新人教版九年级上学期数学导学案.doc

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第二十一章　一元二次方程

21．1　一元二次方程

1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．

2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）及有关概念．

3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．

重点：

一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．

难点：

由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．

一、自学指导．（10分钟）

问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：

设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__（100－2x）cm__，宽为__（50－2x）cm__．列方程__（100－2x）·（50－2x）＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①

问题2：

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：

全部比赛的场数为__4×7＝28__．

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__（x－1）__个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②

探究：

（1）方程①②中未知数的个数各是多少？

__1个__．

（2）它们最高次数分别是几次？

__2次__．

归纳：

方程①②的共同特点是：

这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数（一元），并且未知数的最高次数是__2__的方程．

1．一元二次方程的定义

等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数（一元），并且未知数的最高次数是__2__（二次）的方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．

点拨精讲：

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（6分钟）

1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x3－2x2＋5＝0；　　　　

（2）x2＝1；

（3）5x2－2x－＝x2－2x＋；

（4）2（x＋1）2＝3（x＋1）；

（5）x2－2x＝x2＋1;（6）ax2＋bx＋c＝0.

解：

（2）（3）（4）．

点拨精讲：

有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．

2．将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

解：

去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.

点拨精讲：

将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）

1．求证：

关于x的方程（m2－8m＋17）x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

证明：

m2－8m＋17＝（m－4）2＋1，

∵（m－4）2≥0，

∴（m－4）2＋1>0，即（m－4）2＋1≠0.

∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．

点拨精讲：

要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．

2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

解：

将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．

点拨精讲：

要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（9分钟）

1．判断下列方程是否为一元二次方程．

（1）1－x2＝0;

（2）2（x2－1）＝3y；

（3）2x2－3x－1＝0;（4）－＝0；

（5）（x＋3）2＝（x－3）2;（6）9x2＝5－4x.

解：

（1）是；

（2）不是；（3）是；

（4）不是；（5）不是；（6）是．

2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．

解：

∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，

　∴4a＋8－5＝0，

　解得a＝－.

3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.

解：

（1）4x2＝25，4x2－25＝0；

（2）x（x－2）＝100，x2－2x－100＝0.

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），特别强调a≠0.

3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

21．2　解一元二次方程

21．2.1　配方法

（1）

1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程．

2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能．

重点：

运用开平方法解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程；领会降次——转化的数学思想．

难点：

通过根据平方根的意义解形如x2＝n（n≥0）的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程．

一、自学指导．（10分钟）

问题1：

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

__10×6x2＝1500__，

由此可得__x2＝25__，

根据平方根的意义，得x＝__±5__，

即x1＝__5__，x2＝__－5__．

可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.

探究：

对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程（2x－1）2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?

方程（2x－1）2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±__，即将方程变为__2x－1＝和__2x－1＝－__两个一元一次方程，从而得到方程（2x－1）2＝5的两个解为x1＝__，x2＝____．

在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成（x＋__3__）2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.

归纳：

在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，那么可得x＝±或mx＋n＝±.

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（6分钟）

解下列方程：

（1）2y2＝8；　　　　　　　

（2）2（x－8）2＝50；

（3）（2x－1）2＋4＝0;（4）4x2－4x＋1＝0.

解：

（1）2y2＝8，　　　　　　

（2）2（x－8）2＝50，

　y2＝4，　　　　　　　　（x－8）2＝25，

　y＝±2，　　　　　　　　x－8＝±5，

　∴y1＝2，y2＝－2；　　x－8＝5或x－8＝－5，

　　　　　　　　　　∴x1＝13，x2＝3；

（3）（2x－1）2＋4＝0，　　　（4）4x2－4x＋1＝0，

　（2x－1）2＝－4<0，　　　（2x－1）2＝0，

　∴原方程无解；　　　　　　2x－1＝0，

　　　　　　　　　　　∴x1＝x2＝.

点拨精讲：

观察以上各个方程能否化成x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）的形式，若能，则可运用直接开平方法解．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）

1．用直接开平方法解下列方程：

（1）（3x＋1）2＝7;

（2）y2＋2y＋1＝24；

（3）9n2－24n＋16＝11.

解：

（1）；

（2）－1±2；（3）.

点拨精讲：

运用开平方法解形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程时，最容易出错的是漏掉负根．

2．已知关于x的方程x2＋（a2＋1）x－3＝0的一个根是1，求a的值．

解：

±1.

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（9分钟）

用直接开平方法解下列方程：

（1）3（x－1）2－6＝0;

（2）x2－4x＋4＝5；

（3）9x2＋6x＋1＝4;（4）36x2－1＝0；

（5）4x2＝81;（6）（x＋5）2＝25；

（7）x2＋2x＋1＝4.

解：

（1）x1＝1＋，x2＝1－；

（2）x1＝2＋，x2＝2－；

　（3）x1＝－1，x2＝；

　（4）x1＝，x2＝－；

　（5）x1＝，x2＝－；

　（6）x1＝0，x2＝－10；

　（7）x1＝1，x2＝－3.

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

1．用直接开平方法解一元二次方程．

2．理解“降次”思想．

3．理解x2＝p（p≥0）或（mx＋n）2＝p（p≥0）中，为什么p≥0?

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

21．2.1　配方法

（2）

1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．

重点：

掌握配方法解一元二次方程．

难点：

把一元二次方程转化为形如（x－a）2＝b的过程．

（2分钟）

1．填空：

（1）x2－8x＋__16__＝（x－__4__）2；

（2）9x2＋12x＋__4__＝（3x＋__2__）2；

（3）x2＋px＋__（）2__＝（x＋____）2.

2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．

一、自学指导．（10分钟）

问题1：

要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少米？

设场地的宽为xm，则长为__（x＋6）__m，根据矩形面积为16m2，得到方程__x（x＋6）＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．

探究：

怎样解方程x2＋6x－16＝0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

解：

移项，得x2＋6x＝16，

两边都加上__9__即__（）2__，使左边配成x2＋bx＋（）2的形式，得

__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，

左边写成平方形式，得

__（x＋3）2＝25__，

开平方，得

__x＋3＝±5__，　　（降次）

即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，

解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．

归纳：

通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

问题2：

解下列方程：

（1）3x2－1＝5；　　　

（2）4（x－1）2－9＝0；

（3）4x2＋16x＋16＝9.

解：

（1）x＝±；

（2）x1＝－，x2＝；

（3）x1＝－，x2＝－.

归纳：

利用配方法解方程时应该遵循的步骤：

（1）把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；

（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

（3）方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（8分钟）

1．填空：

（1）x2＋6x＋__9__＝（x＋__3__）2；

（2）x2－x＋____＝（x－____）2；

（3）4x2＋4x＋__1__＝（2x＋__1__）2.

2．解下列方程：

（1）x2＋6x＋5＝0;

（2）2x2＋6x＋2＝0；

（3）（1＋x）2＋2（1＋x）－4＝0.

解：

（1）移项，得x2＋6x＝－5，

配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，（x＋3）2＝4，

由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.

（2）移项，得2x2＋6x＝－2，

二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，

配方得x2＋3x＋（）2＝（x＋）2＝，

由此可得x＋＝±，即x1＝－，

x2＝－－.

（3）去括号，整理得x2＋4x－1＝0，

　移项得x2＋4x＝1，

　配方得（x＋2）2＝5，

x＋2＝±，即x1＝－2，x2＝－－2.

点拨精讲：

解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（5分钟）

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8m，CB＝6m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？

解：

设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：

（8－x）（6－x）＝××8×6，

即x2－14x＋24＝0，

（x－7）2＝25，

x－7＝±5，

∴x1＝12，x2＝2，

x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．

答：

2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．

点拨精讲：

设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．用配方法解下列关于x的方程：

（1）2x2－4x－8＝0；　　　　

（2）x2－4x＋2＝0；

（3）x2－x－1＝0;（4）2x2＋2＝5.

解：

（1）x1＝1＋，x2＝1－；

（2）x1＝2＋，x2＝2－；

（3）x1＝＋，x2＝－；

（4）x1＝，x2＝－.

2．如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求（xy）z的值．

解：

由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋＝0，即（x－2）2＋（y＋3）2＋＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.

∴（xy）z＝[2×（－3）]－2＝.

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

1．用配方法解一元二次方程的步骤．

2．用配方法解一元二次方程的注意事项．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

21．2.2　公式法

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．

2.会熟练应用公式法解一元二次方程．

重点：

求根公式的推导和公式法的应用．

难点：

一元二次方程求根公式的推导．

（2分钟）

用配方法解方程：

（1）x2＋3x＋2＝0；　　　　

（2）2x2－3x＋5＝0.

解：

（1）x1＝－2，x2＝－1；　

（2）无解．

一、自学指导．（8分钟）

问题：

如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？

问题：

已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0），试推导它的两个根x1＝，x2＝.

分析：

因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．

探究：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根由方程的系数a，b，c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．

（2）x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．

（5）一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（5分钟）

　用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

（1）2x2－3x＝0；　　　　

（2）3x2－2x＋1＝0；

（3）4x2＋x＋1＝0.

解：

（1）x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根；

（2）x1＝x2＝；有两个相等的实数根；

　（3）无实数根．

点拨精讲：

Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）

1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是（　B　）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．有一个实数根

D．没有实数根

2．当m为何值时，方程（m＋1）x2－（2m－3）x＋m＋1＝0，

（1）有两个不相等的实数根？

（2）有两个相等的实数根？

（3）没有实数根？

解：

（1）m＜；　

（2）m＝；　（3）m＞.

3.已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：

x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.

证明：

∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，

∴4－4（1－m）＜0，∴m＜0.

对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，

Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，

∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（10分钟）

1．利用判别式判定下列方程的根的情况：

（1）2x2－3x－＝0;

（2）16x2－24x＋9＝0；

（3）x2－4x＋9＝0;（4）3x2＋10x＝2x2＋8x.

解：

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个相等的实数根；

　（3）无实数根；

　（4）有两个不相等的实数根．

2．用公式法解下列方程：

（1）x2＋x－12＝0;　

（2）x2－x－＝0；

（3）x2＋4x＋8＝2x＋11;　（4）x（x－4）＝2－8x；

（5）x2＋2x＝0;　（6）x2＋2x＋10＝0.

解：

（1）x1＝3，x2＝－4；

（2）x1＝，x2＝；

　（3）x1＝1，x2＝－3；

　（4）x1＝－2＋，x2＝－2－；

　（5）x1＝0，x2＝－2;（6）无实数根．

点拨精讲：

（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；

（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根；

（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．

学生总结本堂课的收获与困惑．（2分钟）

1.求根公式的推导过程．

2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：

先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．

3.用判别式判定一元二次方程根的情况．

学习至此，请使用本课时对应训练部分．（10分钟）

21．2.3　因式分解法

1.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．

2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．

重点：

用因式分解法解一元二次方程．

难点：

理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．

（2分钟）

将下列各题因式分解：

（1）am＋bm＋cm＝（__a＋b＋c__）m；

（2）a2－b2＝__（a＋b）（a－b）__；

（3）a2±2ab＋b2＝__（a±b）2__．

一、自学指导．（8分钟）

问题：

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的高度（单位：

m）为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？

（精确到0.01s）

设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，　　①

思考：

除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？

分析：

方程①的右边为0，左边可以因式分解得：

x（10－4.9x）＝0，

于是得x＝0或10－4.9x＝0，　　②

∴x1＝__0__，x2≈2.04．

上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.

点拨精讲：

（1）对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

（2）如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：

如果（x＋1）（x－1）＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．（5分钟）

1．说出下列方程的根：

（1）x（x－8）＝0；　　　

（2）（3x＋1）（2x－5）＝0.

解：

（1）x1＝0，x2＝8；　

（2）x1＝－，x2＝.

2．用因式分解法解下列方程：

（1）x2－4x＝0;

（2）4x2－49＝0；

（3）5x2－20x＋20＝0.

解：

（1）x1＝0，x2＝4;

（2）x1＝，x2＝－；

（3）x1＝x2＝2.

一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（8分钟）

1．用因式分解法解下列方程：

（1）5x2－4x＝0；　　　

（2）3x（2x＋1）＝4x＋2；

（3）（x＋5）2＝3x＋15.

解：

（1）x1＝0，x2＝；

（2）x1＝，x2＝－；

（3）x1＝－5，x2＝－2.

点拨精讲：

用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．

2．用因式分解法解下列方程：

（1）4x2－144＝0；

（2）（2x－1）2＝（3－x）2；

（3）5x2－2x－＝x2－2x＋；

（4）3x2－12x＝－12.

解：

（1）x1＝6，x2＝－6；

（2）x1＝，x2＝－2；

（3）x1＝，x2＝－；

（4）x1＝x2＝2.

点拨精讲：

注意本例中的方程可以试用多种方法．

二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（10分钟）

1．用因式分解法解下列方程：

（1）x2＋x＝0;

（2）x2－2x＝0；

（3）3x2－6x＝－3;（4）4x2－