专题二----四点共圆的应用.docx
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专题二----四点共圆的应用
【知识点】
1、如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,简称“四点共圆”;
2、性质:
①共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;
②圆内接四边形的对角互补;
③圆内接四边形的一个外角等于它的内对角;
3、判定:
①若两个直角三角形共斜边,则四个顶点共圆,且直角三角形的斜边为圆的直径;
②共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆;
③对于凸四边形ABCD,若对角互补,则A、B、C、D四点共圆;
④相交弦定理的逆定理:
对于凸四边形ABCD,其对角线AC、BD交于P,若PA·PC=PB·PD,则A、B、C、D四点共圆;
⑤割线定理的逆定理:
对于凸四边形ABCD,两边AB、DC的延长线相交于点P,若PB·PA=PC·PD,则A、B、C、D四点共圆;
4、四点共圆的妙用:
巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长、最值等问题。
【例1】如图,点C为线段AB上任意一点(不与点A,B重合),分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE,CA=CD,CB=CE,且∠ACD=∠BCE,连接AE交CD于M,连接BD交CE于点N,AE与BD交于点P,连接CP。
求证:
∠APC=∠BPC
【变式1】如图,在正方形ABCD中,E为CD上一动点,连接AE交对角线BD于点F,过点F作FG⊥AE交
BC于点G,求证:
△AFG为等腰直角三角形。
【例2】如图,在正方形ABCD中,点E是BC边上的点,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CD于
点P,交边CD于点F;求证:
AE=EP
【变式2】如图,在Rt△ABC和在Rt△DBC中,∠BAC=∠BDC=90°,点O、M分别为BC、AD的中点,
求证:
OM⊥AD
【例3】如图,△ABC和△EFG均为边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M,当△EFG绕点D旋转时,线段EM长的最大值是;
【变式3】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,O为AC的中点,
过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为
【例4】如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,连接OF,则OF的长为
【变式4】如图,正方形ABCD的中心为O点,面积为25;点P为正方形内一点,且∠OPB=45°,
PA:
PB=3:
4,则PB=
【检测练习】
1、如图,正方形OABC的边长为2,以O为圆心,EF为直径的半圆经过点A,连接AE,CF相交于点P,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始,绕着点O逆时针旋转90°,交点P运动的路径长是 .
2、如图,在△ABC中,∠ACB=65°,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,则∠AED=,∠CED=。
3、如图,C为半圆⊙O上一点,AB为直径,且AB=2a,∠COA=60°,延长CP交半圆于点D,过P点作AP的垂线交AD的延长线于点H,则PH的长度为
5、如图,以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为点O,连接AO,
如果AB=4,AO=,则AC的长为
6、已知△ABC为等腰直角三角形,∠C为直角,延长CA到D,以AD为直径作圆,连接BD与⊙O交于点E,
连接CE,CE的延长线交⊙O于另一点F,则BD:
CF=
7、如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,且PB=5,PD=3,则PD·DC=
8、如图,AB为⊙O的直径,AD、BC为圆的两条弦,且BD与AC相交于点E;求证:
AC·AE+BD·BE=AB2