椭圆及圆锥曲线练习题.doc
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1.2椭圆
知识点总结：
一．椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义：
平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；
这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
（时为线段，无轨迹）。
2．标准方程：
①焦点在x轴上：
（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）
②焦点在y轴上：
（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）
注意：
①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：
或者mx2+ny2=1
二．椭圆的简单几何性质：
1.范围
（1）椭圆（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b
（2）椭圆（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
3.顶点
（1）椭圆的顶点：
A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）
（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（3）椭圆的标准方程、图象及几何性质：
中心在原点，焦点在轴上
中心在原点，焦点在轴上
标准方程
图形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2
A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1
顶点
对称轴
轴，轴；短轴为，长轴为
焦点
焦距
离心率
（离心率越大，椭圆越扁）
通径
（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）
4．离心率
（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，
记作e（），
是圆；e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；
注意：
离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
小结：
基本元素
（1）基本量：
a、b、c、e、（共四个量），特征三角形
（2）基本点：
顶点、焦点、中心（共七个点）
（3）基本线：
对称轴（共两条线）
5．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
6.几何性质
（1）最大角
（2）最大距离，最小距离
三、弦长公式：
其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程
的判别式和的系数
求弦长步骤：
（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；
（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出，；（3）代入弦长公式计算。
法
（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：
注意
（1）上面用到了关系式和
注意
（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法
五、弦的中点坐标的求法
法
（一）：
（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；
（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。
法
（二）：
用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。
六、求离心率的常用方法：
法一，分别求出a,c，再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e（求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1）
例题讲解：
一.椭圆定义：
１．方程化简的结果是
2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是
3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为
二．利用标准方程确定参数
1.若方程+=1
（1）表示圆，则实数k的取值是.
（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.
（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.
（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.
2.椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,
3．椭圆的焦距为，则=。
4．椭圆的一个焦点是，那么。
三．待定系数法求椭圆标准方程
1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为。
2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为
3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为
4.已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
变式：
求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。
四．焦点三角形
1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是。
2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？
的面积的最大值是多少？
3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为。
变式：
已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点． 若，
求的面积．
五．离心率的有关问题
1.椭圆的离心率为，则
2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为
3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为
4、设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。
5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
1.2.1椭圆例题及其练习题
1.已知椭圆（a>b>0）的离心率等于，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得的新椭圆的一条准线的方程y=，则原来的椭圆方程是
A.B.C.D.
2.椭圆=1的焦点在x轴上,则它的离心率的取值范围是
A.（0,）B.（,）]C.D.
3.椭圆的一条准线为，则随圆的离心率等于
A.B.C.D.
4.已知椭圆的两个焦点为F1､F2,过F2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A､B,则三角形ABF1的周长是
A.20B.24C.32D.40
5.已知椭圆的长轴为8，短轴长为4，则它的两条准线间的距离为
A.32B.16C.18D.64
6.已知（4，2）是直线L被椭圆所截得的线段的中点，则L的方程是
A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y+4=0D.x+2y-8=0
7.若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为
A.B.C.D.
8.椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为
A.B.C.D.
9.椭圆ax2+by2=1与直线y=1－x交于A、B两点，若过原点与线段AB中点的直线的倾角为30°，则的值为
A.B.C.D.
10.过椭圆的中心的弦为PQ，焦点为F1，F2，则△PQF1的最大面积是
A.abB.bcC.caD.abc
11.一广告气球被一束平行光线投射到地平面上,其投影呈椭圆形,若此椭圆的离心率为,则光线与地平面所成的角为
A.B.C.arccosD.
12.如果椭圆的焦距是8,焦点到相应的准线的距离为,则椭圆的离心率为
A.B.C.D.-
13.线段A1A2、B1B2分别是已知椭圆的长轴和短轴，F2是椭圆的一个焦点（|A1F2|＞|A2F2|）,若该椭圆的离心率为，则∠A1B1F2等于
A.30°B.45°C.120°D.90°
24.已知椭圆（a>1）的两个焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=60o,则|PF1|·|PF2|的值为
A.1B.C.D.
15.椭圆和（k>0）具有
A..相同的长短轴B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点
16.椭圆的准线方程是
A.x=B.y=C.x=D.y=
17.若椭圆上一点P到右焦点的距离为3，则P到右准线的距离是
A.B.C.6D.12
18.自椭圆（a>b>0）上任意一点P，作x轴的垂线，垂足为Q，则线段PQ的中点M的轨迹方程是
19.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是
A.B.C.D.
20.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍,则这个椭圆的离心率为
A.B.C.D.
21.椭圆的准线平行于x轴,则m的取值范围是
A.m>0B.01D.m>0且m≠1
22.椭圆x2+9y2=36的右焦点到左准线的距离是
A.B.C.D.
23.到定点（2,0）的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点的轨迹方程是
A.B.C.D.
24.直线x-y-m=0与椭圆且只有一个公共点,则m的值是
A.10B.±10C.±D.
25.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是
A.（0,+∞）B.（0,2）C.（1,+∞）D.（0,1）
26.椭圆上点P到右准线等于4.5,则点P到左准线的距离等于
A.8B.12.5C.4.5D.2.25
27.若椭圆的两焦点把两准线间的距离等分成三份,则椭圆的离心率等于
A.B.C.D.
28.中心在原点,长轴长是短轴长的2倍,一条准线方程是x=4,则此椭圆的方程是
A.B.C.D.
29.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率是
A.B.C.D.不能确定
30.函数y＝2sin（arccosx）的图象是
A.椭圆B.半椭圆C.圆D.直线
31.若F（c,0）是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是
A.（c,±）B.（－c,±）C.（0,±b）D.不存在
32.已知点P（）为椭圆=1上的点,F1,F2是椭圆的两焦点,点Q在线段F1P上,且│PQ│=│PF2│,那么Q分F1P之比是
A.B.C.D.
33.若将离心率为的椭圆绕着它的左焦点按逆时针方向旋转后，所得新椭圆的一条准线方程是3y+14=0椭圆的另一条准线方程是
A.3y-14=0B.3y-23=0C.3y-32=0D.3y-50=0
34.如图，直线l：
x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为
A.B.C.D.
35.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是
A.（0，＋∞）B.（0，2）C.（1，＋∞）D.（0，1）
36.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是
A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线
37.以椭圆的右焦点F２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F１，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率ｅ为
A.B.C.２－D.－１
38.圆与椭圆的公共点的个数为
A.0B.2C.3D.4
39.P是椭圆上的点，F1，F2是焦点，若，则△F1PF2的面积是
A.B.C.64D.
40.下列各点中,是曲线的顶点的是
A.（1,-2）B.（0,-2）C.（1,-4）D.（-2,-1）
二、填空题
1.椭圆的焦点F1（0,6）,中心到准线的距离等于10,则此椭圆的标准方程是______.
2.椭圆上的点到直线距离的最大的值是.
3.已知F1､F2是椭圆的两个焦点,AB是过焦点F1的弦,若︱AB︳=8,则︱F2A︳+︱F2B︳的值是
A.16B.12C.14D.8
4.若A点坐标为（1，1），F1是5x2+9y2=45椭圆的左焦点，点P是椭圆的动点，则|PA|+|PF1|的最小值是__________.
5.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M，N两点，弦MN的中点为P，若KOP=_______________.
6.若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______.
7.已知椭圆的准线方程是y=9,离心率为，则此椭圆的标准方程是_______________.
8.到定点（1，0）的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点P的轨迹方程是.
9.已知椭圆x2+2y2=2的两个焦点为F1和F2，B为短轴的一个端点，则△BF1F2的外接圆方程是_________________。
10.已知点A（0，1）是椭圆x2+4y2=4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_________________.
11.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（-10，0），则焦点坐标是.
12.P是椭圆=1上的点,则点P到直线4x+3y-25=0的距离最小值为.
13.如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，
△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是.
14.椭圆的左焦点为F，A（-a,0）,B（0,b）是两个项点，如果占F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率为___________.
15.椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是______________.
16.椭圆与连结A（1，2），B（2，3）的线段没有公共点，则正数a的取值范围是.
17.设F1（-c,0）､F2（c,0）是椭圆=1（a>b>0）的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为
A.B.C.D.
18.椭圆焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的______________.
19.已知椭圆,左右焦点分别为F1､F2,B（2,2）是其内一点,M为椭圆上动点,则|MF1|+|MB|的最大值与最小值分别为______________.
20.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是______.
21.方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是______.
三、解答题
1.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，并且椭圆与圆x-4x-2y+交于A,B两点,若线段AB的长等于圆的直径。
（1）求直线AB的方程；
（2）求椭圆的方程.
2.在直角坐标系中，△ABC两个顶点C、A的坐标分别为（0，0）、，三个内角A、B、C满足.
（1）求顶点B的轨迹方程；
（2）过顶点C作倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当时，求△APQ面积S（θ）的最大值.
3.已知点M在椭圆上，M垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为，并且M为线段的中点，求点的轨迹方程
4.椭圆的焦点分别是和，已知椭圆的离心率过中心作直线与椭圆交于A，B两点，为原点，若的面积是20，求：
（1）的值
（2）直线AB的方程
5.已知圆及点，为
圆上任一点，线段的垂直平分线与线段
的交点为，设点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点且倾斜角为的直线
与曲线交于两点，为坐标原点，
求的面积；
（3）过点的直线与曲线交于
两点，且线段被点平分，
求直线的方程。
6.设直线与椭圆C：
相交于，两点，且过椭圆C的右焦点，若以为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆C的方程。
7.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。
8.设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；
（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
9.设椭圆C：
的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
（I）求椭圆C的离心率；
（II）如果|AB|=，求椭圆C的方程.
10.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：
是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
11.已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.
12.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0,3），椭圆的短轴长为8；
（2）两个焦点的坐标分别为（-,0），（,0），并且椭圆经过点
（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
13.椭圆的焦点分别是和，已知椭圆的离心率过中心作直线与椭圆交于A，B两点，为原点，若的面积是20，求：
（1）的值
（2）直线AB的方程
14.设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的焦距；
（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.
15.设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求∣∣·∣∣的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。
1.2.3椭圆综合练习
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是（）
（A）（B）或
（C）（D）或
2.动点P到两个定点（-4，0）.（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（）
A.椭圆 B.线段C.直线D.不能确定
3.已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（）
A.B.C.D.
4.已知椭圆上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（）
A.B.2C.3D.6
5.如果表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围为（）
A.B.C.D.任意实数R
6.关于曲线的对称性的论述正确的是（）
A.方程的曲线关于X轴对称
B.方程的曲线关于Y轴对称
C.方程的曲线关于原点对称
D.方程的曲线关于原点对称
7.方程（a＞b＞0,k＞0且k≠1）与方程（a＞b＞0）表示的椭圆（）.
A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴；D.有相同的顶点.
8.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（）
（A）1（B）（C）（D）2
9.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）
A.B.C.D.
10.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）
A．2 B．3 C．6 D．8
11.椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）
（A）（0，]（B）（0，]（C）[，1）（D）[，1）
12.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（）
A.[,] B.[,3]C.[-1,] D.[,3]
二、填空题：
（本大题共4小题，共16分.）
13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
14椭圆上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为.
15已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为.
16已知椭圆的两焦点为
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