与《二次函数》有关的中考综合题(含答案和解析).doc

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与《二次函数》有关的中考综合题

一．解答题（共30小题）

1．（雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图

（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？

若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否总成立？

请给出证明；

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．

3．（铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．

（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．

（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？

4．（泰州）已知：

关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．

（1）y1=y2，请说明a必为奇数；

（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；

（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？

如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．

5．（十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求D点的坐标；

（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；

（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．

6．（晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．

（1）当m=3时，点B的坐标为　_________　，点E的坐标为　_________　；

（2）随着m的变化，试探索：

点E能否恰好落在x轴上？

若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

（3）如图，若点E的纵坐标为﹣1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．

7．（济南）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）求点C的坐标和线段EF的长；wWw.Xkb1.cOm

（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？

若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．

8．（湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

9．（宁德）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合

（1）直接写出点A、B的坐标：

A（　_________　，　_________　）、B（　_________　，　_________　）；

（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是　_________　；

（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？

若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；

（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．

10．（眉山）已知：

如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；X|k|B|1.c|O|m

（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．

11．（莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？

若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点．

（1）写出点A、点B的坐标；

（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3的顶点为M（2，﹣1），交x轴于点A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式；

（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2+PB2+PC2=35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数．

wWw.xKb1.coM

14．（抚顺）如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．

①用含y的代数式表示CD2，并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；

②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？

如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．

15．（恩施州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

16．（大连）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．

17．（朝阳）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（﹣1，0）．

（1）求点C的坐标；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；

（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；

（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时的点）为等腰三角形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

18．（徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：

　_________　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？

若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

19．（台州）如图1，已知直线l：

y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+k经过点A，其顶点为B，另一抛物线y=（x﹣h）2+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C．

（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；

（2）设交点C的横坐标为m．

①交点C的纵坐标可以表示为：

　_________　或　_________　，由此进一步探究m关于h的函数关系式；

②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．

20．（齐齐哈尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线l的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，若四边形OAPN的面积为20，求m、n的值．

21．（宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=

（1）求抛物线的解析式；

（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．

22．（唐山一模）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足z=﹣3x+3000

（1）求出政府补贴政策实施后，种植亩数y与政府补贴数额x之间的函数关系式；

（2）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（3）要使全市这种蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴数额X定为多少？

并求出总收益W的最大值．

（4）该市希望这种蔬菜的总收益不低于7200000元，请你在坐标系中画出3中的函数图象的草图，利用函数图象帮助该市确定每亩补贴数额的范围，在此条件下要使总收益最大，说明每亩补贴数额应定为多少元合适？

23．（上海模拟）某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它的日销售数量为100千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加（或减少）10千克，设该产品每千克售价为x（元），日销售量为y（千克），日销售利润为w（元）．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）写出w关于x的函数解析式及函数的定义域；

（3）若日销售量为300千克，请直接写出日销售利润的大小．

24．（溧水县二模）我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：

该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理．当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）．

（年利润=年销售总额﹣生产成本﹣投资成本）

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？

（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？

25．（高淳县二模）某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y=60+2x，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用．

（1）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为　_________　（元/千克），获得的总利润为　_________　（元）；

（2）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润w（元）与保存时间x（天）之间的函数关系式；

（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润．

26．（大丰市二模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．

（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；

（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；

（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？

最多利润是多少万元？

27．（遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；

（2）在

（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？

若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

28．（威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

29．（呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点A（6，0）、B（﹣2，0）和点C（0，﹣8）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为　_________　；

（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．

①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？

若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S0的值．

30．（鄂州）在平面直角坐标系中，已知M1（3，2），N1（5，﹣1），线段M1N1平移至线段MN处（注：

M1与M，N1与N分别为对应点）．

（1）若M（﹣2，5），请直接写出N点坐标．

（2）在

（1）问的条件下，点N在抛物线上，求该抛物线对应的函数解析式．

（3）在

（2）问条件下，若抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：

OF=2：

，求m的值．

（4）在（3）问条件下，动点P从B点出发，沿x轴正方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时BP的长度．

九年级数学《二次函数》综合练习题

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图

（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？

若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题．4387773

专题：

综合题；压轴题．

分析：

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；

（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．

解答：

解：

（1）由题意可知：

解得：

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵△PBC的周长为：

PB+PC+BC

∵BC是定值，

∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，

∵点A、点B关于对称轴I对称，

∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点

∵AP=BP

∴△PBC的周长最小是：

PB+PC+BC=AC+BC

∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），

∴AC=3，BC=；

故△PBC周长的最小值为3+．

（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）

∵A（﹣3，0）

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m，

∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）

∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）

=﹣m2﹣4m﹣3

∴S=S△DEF+S△AEF

=EF•GH+EF•AG

=EF•AH

=（﹣m2﹣4m﹣3）×2

=﹣m2﹣4m﹣3；

②S=﹣m2﹣4m﹣3

=﹣（m+2）2+1；

∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1

此时点E的坐标为（﹣2，2）．

点评：

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．

2．（孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；

（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．

①AE=EF是否总成立？

请给出证明；

②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．

考点：

二次函数综合题．4387773

专题：

综合题；压轴题．

分析：

（1）取AB的中点G，连接EG，利用ASA能得到△AGE与△ECF全等；

（2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；

②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a﹣1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标；

解答：

（1）解：

如图1，取AB的中点G，连接EG．

△AGE与△ECF全等．　

（2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立．

证明：

如图2，在AB上截取AM=EC．

∵AB=BC，

∴BM=BE，

∴△MBE是等腰直角三角形，

∴∠AME=180°﹣45°=135°，

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AME=∠ECF．

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF．

∴AE=EF．

②过点F作FH⊥x轴于H，

由①知，FH=BE=CH，

设BH=a，则FH=a﹣1，

∴点F的坐标为F（a，a﹣1）

∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，

∴a﹣1=﹣a2+a+1，

∴a2=2，（负值不合题意，舍去），

∴．

∴点F的坐标为．

点评：

本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题．

3．（铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．

（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．

（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？

考点：

一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．4387773

专题：

压轴题．

分析：

（1）利用“总利润=月利润的平均值×月数”列出函数关系式即可；

（2）根据总利润等于1620列出方程求解即可．

解答：

解：

（1