中考数学能力试题研究最值问题.doc

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中考能力试题最值问题探究

知识储备:

中考数学中几何最值问题是把几何、代数、三角等知识融为一体，综合性强，是考查学生综合素质及应用能力的重要题型．解决好这一热点问题的关键是善于转化，把形形色色的几何最值型综合问题最终化归为“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、“点关于线对称”、“线段的平移”、“直径是圆中最长的弦”、原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”等几何小知识，考得较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

现举隅数例希望在中考在解决某些几何最值问题时能有所借鉴意义．

典例：

⑴已知A（－1，3），B（2,1）在x轴上求一点,

①P1使AP1+BP1最小；②P2使最大

⑵已知C（3,3）,D（－,-1）在x轴上求一点,

①Q1使最大；②Q2使CQ2+DQ2最小；

解：

⑴如图①B（2，1）关于x轴对称B＇（2,-1）,直线AB＇与x轴交点

即为所求AP1+BP1最小点P1（,0）；②直线AB与x轴交点即为P2（）

⑵如图①D关于x轴对称点D＇（）直线CD＇与x轴的交点即为所Q1（）；

②直线CD与x轴的交点Q2（）

一代数问题

1.对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值可以是（）.

A.40B.45C.51D.56

2.已知是整数，则n的最小整数值是________________

3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：

在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（　　）

A.1B.2C.6D.10

二立体图形中的最值问题

1.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为______．

由题意知底面圆的直径AB=2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=，解得n=90，所以展开图中∠PSC=90°，根据勾股定理求得PC=，所以小虫爬行的最短距离为．

2.如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC一点且PC=．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）．

A． cmB．5 cmC． cmD．7 cm

侧面展开图如图所示,圆柱的底面周长为6cm,∵AC=3cm,PC=∴PC==4cm

在Rt△ACP中,∵∴,故选B:

三平面几何

类型1.线段的长最小

【例1】已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是．

分析：

因为要解决OC的长的最大值，点C在第一象限，结合正三角形，点C恰是

正三角形的顶点，于是过点C作CD⊥ AB于D，连接OC。

易求得△ODC中，

DO＝＝，CD＝，∵△ODC中DO＋DC≥CO，即CO≤ 

 ∴CO≤ ，∴CO的最大值为

O

y

x

A

C

B

Ｄ

O

y

x

A

C

B

【思路点评】充分运用三角形的三边关系逆用“折”转“直”，或者看成点O、C间线段最短，辅助线的添画运用非常巧妙。

2.【例2】如图所示直线上有一点P到原点的距离最近，求这个最短距离。

y

x

O

M

1

1

Ｂ

Ｑ

Ａ

y

x

O

M

1

1

分析：

由ＭＱ所在的直线的解析式为：

，过点Ｍ（－２，１）于是有方程解得：

，　所以，直线上有一点P到原点的距离最近，即ＰＯ⊥ＭＱ时，

∵由直线，设直线分别交ｘ轴、ｙ轴于Ａ、Ｂ两点，当　y＝０时，x＝－，当　ｘ＝０时，ｙ＝－３，

 ∴ A点的坐标为（－，０）B点的坐标为（０，－３），Rt△OAB中，可求得ＡＢ＝，利用△OAB的面积可求得斜边ＡＢ上的高为，即为点P到原点的最近距离。

【思路点评】抓住是直线上一点到原点的距离最近，充分运用点到直线的距离“垂线段最短”，

运用三角形的面积法，得以求得答案。

3.【例3】（2010年浙江杭州）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，

BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC

于F，M为EF中点，则AM的最小值为．

答案：

2.4

练习：

1.（2014•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是　　cm．

考点：

翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有

分析：

判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．

解答：

解：

如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，

由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，

在Rt△B′DC中，B′D===8cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，

设BE=x，则B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=6﹣x，

在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，即（6﹣x）2+22=x2，解得x=，

在Rt△BEF中，EF===cm．故答案为：

．

点评：

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．

2.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．

（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；

（2）求出该最小值．

解：

（1）如图由垂线段的性质可知：

当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，

（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴由勾股定理得：

AD=BD=2，即此时圆的直径是2，由圆周角定理得：

∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴∠OEH=30°，OE=1，∴在Rt△EOH中，OH=，EH==，由垂径定理得：

EF=2EH=．

【例3】如图，在直角坐标系中，点M（x，0）可在x轴上运动，且它到点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当MP+MQ的值最小时，求点M的坐标。

分析：

作P点关于x的对称点P′，∵P点的坐标为（5，5）∴P′（5，－5）

PM=P′Ｍ，连结Ｐ′Q，则Ｐ′Q与x轴的交点应为满足ＱＭ+ＰＭ的值最小，即为Ｍ点

设Ｐ′Ｑ所在的直线的解析式为：

　y＝kx　+b（k ≠  0,k、b为常数）,于是有方程组解得：

　所以y＝－２x+５

当　y＝０时，x＝，所以　　Ｍ（，０）

【思路点评】充分运用找点关于线的对称点实现“折”转“直”，归结到点Ｐ′、Ｑ之间线段最短，实现问题的解决。

类型2线段和最小

【例1】（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　5　．

考点：

轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

分析：

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

解答：

解：

作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，

∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，

∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，

在Rt△BOC中，由勾股定理得：

BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

点评：

本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．

练习：

1.已知在平面直角坐标系中，C是轴上的点，点，，则的最小值是（）

A.B.8C.D.

2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）

解：

作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，

∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：

OB=，由三角形面积公式得：

×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，∴AD=2×=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=AD=，由勾股定理得：

DN=，∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：

DC==，即PA+PC的最小值是，故选B．

3.如图9,A,B两个村子分别位于一条河的两岸,现准备合作修建一座桥,桥建在何处才能让由A到B的路程最短?

注意：

桥必须与河岸垂直

4.【数学思考】如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？

（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB'等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置．

【类比联想】

（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：

AF=EG．

（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=，试求y与x的函数关系式．

【拓展延伸】

如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米．

（3）当a=______ 米时，a=b．

（4）当a在什么范围内时，a＜b？

请说明理由．

（1）证明：

如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°．

∵GE⊥AF，∴DH∥GE．

∵四边形ABCD是正方形，∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，∴∠3=∠1，

四边形DGEH是平行四边形．∴DH=GE，

在△ABF与△DAH中，∵∴△ABF≌△DAH，∴DH=AF，∴AF=GE；

（2）解：

作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N（如图4）．

∵EG⊥HF，易得DM⊥AN，∴∠1+∠2=90°．

又∵四边形ABCD是矩形，∴∠3+∠2=90°，

∴∠3=∠1，且四边形ANFH及四边形MEGD均为平行四边形，∴AN=HF，DM=EG．

∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，∴△ABN∽△DAM，∴,，即y=；

（3）解：

∵CO=4-a，DO=3+b．∴Rt△DOC中，DC2=（4-a）2+（3+b）2，即（4-a）2+（3+b）2=52．当a=b时，有（4-a）2+（3+a）2=25，解得a=1或a=0（不合）．故答案为：

1；

（4）当0＜a＜1时，a＜b．理由如下：

如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP．

∵CD∥BP，PC∥OF，∴DBPC为平行四边形，∴BP=DC，CP=BD．

又AB=DC，∴BP=AB．∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．

若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，∵∠1＞∠2，∴∠3＜∠4．又∵∠5=∠4，∴∠3＜∠5．∵Rt△ABO中，sin∠3=；同理sin∠5=，∴，即0＜a＜1．

面积问题

1.如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．

（1）设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；

（2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式；

（3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？

2.如图，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD

上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边

形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．

3.如图，在直角坐标系xOy中,一次函数（m为常数）的图像与x轴交于A（-3,0），与y轴交于点C。

以直线为对称轴的抛物线（a,b,c为常数，且a＞0）经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B.

（1）求一次函数及抛物线的函数表达式。

（2）已知在对称轴上是否存在一点P,使得PBC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标.

（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E,连接PD、PE。

设CD的长为m,PDE的面积为S。

求S与m之间的函数关系式。

并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：

若不存在，请说明理由。

第24题图

解：

（1）∵经过点A（-3，0），∴0=2+m，解得，

∴直线AC解析式为，C（0，）．

∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为，且与x轴交于A（-3，0），

∴另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），

∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（-1），解得a=，

∴抛物线解析式为；

（2）要使PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．如答图1，

连接AC交于P点，因为点A、B关于对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）．

∵A（-3，0）（，0），C（0，），∴直线AC解析式为，

∵xP=，∴yP=，即P（，）．

（3）∵设CD的长为m,PDE的面积为S∴D（0，），

∵DE‖PC，直线AC解析式为∴设直线DE解析式：

当y=0时，∴D（，0）

SPDE=SAOC-SDOE-SPDC-SPEA=

∴当时有最大值

四利润问题

1.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数。

（利润=售价—制造成本）

（1）写出每月的利润（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式。

（2分）

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？

（3分）。

当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？

最大利润是多少？

（3分）

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

（3分）

2.某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？

当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？

最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

解：

（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；

（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43

所以，销售单价定为25元或43元，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

（3）结合

（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元．

综合试题：

1.小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：

如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：

①作点A关于直线l的对称点A′．

②连接A′B，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：

（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．

①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）

②请直接写出△PDE周长的最小值．

（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值．

解：

（1）①如图1所示：

②∵点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，∴DE=3，

∵BC边上的高为4，∴DD′=4，∵DD′⊥BC，DE∥BC，

∴DD′⊥DE，∴ED′=  =5，

C△PDE=D′E+DE=5+3=8；故答案为：

8；

（2）如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=1，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵AB=4，BC=6，G为边AD的中点，∴DG=AG=AM=3，∵AE∥DH，∴   ，∴  ，, 故AE=1，

∴GE= = ，BF=2，CF= = = ，CG=  =5，∴C四边形GEFC=GE+EF+FC+CG=6+ 故答案为：

6+  ．

2.

（1）观察发现：

如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

做法如下：

作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______．

（2）实践运用：

如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（3）拓展延伸：

如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

3.【观察发现】

（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．

作法如下：

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．

（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

作法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_____．

【实践运用】

如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是_____．

【拓展延伸】

（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是_____；

（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．

解：

【观察发现】

（2）∵△ABC是等边三角形，AB=4，AD⊥BC，CE⊥AB，

∴点B与点C关于直线AD对称，BE=AB=×4=2，

∴BP+PE的最小值=CE===．

故答案为：

；

【实践运用】如图3，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，

∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，

∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：

BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，

故答案为：

5；

【拓展延伸】

（1）如图4，作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，

∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，

∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，

∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=25，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=25，

∴P′D′=，即DQ+PQ的最小值为．故答案为：

；

（2）如图5所示．

作法：

作点C关于直线BD的对称点C′，连接AC′并延长交BD于点P，则点P即为所求．

4.

（1）实际问题：

在一条笔直的高速公路l的同侧有两处旅游景点A、B，AB=50km，A、B到l的距离分别为10km和40km，要在高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．

现有两种设计方案：

图①是方案一的示意图（AP与直线l垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图②是方案二的示意图（点A关于直线l的对称点是A’，直接写出S1、S2的值，并比较它们