中考数学函数专题复习.doc

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2015中考数学函数专题复习

知识点1、平面直角坐标系与点的坐标

一个平面被平面直角坐标分成四个象限，平面内的点可以用一对有序实数来表示平面内的点与有序实数对是一一对应关系，各象限内点都有自己的特征，特别要注意坐标轴上的点的特征。

点P（x、y）在x轴上y＝0，x为任意实数，

点P（x、y）在y轴上，x＝0，y为任意实数，点P（x、y）在坐标原点x＝0，y＝0。

知识点2、对称点的坐标的特征

点P（x、y）关于x轴的对称点P1的坐标为（x，－y）；关于y轴的对称轴点P2的坐标为（－x，y）；关于原点的对称点P3为（－x，－y）

知识点3、距离与点的坐标的关系

点P（a，b）到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即｜b｜

点P（a，b）到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即｜a｜

点P（a，b）到原点的距离等于：

知识点4、与函数有关的概念

函数的定义，函数自变量及函数值；函数自变量的取值必须使解析式有意义当解析式是整式时，自变量取一切实数，当解析式是分式时，要使分母不为零，当解析式是根式时，自变量的取值要使被开方数为非负数，特别地，在一个函数关系中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分。

知识点5、已知函数解析式，判断点P（x，y）是否在函数图像上的方法：

若点P（x，y）的坐标适合函数解析式，则点P在其图象上；若点P在图象上，则P（x，y）的坐标适合函数解析式．

知识点6、列函数解析式解决实际问题

设x为自变量，y为x的函数，先列出关于x，y的二元方程，再用x的代数式表示y，最后写出自变量的取值范围，要注意使自变量在实际问题中有意义。

知识点7、一次函数与正比例函数的定义：

例如：

y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）那么y叫做x的一次函数，特别地当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx（k是常数，k≠0）这时，y叫做x的正比例函数。

知识点8、一次函数的图象和性质

一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（０，b）和点（－，０）的一条直线，k值决定直线自左向右是上升还是下降，b值决定直线交于y轴的正半轴还是负半轴或过原点。

知识点9、两条直线的位置关系

设直线1和２的解析式为y＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2则它们的位置关系由系数关系确定

k1≠k21与２相交，k1＝k2，b1≠b21与２平行，k1＝k2，

b1＝b21与２重合。

知识点10、反比例函数的定义

形如：

y＝或y＝kx－1（k是常数且k≠0）叫做反比例函数，也可以写成xy＝k（k≠0）形式，它表明在反比例函数中自变量x与其对应的函数值y之积等于已知常数k，

知识点11、反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像是双曲线，它是以原点为对称中心的中心对称图形，同时又是直线y＝x或y＝－x为对称轴的轴对称图形，当k＞0时，图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

知识点12、反比例函数中比例系数k的几何意义。

过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得矩形的PAOB的面积为|k|。

知识点13、二次函数的定义

形如：

y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数，它常用的三种基本形式。

一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

顶点式：

y＝a（x－h）2＋k（a≠0）

交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图象与x轴交点的横坐标）

知识点14、二次函数的图象与性质

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是以（）为顶点，以直线y＝为对称轴的抛物线。

在a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，即x＜时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞时，y随着x的增大而增大。

在a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，即x＜时，y随着x的增大而增大。

在对称轴的右侧，即当x＞时，y随着x的增大而减小。

当a＞0，在x＝时，y有最小值，y最小值＝，

当a＜0，在x＝时，y有最大值，y最大值＝。

知识点15、二次函次图象的平移

二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。

知识点16、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与坐标轴的交点。

（1）与y轴永远有交点（0，c）

（2）在b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，A（x1，0）、B（x2，0）这两点距离为AB＝|x1－x2|，（x1、x2是ax2＋bx＋c＝0的两个根）。

在b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点。

在b2－4ac＜0时，则抛物线与x轴没有交点。

知识点17、求二次函数的最大值

常见的有两种方法：

（1）直接代入顶点坐标公式（）。

（2）将y＝ax2＋bx＋c配方，利用非负数的性质进行数值分析。

两种方法各有所长，第一种方法过程简单，第二种方法有技巧。

练习题

1、已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）求点的坐标；

P

O

Q

x

y

1

2

2

1

-1

-2

-2

-1

（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：

当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

解：

（1）设反比例函数关系式为，

反比例函数图象经过点．．

反比例函数关第式．

（2）点在上，．．（3）示意图．

2．已知：

抛物线经过点．

（1）求的值；

（2）若，求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：

请画示意图思考）

解：

（1）依题意得：

，y

x

O

B

P

A

．

（2）当时，，

抛物线的顶点坐标是．

（3）当时，抛物线对称轴，

对称轴在点的左侧．

因为抛物线是轴对称图形，且．

．．又，．

抛物线所对应的二次函数关系式．

解法2：

（3）当时，，

对称轴在点的左侧．因为抛物线是轴对称图形，

，且．

又，解得：

这条抛物线对应的二次函数关系式是．

解法3：

（3），，

分

轴，即：

．

解得：

，即

由，．

这条抛物线对应的二次函数关系式

3.已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、

C（5，0）两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；

（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达势力的线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A.求使点运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.

解：

（1）抛物线的解析式为；

（2）线段OA的三等分点为D（0，1）或（0，2）；（3）直线DC的解析式为或；（3）点M（0，）关于x轴对称的点M’（0，），点A（0，3）关于抛物线的对称轴x＝3对称的点为A’（6，3），连结M’A’，则M’A’＝.根据轴对称性及两点之间线段最短可知，M’A’的长就是所求点P运动的基本最短总路径的长.直线M’A’的解析式为，点x轴交于点E（2，0），与抛物线的对称轴交于点F（3，）.

4.一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B．

（1）求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；

（2）求二次函数的解析式及它的最小值．

1

2

1

2

3

4

A

B

解：

（1）令，得，点的坐标是……1分

令，得，点的坐标是…

（2）二次函数的图象经过点，

，解得：

．

二次函数的解析式是

，函数的最小值为．

5.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在

（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。

请你结合这个新的图像回答：

当直线y=x+b（b

解：

（1）由题意得，Δ＝16－8（k－1）≥0．∴k≤3．……1分

∵k为正整数，∴k＝1，2，3．……2分

（2）当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；……3分

当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；……4分

当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根．……5分

综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．

当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．……6分

（3）设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A（－3，0），B（1，0）．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线经过A点时，可得；……7分

当直线经过B点时，可得．……8分

由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为．

6．（本题14分）如图，抛物线经过三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．

!

）y=-0.5x2+2.5x-2

（2）假设存在点P,设P（x,）

则PM=∣∣,AM=∣4-x∣

∴当或时，∽

O

x

y

A

B

C

4

1

∴或

解得，，

P1（2,1）,P2（5,-2）,P3（-3,-14）

（3）（2，1）

7.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1,0），直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3,4），B点在轴上.

（1）求的值及这个二次函数的关系式；

E

B

A

C

P

O

x

y

D

（第23题）

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？

若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）∵点A（3,4）在直线y=x+m上，∴4=3+m.∴m=1.

设所求二次函数的关系式为y=a（x-1）2.

∵点A（3,4）在二次函数y=a（x-1）2的图象上，

∴4=a（3-1）2,∴a=1.

∴所求二次函数的关系式为y=（x-1）2.即y=x2-2x+1.

（2）设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.

∴PE=h=yP-yE

=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x.即h=-x2+3x（0＜x＜3）.

（3）存在.

解法1：

要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.

∵点D在直线y=x+1上,∴点D的坐标为（1,2）,∴-x2+3x=2.即x2-3x+2=0.

解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2,3）时，四边形DCEP是平行四边形.

解法2：

要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE.

设直线CE的函数关系式为y=x+b.∵直线CE经过点C（1,0）,∴0=1+b,∴b=-1.

∴直线CE的函数关系式为y=x-1.∴得x2-3x+2=0.

解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）

∴当P点的坐标为（2,3）时，四边形DCEP是平行四边形.

8.某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．

（1）分别求出当x≤40和x≥40时y与x之间的关系式；

（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？

解：

（1）当x≤40时，设y＝kx＋b．

根据题意，得，

∴当x≤40时，y与x之间的关系式是y＝50x＋1500，

∴当x＝40时，y＝50×40＋1500＝3500，

当x≥40时，根据题意得，y＝100（x－40）＋3500，即y＝100x－500．

∴当x≥40时，y与x之间的关系式是y＝100x－500．

（2）当y≥4000时，y与x之间的关系式是y＝100x－500，

解不等式100x－500≥4000，得x≥45，

∴应从第45天开始进行人工灌溉．

9.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝图象交于A（－2，1），B（1，n）两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

解析：

（1）求反比例函数解析式需要求出m的值．把A（－2，1）代入y＝中便可求出m＝－2．把B（1，n）代入y＝中得n＝－2．由待定系数法不难求出一次函数解析式．

（2）认真观察图象，结合图象性质，便可求出x的取值范围．

解：

（1）y＝－，y＝－x－1

（2）x＜－2或0＜x＜1

10.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

15

20

30

…

y（件）

25

20

10

…

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？

此时每日销售利润是多少元？

解：

（1）设此一次函数表达式为y＝kx＋b．则，解得k＝－1，b＝40，即一次函数表达式为y＝－x＋40．

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w＝（x－10）（40－x）＝－x2＋50x－400＝－（x－25）2＋225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

点评：

解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；

（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

11.已知点A（0，－6），B（－3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．

解：

设直线AB的解析式为y＝k1x＋b，则解得k1＝－2，b＝－6．

所以直线AB的解析式为y＝－2x－6．

∵点C（m，2）在直线y＝－2x－6上，∴－2m－6＝2，

∴m＝－4，即点C的坐标为C（－4，2），

由于A（0，6），B（－3，0）都在坐标轴上，反比例函数的图象只能经过点C（－4，2），设经过点C的反比例函数的解析式为y＝．则2＝，

∴k2＝－8．即经过点C的反比例函数的解析式为y＝－．

12.某校九年级

（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：

该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？

（3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？

从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？

解：

（1）设y＝kx＋b，∵x＝4时，y＝400；x＝5时，y＝320，

∴

∴y与x的函数关系式为y＝－80x＋720．

（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），

当y＝380时，380＝－80x＋720，得x＝4.25．

该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25＋780＝2395（元），

显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．

（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，

则W＝xy＝x（－80x＋720）＝－80（x－）2＋1620．

∴当x＝时，W最大值＝1620．要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，

则50a≥W最大值＋780，即50a≥1620＋780．解之得，a≥48．

所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，

由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．

13一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（a）的一条线段表示；它的种植成本y2与上市时间x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示．

（1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时间x的函数关系式．

（2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时间x的函数关系式．

（3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？

（市场售价和种植成本的单位：

元/千克，时间单位：

天）

解：

（1）设y1＝mx＋n，因为函数图象过点（0，5.1），（50，2.1），

∴解得：

m＝－，n＝5.1，

∴y1＝－x＋5.1（0≤x≤50）．

（2）又由题目已知条件可设y2＝a（x－25）2＋2．因其图象过点（15，3），

∴3＝a（15－25）2＋2，∴a＝，

∴y2＝x2－x＋（或y＝（x－25）2＋2）（0≤x≤50）

（3）设第x天上市的这种绿色蔬菜的纯利润为：

y1－y2＝－（x2－44x＋315）（0≤x≤55）．

依题意：

y1－y2＝0，即x2－44x＋315＝0，∴（x－9）（x－35）＝0，解得：

x1＝9，x2＝35．

所以从5月1日起的第9天或第35天出售的这种绿色蔬菜，既不赔本也不赚钱。

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