一元二次方程暑假基础班讲义和习题精讲精练.doc

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博学笃志切问近思

一元二次方程定义

“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”

“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”

1.在下列方程中,一元二次方程的个数是

①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③（x+2）（x-3）=x2-1,④x2-+4=0,⑤x2-（+1）x+=0,⑥3x2-+6=0

2．方程：

①，②2x2-5xy+y2=0，③7x2+1=0，④中一元二次方程是

3．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．x2＋＝1B．ax2＋bx＋c＝0C．（x－1）（x＋2）＝1D．3x2－2xy－5y2＝0

4.有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）

A.3x（x﹣4）=0B.x2+y﹣3=0C.+x=2D.x3﹣3x+8=0

5、判断下列方程，是一元二次方程的有

（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）.

6．下列方程中，是一元二次方程的有

①x2＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③3x2＝x；④2x（x＋4）－2x2＝0；⑤（x2－1）2＝9；⑥＋－1＝0.

7．下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．x2＋＝0.ax2＋bx＋c＝0.（x－1）（x＋2）＝1.3x2－2xy－5y2＝0

8．下列方程中：

①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤x2－6x＝（x＋1）（x－1）．

其中是一元二次方程的有

9.下列选项中是一元二次方程的为（　　）

A．x2－2x－3B．x2＋3＝0C．（x2＋3）2＝9D．x＋＝4

10.判断下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x3－２ｘ2＋５＝０；（２）x2＝１；

（３）5x2-2x-=x2-2x+；（４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；

（５）x2－２x＝x2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０

（7）（x＋1）（x－2）=3，（8）x2＋y＋4=0，（9）（x－1）2－x（x＋1）=x，（10）

11．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（）

A、＋x2＝1B、－＝1

C、x2－＋1＝0D、

12．下列方程中一定是一元二次方程的是____________________

①；②；③；④；⑤

13．下列方程中，一元二次方程的个数为（）．

（1）2x2－3=0

（2）x2＋y2=5（3）（4）（5）3x2－5x=0（6）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

14、下列方程一定是一元二次方程的是（）

A、B、

C、D、

一元二次方程的一般形式

任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．

其中ax2分别称为二次项、bx一次项c常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．

1.下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）

A.（x-1）2=16B.3（x-2）2=27C.5x2-3x=0D.x2+2x=8

2.将方程化为一般形式:

2x2-3x=3x-5是____________________

3．把2x2－1=6x化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．

4．将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化为一元二次方程的一般式，正确的是（　　）

A．4x2－4x＋5＝0B．3x2－8x－10＝0

C．4x2＋4x－5＝0D．3x2＋8x＋10＝0

5．把（x＋3）（2x＋5）－x（3x－1）=15化成一般形式为______，a=______，b=______，c=______．

6．写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.

一元二次方程

二次项系数

一次项系数

常数项

x2－3x＋4＝0

4x2＋3x－2＝0

3x2－5＝0

6x2－x＝0

7.方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）

A．3和8B．3和﹣8C．3和﹣10D．3和10

8．把关于x的一元二次方程（2－n）x2－n（3－x）＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．

9．把一元二次方程（x－3）2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.

10.把一元二次方程（x－3）2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.

11、方程的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.

12．将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化为一元二次方程的一般式，正确的是（　　）

A．4x2－4x＋5＝0B．3x2－8x－10＝0C．4x2＋4x－5＝0D．3x2＋8x＋10＝0

13.方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）

A．3和8B．3和﹣8C．3和﹣10D．3和10

14.关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是（）

A.3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,2

15.方程4x2=3x-+1的二次项是,一次项是,常数项是

能力提升

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

1.方程（m+2）+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则（）

A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2

2．若－3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是

3．若（k＋4）x2－3x－2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是

4．4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是

5．如果（m－2）x|m｜＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）．

A．2或－2 B．2 C．－2 D．以上都不正确

6.若（a－1）x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）

A．a≠0B．a≠1C．a＝1D．a≠－1

7、关于x的方程（a－3）x2＋4x－8＝0是一元二次方程，那么a的取值范围是________

8．一元二次方程2x2－（m＋1）x＋1＝x（x－1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（　　）

A．－1B．1C．－2D．2

9、若方程是关于x的一元二次方程，则m＝________

10．若方程2kx2＋x－k=0有一个根是－1，则k的值为______

11．若关于x的方程mx2＋（m－1）x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______

12．已知关于x的一元二次方程（2m－1）x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值

13.已知一元二次方程有一个根为1，则的值为（  ）

A. -2                                          B. 2                                          C. -4                                          D. 4

14、关于x的一元二次方程（k－2）x2＋x＋k2－4＝0的一个根是0，则k的值为

15．当时，关于的方程是一元二次方程

求根公式法解一元二次方程

一元二次方程求根公式：

（）

用公式法解下列方程.

（1）

（2）（3）

（4）（5）3x2－4x=2．（6）2x－1=－2x2

（7）（8）x2－3x－28=0（9）2x2－x－15=0．

（10）6x2－x－2=0（11）4x2＋1=4x（12）

（13）2x2＋4x－1＝0（14）x2－2x－5＝0（15）2x2－1＝－6x.

（16）x＋3＝x（x＋3）　　（17）3y（y－1）＝2－2y（18）4x2－3x－5＝x－2.

一元二次方程跟的判别式

一元二次方程跟的判别式：

叫做一元二次方程

的根的判别式。

（1），方程有两个不相等的实数根；

（2），方程有两个相等的实数根；

（3），方程没有实数根；

（4），方程有两个实数根.

课堂讲练：

例.不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）2x2＋3x－4＝0　

（2）16y2＋9＝24y　（3）5（x2＋1）－7x＝0

若关于x的一元二次x2+2x+k=0无实数根，则k值可以是（）

A.3B.1C.0D.-5

若关于x的方程3x2﹣kx+k=0有两个相等的实数根，则常数k的值为．

如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是（）

A.m＞2 B.m＜2 C.m＞2且m≠1 D.m＜2且m≠1

4．已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是．

5．一元二次方程2x2－5x＋1＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根

.有两个相等的实数根

.没有实数根

.无法确定

6、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）

A．B．C．D．

7、如果关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____________.

8.一元二次方程的根的情况为（）

A．有两个相等的实数B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根D．没有实数根

9.若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

10.若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_____________.

11.如果关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____________.

12、如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）

A．B．且C．D．且

13、若关于x的方程kx2－3x－＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k＝0.k≥－1且k≠0.k≥－1.k＞－1

14、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋3x－2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＞－.a≥－.a＞－且a≠1.a≥－且a≠1

15．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

课后作业：

1.有下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）

A.3x（x﹣4）=0B.x2+y﹣3=0C.+x=2D.x3﹣3x+8=0

2.下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）

A.（x-1）2=16B.3（x-2）2=27C.5x2-3x=0D.x2+2x=8

3.方程3x2﹣8x﹣10=0的二次项系数和一次项系数分别为（）

A．3和8B．3和﹣8C．3和﹣10D．3和10

4.若关于x的方程（m﹣1）x2+5x+2=0是一元二次方程，则m的值不能为（）

A．1B．﹣1C．D．0

5.将方程2x2-3x=3x-5化为一般形式是____________________

6.方程x（x-2）=0的解是___________________

7.若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为

8.方程x2-2x-1=0的判别式____________.

9.方程x2-4x+4=0的根的情况是__________________

10.关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根是1，则另一根为________.

11．若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根，则a的值为

12．若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥－1.k＞－1.k≥－1且k≠0.k＞－1且k≠0

13、如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是（）

A.m＞2 B.m＜2 C.m＞2且m≠1 D.m＜2且m≠1

14、若关于x的方程3x2﹣kx+k=0有两个相等的实数根，则常数k的值为

15．若一元二次方程x2﹣x+k=0有实数根，则k的取值范围是

16.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是

17．已知关于x的一元二次方程x2－2＋k＝0有两个相等的实数根，则k值为_______

18、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根0，则a值为（　　）

A.1      B.﹣1  C.±1  D.0

19、一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（　　）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.只有一个实数根

20、已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（　　）

A.2      B.3      C.4      D.8

21、已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k=　　

22、已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.

（1）若x＝－1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；

（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．

因式分解发解一元二次方程

因式分解发解一元二次方程：

1.提取公因式法2.十字相乘法3.公式法

提取公因式法

例题1．解方程：

2x（x－3）＝0.

解：

因为2x（x－3）＝0，

所以________＝0或________＝0，

解得x1＝________，x2＝________．

2．方程（x－2）（x＋3）＝0的解是（　　）

A．x＝2B．x＝－3

C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－3

课堂练习

1．一元二次方程x2＝3x的根是（　　）

A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝－3

2．方程4（x－3）＋x（x－3）＝0的根为

3．方程x（x－1）＝x的解是

4、方程的解是（）

A．B．C．，D．，

5．方程x2＋2x＝0的根是（　　）

A．x＝0B．x＝－2C．x1＝0，x2＝－2D．x1＝x2＝－2

6．一元二次方程（x－3）（x－5）＝0的两根分别为（　　）

A．3，－5B．－3，－5

C．－3,5D．3,5

7．x（x－3）=0 （2x－7）（x＋2）=0

8．方程（x－a）（x＋b）=0的两根是（）．

A．x1=a，x2=b B．x1=a，x2=－b

C．x1=－a，x2=b D．x1=－a，x2=－b

9、一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）-（x﹣1）=0的解是．

10．2x2－8x＝0；　　　

十字相乘法

1、方程的解是__________________．

2.已知x1、x2是方程x2﹣4x﹣12=0的解，则x1+x2=．

3．解一元二次方程x2－x－12＝0，正确的是（　　）

A．x1＝－4，x2＝3B．x1＝4，x2＝－3

C．x1＝－4，x2＝－3D．x1＝4，x2＝3

4．方程x2－3x＋2＝0的解是（）．

A．1和2 B．－1和－2 C．1和－2 D．－1和2

5．

（1）x2﹣5x﹣36=0

（2）x2－3x－28=0（3）x2－3x－4＝0

（4）x2＋12x＋27＝0（5）（6）

（7）x2＋3x+2＝0（8）x2－4x＋3＝0

6．三角形的每条边的长都是方程的根,则三角形的周长是。

7、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，求这个三角形的周长．

8、方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长。

9、已知一元二次方程x2－11x＋30=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC周长。

.

10、若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－13x＋36＝0的根，求这个三角形的周长。

11、一元二次方程x2＋x－2＝0的解为x1，x2，则x1＋x2＝________．

12、若分式的值等于0，则x的值为________．

一元二次方程的应用题

面积问题：

1、如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，

剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？

设道路的宽为xm，

则可列方程为（　　）

A.100×80﹣100x﹣80x=7644  B.（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644

C.（100﹣x）（80﹣x）=7644D.100x+80x﹣x2=7644

2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.

若耕地面积需要551米2，则修建的路宽？

可列方程应为.

3、如图，九年级学生要设计一幅幅宽20cm、长30cm的图案，其中有宽度相等的一横两竖的彩条.

如果要使彩条所占的面积是图案的一半.求彩条的宽度.

4、如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，求原正方形空地的边长。

5、在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，

如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（）

A、B、

C、D、

6、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）

A、1米B、1.5米C、2米D、2.5米

7、如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），

余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为（　　）

A．5米

B．3米

C．2米

D．2米或5米

8.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂