面积，求的值．
当堂巩固
1、已知：
在矩形中，，．分别以所在直线为轴和轴，建立如图
所示的平面直角坐标系．是边上的一个动点（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．
（1）求证：
与的面积相等；
（2）记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：
是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知A、B两点是反比例函数的图象上任意两点，如图，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，连结AB、AO、BO，求梯形ABDC的面积与△ABO的面积比．
题型五：
反比例函数应用
例题1、保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1月的利润为200万元．设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．
⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．
⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？
⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
当堂巩固
1、病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含量达到归大值为4毫克。
已知服药后，2小时前每毫升血液中的含量y（毫克）与时间x（小时）成正比例；2小时后y与x成反比例（如图所示）。
根据以上信息解答下列问题：
（1）.求当时，y与x的函数关系式；
（2）.求当时，y与x的函数关系式；
（3）.若每毫升血液中的含量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
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