圆切线练习题(含答案).doc

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圆切线问题典型问题

例1.已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（   ）

   A.相交                             B.相切

   C.相离                             D.位置不定

 例2.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆：

（1）相离；

（2）相切；（3）相交。

 例3.已知：

在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：

FD＝4：

3。

 求证：

AF＝DF；

 例4.已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：

CD是⊙O的切线。

 例5.如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。

求证：

AC与⊙O相切。

   点悟：

显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。

而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。

 例6.已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：

PC＝CD。

 例7.在△ABC中，∠A＝70°，点O是内心，求∠BOC的度数。

圆切线问题典型问题答案

例1解：

∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，

   ∴，

   ∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，∴PQ⊥OP。

   即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。

   ∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。

   点拨：

在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。

本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

 例2.点悟：

要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。

   解：

如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，

   ， ∴

（1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；

（2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；

   （3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。

 例3.证明：

∵AD平分∠BAC，

   ∴∠BAD＝∠DAC。

   ∵∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE

   ∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∴∠ADE＝∠DAE，∴EA＝ED

   ∵DE是半圆C的直径∴∠DFE＝90°∴AF＝DF

例4.点悟：

要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。

   证明：

连结OD。

   ∵AD∥OC，

   ∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA

   ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD∴∠COB＝∠COD

   ∵CO为公用边，OD＝OB

   ∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC∵BC是切线，AB是直径，

   ∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，∴CD是⊙O的切线。

   点拨：

辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。

 例5.点悟：

显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。

而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。

   证明：

连结OD、OA。

过O作OE⊥AC，垂足为E。

   ∵AB＝AC，O为BC的中点，∴∠BAO＝∠CAO

   又∵AB切⊙O于D点，∴OD⊥AB，又OE⊥AC，∴OE＝OD，

   ∴AC与⊙O相切。

   点拨：

此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d＝r”。

 例6.点悟：

要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。

   证明：

连结OD，则OD⊥CE。

   ∴∠EDA＋∠ODA＝90°∵OA⊥OB

   ∴∠A＋∠P＝90°，又∵OA＝OD，

  ∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA∵∠EDA＝∠CDP，

   ∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD

   点拨：

在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。

 例7.点悟：

已知O是内心，由内心的概念可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线。

   解：

在△ABC中，∠A＝70°，

   ∵O是△ABC的内心∴

     。

   ∴

   ∴

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