中考数学压轴题题精选含答案及解析.doc

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2016年中考数学压轴题70题精选（含答案）

【001】如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。

（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

【002】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值。

【003】抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。

若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。

（1）判断△ABM的形状，并说明理由。

（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。

（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。

【004】一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．

（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：

①；

②．

O

C

F

M

D

E

N

K

y

x

（第25题图1）

O

C

D

K

F

E

N

y

x

M

（第25题图2）

（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？

试证明你的结论．

【005】如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在

（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

【006】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；

（4）当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？

（请直接写出结论）．

O

B

x

y

A

M

C

1

（第26题图）

【007】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；

（3）第

（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

y

x

O

C

D

B

A

3

3

6

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：

？

若存在，求点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

【008】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．

（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．

O

x

y

N

C

D

E

F

B

M

A

【009】如图，抛物线经过三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．

O

x

y

A

B

C

4

1

（第26题图）

【010】如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

y

x

O

A

B

C

（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，

且，求点的坐标．

【011】如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【012】如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设

（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．

y

x

B

A

O

D

（第26题）

【013】如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1=▲（用含k1、k2的式子表示）；

（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．

①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；

②记，S2是否有最小值？

若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。

【014】一开口向上的抛物线与x轴交于A（m－2，0），B（m＋2，0）两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

（1）若m为常数，求抛物线的解析式；

（2）若m为小于0的常数，那么

（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？

若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【015】如图，已知抛物线与交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与轴交于点B（0，3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）△AOB与△DBE是否相似？

如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

【016】如图，已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．

（1）求点的坐标（用表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，试证明：

为定值．

【017】阅读材料：

如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；

图12-2

x

C

O

y

A

B

D

1

1

（3）是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在,求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

【018】已知二次函数。

（1）求证：

不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。

（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式。

（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。

【019】如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．

（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

O

x

y

E

P

D

A

B

M

C

（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．

①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；

②当为等腰三角形时，求的值．

【020】已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.

（1）填空：

试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；

（2）如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；

（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

第

（2）题

x

y

B

C

O

D

A

M

N

N′

x

y

B

C

O

A

M

N

备用图

（第24题）

【021】已知：

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与

（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于

（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

26题图

y

x

D

B

C

A

E

E

O

【022】已知平行于x轴的直线与函数和函数的图像分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）.[来源:

Zxxk.Com]

（1）若，且tan∠POB=，求线段AB的长；

（2）在过A，B两点且顶点在直线上的抛物线中，已知线段AB=，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；

（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到的图像，求点P到直线AB的距离。

【023】如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线上．

（1）　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点．

①　当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？

若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

（第24题）

4

x

2

2

A

8

-2

O

-2

-4

y

6

B

C

D

-4

4

【024】已知函数为方程的两个根，点在函数的图象上．

（Ⅰ）若，求函数的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数与的图象的两个交点为，当的面积为时，求的值；（Ⅲ）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由．

【025】如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。

【026】如图9，已知抛物线y=x2–2x＋1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连结O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．

（1）求直线l的函数解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC=S△DPB?

若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图9

【027】如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.

（1）求a的值及直线AC的函数关系式；

（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？

如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由。

【028】已知：

抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．

（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

[来源:

学科网]

A

C

x

y

B

O

【029】如图14

（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，）．［图14

（2）、图14（3）为解答备用图］

（1）　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　；

（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

图14

（1）　　　　　　图14

（2）　　　　　　　　图14（3）

【030】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过，，三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为，连接．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）如果点的坐标为，的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；

1

2

3

3

1

D

y

C

B

A

P

2

E

x

O

（3）在

（2）的条件下，当取得最大值时，过点作的垂线，垂足为，连接，把沿直线折叠，点的对应点为，请直接写出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．

【031】如图18，抛物线F：

的顶点为P，抛物线：

与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：

，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．

⑴当a=1，b=－2，c=3时，求点C的坐标（直接写出答案）；

⑵若a、b、c满足了

①求b：

b′的值；

②探究四边形OABC的形状，并说明理由．

图18

【032】已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？

若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．

y

x

O

【033】如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在y轴正半轴上，点A、C的坐标分

别为（0，1）、（2，4）．点P从点A出发，沿A→B→C以每秒1个单位的速度运动，到

点C停止；点Q在x轴上，横坐标为点P的横、纵坐标之和．抛物线

经过A、C两点．过点P作x轴的垂线，垂足为M，交抛物线于点R．设点P的运动时间为t（秒），△PQR的面积为S（平方单位）．

（1）求抛物线对应的函数关系式．

（2）分别求t=1和t=4时，点Q的坐标．

（3）当0＜≤5时，求S与t之间的函数关系式，并直接写出S的最大值．

【034】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：

抛物线经过点．

（1）求点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

B

A

C

x

y

（0，2）

（－1，0）

（第25题）

（3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【035】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

C

P

B

y

A

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

【036】已知：

如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；

B

A

O

C

y

x

（第26题图）

（3）在

（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？

如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

B

O

A

·

x

y

第28题图

【037】如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B．

（1）求点A、点B的坐标．

（2）若点P是x轴上任意一点，求证：

．

（3）当最大时，求点P的坐标．

【038】如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．

阅读理解：

图13-1

A

O1

O

O2

B

B

图13-2

A

C

n°

D

O1

O2

B

图13-3

O2

O3

O

A

O1

C

O4

（1）如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到

⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周．

（2）如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在

∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2=n°，⊙O在点B处自转周．

实践应用：

（1）在阅读理解的

（1）中，若AB = 2c，则⊙O自转周；若AB = l，则⊙O自转周．在阅读理解的

（2）中，若∠ABC =120°，则⊙O在点B处自转周；若∠ABC =60°，则⊙O在点B处自转周．

（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转周．

O

A

B

C

图13-4

D

拓展联想：

（1）如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？

请说明理由．

D

图13-5

O

（2）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写

出⊙O自转的周数．

【039】如图已知直线L：

，它与x轴、y轴的交点分别为A、B两点。

（1）求点A、点B的坐标。

（2）设F为x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法，保留作图痕迹）。

（3）设92）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y关于x的函