第一章三角形的初步认识期末专项练习解析版.docx

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第一章三角形的初步认识期末专项练习解析版

第一章三角形的初步认识期末专项练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．能说明“锐角α，锐角β的和小于90°”是假命题的例证图是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据三角形内角和等于180°解答．

【解答】解：

D选项图中，三角形三个内角都是锐角，则∠α+∠β＞90°，

∴“锐角α，锐角β的和小于90°”是假命题，

故选：

D．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

2．如图，△ABC≌△EFD且AB＝EF，CE＝4，CD＝5，则AC＝（　　）

A．4B．5C．9D．10

【分析】根据全等三角形的性质可得AC＝DE＝9．

【解答】解：

∵CE＝4，CD＝5，

∴DE＝9，

∵△ABC≌△EFD，

∴AC＝DE＝9，

故选：

C．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型．解答本题的关键是熟练运用全等三角形的性质．

3．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）

A．50°B．60°C．70°D．80°

【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．

【解答】解：

∵两个三角形全等，

∴∠α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，

故选：

C．

【点评】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型．解答本题的关键是熟练运用全等三角形的性质．

4．在△ABC中，若∠A+∠B﹣∠C＝0，则△ABC是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，即可判断．

【解答】解：

∴∠A+∠B﹣∠C＝0，

∴∠C＝∠A+∠B，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

故选：

A．

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形的分类，是一个基础题．

5．在下列长度的四根木棒中能与2cm、5cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　）

A．2cmB．3cmC．5cmD．7cm

【分析】首先设第三根木棒长为xcm，根据三角形的三边关系定理可得5﹣2＜x＜5+2，计算出x的取值范围，然后可确定答案．

【解答】解：

设第三根木棒长为xcm，由题意得：

5﹣2＜x＜5+2，

∴3＜x＜7，

∴C选项5cm符合题意，

故选：

C．

【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：

用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．

6．在△ABC和△FED中，已知∠B＝∠E，BC＝ED，要根据“SAS”说明这两个三角形全等，还需要添加的条件是（　　）

A．AB＝DFB．AC＝EFC．AB＝FED．AC＝DF

【分析】根据判定两个三角形全等的方法SAS可得出答案．

【解答】解：

还需要添加的条件是AB＝FE．

在△ABC和△FED中，

，

∴△ABC≌△FED（SAS）．

故选：

C．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

7．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（　　）

A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8

【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，先证△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．

【解答】解：

如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD，

在△ABD和△ECD中，

，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴CE＝AB＝5，

在△ACE中，由三角形的三边关系得：

CE﹣AC＜AE＜CE+AC，

∴5﹣3＜AE＜5+3，

即2＜2AD＜8，

∴1＜AD＜4，

故选：

B．

【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质等知识；遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．

8．如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最省事的方法是（　　）

A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去

【分析】根据题意可得最省事的方法是带一块，四个选项中只有C答案是一块，③这一块中保留了一条边还有两个角，可以根据三角形全等的判定方法得到一块完全一样的玻璃．

【解答】解：

③这一块中保留了一条边还有两个角，可以根据ASA定理得到一块完全一样的玻璃，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：

SSS、ASA、AAS、SAS．

9．如图，已知a∥b，在Rt△ABC中∠A＝60°，∠C＝90°．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．100°B．110°C．120°D．130°

【分析】如图，延长AC交直线b于T．利用平行线的性质，求出∠3，利用三角形的外角的性质求出∠2即可．

【解答】解：

如图，延长AC交直线b于T．

∵a∥b，

∴∠1＝∠3＝50°，

∴∠2＝∠A+∠3＝60°+50°＝110°，

故选：

B．

【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10．如图，∠A＝40°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为（　　）

A．80°B．100°C．110°D．140°

【分析】根据三角形的内角和定理求得∠ADE+∠AED，再由折叠的性质得∠ADF+∠AEF的度数，最后根据平角的性质求得结果．

【解答】解：

∵∠A＝40°，

∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝140°，

由折叠知，∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED，

∴∠ADF+∠AEF＝2（∠ADE+∠AED）＝280°，

∴∠FDB+∠FEC＝180°﹣∠ADF+180°﹣∠AEF＝360°﹣280°＝80°，

故选：

A．

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的性质，折叠的性质，关键是求得∠ADF+∠AEF的度数．

11．如图，为了测量池塘东西两边A、B之间的宽度，小明同学先从A点向南走到点O处，再继续向南走相同的距离到达点C，然后从点C开始向西走到与O、B两点共线的点D处，测量C、D间的距离就是A，B间的距离．这里判断△OCD≌△OAB的直接依据是（　　）

A．SSSB．SSAC．SASD．ASA

【分析】由题意知AO＝CO，根据∠BAO＝∠DCO＝90°和∠AOB＝∠COD即可证明△OCD≌△OAB．

【解答】解：

在△OCD与△OAB中，

，

∴△OCD≌△OAB（ASA），

故选：

D．

【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，利用ASA证明△OCD≌△OAB是解题的关键．

12．尺规作图作角的平分线，作法步骤如下：

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于

CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

则上述作法的依据是（　　）

A．SSSB．SASC．AASD．ASA

【分析】根据SSS证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题即可．

【解答】解：

连接PC，PD．

．

由作图可知，OC＝OD，PC＝PD，

在△OPC和△OPD中，

，

∴△OPC≌△OPD（SSS），

∴∠POC＝∠POD，

故选：

A．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

13．下面是投影屏上出示的解答题，需要回答横线上符号代表的内容．

如图，直线EF∥直线GH，在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分∠DBE，若∠CAD＝26°，求∠BAD的度数．

解：

∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，

∴∠ADC＝

．

∵直线EF∥直线GH，

∴

＝∠ADC＝64°．

∵BA平分∠DBE，

∴∠ABE＝

＝32°．

∵直线EF∥直线GH，

∴∠BAD＝

＝32°．

下列选项错误的是（　　）

A．

代表64°B．

代表∠DBE

C．

在代表

∠DBED．

代表∠CBE

【分析】利用三角形内角和定理可得∠ADC的度数，再利用平行线的性质及角平分线的定义可得答案．

【解答】解：

∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，

∴∠ADC＝64°．

∵直线EF∥直线GH，

∴∠DBE＝∠ADC＝64°．

∵BA平分∠DBE，

∴∠ABE＝

∠DBE＝32°．

∵直线EF∥直线GH，

∴∠BAD＝∠ABE＝32°．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．

14．如图，在三角形ABC中，∠A＝45°，三角形ABC的高线BD，CE交于点O，则∠BOC的度数（　　）

A．120°B．125°C．135°D．145°

【分析】由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝135°，结合垂直的定义可得∠BCE+∠CBD＝45°，再利用三角形的内角和定理可求解．

【解答】解：

∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝45°，

∴∠ABC+∠ACB＝135°，

∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠ABC+∠BCE＝∠ACB+∠CBD＝90°，

∴∠ABC+∠BCE+∠ACB+∠CBD＝180°，

∴∠BCE+∠CBD＝45°，

∵∠BOC+∠BCE+∠DBC＝180°，

∴∠BOC＝135°．

故选：

C．

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．

15．已知直线a∥b，Rt△DCB按如图所示的方式放置，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠B＝20°，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．90°B．70°C．60°D．45°

【分析】如图，延长BD交直线b于点M．求出∠BDC，再利用三角形的外角的性质以及平行线的性质解决问题即可．

【解答】解：

如图，延长BD交直线b于点M．

∵∠DCB＝90°，∠B＝20°，

∴∠BDC＝90°﹣20°＝70°，

∵a∥b，

∴∠1＝∠BMC，

∵∠BDC＝∠DMC+∠2＝∠1+∠2，

∴∠1+∠2＝70°，

故选：

B．

【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

16．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠B＝∠EB．AC＝DFC．∠ACD＝∠BFED．BF＝CD

【分析】根据全等三角形的全等定理逐个判断即可．

【解答】解：

A．符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；

B．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；

C．∵∠ACD＝∠BFE，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠BFE＝∠E+∠D，∠A＝∠D，

∴∠B＝∠E，

即符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；

D．∵BF＝CD，

∴BF+CF＝CD+CF，

即BC＝DF，

∵∠A＝∠D，AB＝DE，

∴不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；

故选：

D．

【点评】本题考查了三角形的外角性质和全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．

17．如图，AD交BC于点O，∠BAD的角平分线与△OCD的外角∠OCE的角平分线交于点P，则∠P与∠B、∠D的数量关系为（　　）

A．∠P＝

B．∠P＝

C．∠P＝90°+∠B+∠DD．∠P＝90°﹣∠B+∠D

【分析】设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．

【解答】解：

设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，

则有

，

①﹣2×②可得：

∠B﹣2∠P＝∠D﹣2∠D﹣180°，

∴∠P＝

，

故选：

A．

【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

18．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）

A．平行四边形的两组对角分别相等

B．正多边形的每条边都相等

C．成中心对称的两个图形一定全等

D．矩形的两条对角线相等

【分析】互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【解答】解：

A、平行四边形的两组对角分别相等的逆命题是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；

B、正多边形的每条边都相等的逆命题是每条边都相等的多边形是正多边形，是假命题；

C、成中心对称的两个图形一定全等的逆命题是两个图形全等一定成中心对称，是假命题；

D、矩形的两条对角线相等的逆命题是两条对角线相等的四边形是矩形，是假命题；

故选：

A．

【点评】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

19．如图，∠ACB＝90°，AC＝CD，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E．若AB＝2DE，则∠BAC的度数为（　　）

A．45°B．30°C．22.5°D．15°

【分析】连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB＝∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB＝DM，求出AD＝AM，根据等腰三角形的性质得出即可．

【解答】解：

连接AD，延长AC、DE交于M，

∵∠ACB＝90°，AC＝CD，

∴∠DAC＝∠ADC＝45°，

∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°＝∠ACB＝∠DCM，

∵∠ABC＝∠DBE，

∴由三角形内角和定理得：

∠CAB＝∠CDM，

在△ACB和△DCM中

∴△ACB≌△DCM（ASA），

∴AB＝DM，

∵AB＝2DE，

∴DM＝2DE，

∴DE＝EM，

∵DE⊥AB，

∴AD＝AM，

∴∠BAC＝∠DAE＝

∠DAC＝

＝22.5°，

故选：

C．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB＝DM是解此题的关键．

20．下列命题：

①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．

【解答】解：

①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；

②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；

如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，

∴△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC，

同理：

B′E′＝A′C′，

∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，

∴△ABE≌△A′B′E′，

∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，

∴∠CAD＝∠C′A′D′，

∴∠BAC＝∠B′A′C′，

∴△BAC≌△B′A′C′．

③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．

故选：

A．

【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．

二．填空题（共10小题）

21．以下说法中，正确的是　③　（填写序号，可能有多选）．

①周长相等的两个三角形全等；

②有两边及一角分别相等的两个三角形全等；

③两个全等三角形的面积相等；

④面积相等的两个三角形全等．

【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：

周长相等的两个三角形不一定全等，如一个三角形的三边长为3，6，8，另一个三角形的边长为4，5，8，故①错误；

有两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，如两个直角三角形有一个直角对应相等，一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形一条直角边和斜边相等，则这个两个三角形不全等，故②错误；

两个全等三角形的面积相等，故③正确；

面积相等的两个三角形不一定全等，如两个三角形的同底等高，而这两个三角形不一定全等，故④错误；

故答案为：

③．

【点评】本题考查全等三角形的判定、全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定定与性质解答．

22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝　8cm或15cm　时，△ABC和△APQ全等．

【分析】分情况讨论：

①AP＝BC＝8cm时，Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；

②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP＝AC＝15cm．

【解答】解：

①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：

在Rt△ABC和Rt△QPA中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），

即AP＝B＝8cm；

②当P运动到与C点重合时，如图2所示：

在Rt△ABC和Rt△PQA中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），

即AP＝AC＝15cm．

综上所述，AP的长度是8cm或15cm．

故答案为：

8cm或15cm．

【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．

23．如图，△ABC≌△ADE．若∠B＝45°，∠C＝30°，∠BAD＝40°，则∠BAE的度数为　65　°．

【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案．

【解答】解：

∵△ABC≌△ADE，

∴∠B＝∠D＝45°，∠C＝∠E＝30°，

∴∠DAE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．

∵∠BAD＝40°，

∴∠BAE＝105°﹣40°＝65°．

故答案为：

65．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．

24．给出如下定义：

点P是△ABC内部一点，如果存在过点P的直线可以将△ABC分成面积相等的两部分，则称该点为△ABC的“中立点”，下列四个结论中：

①当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；

②△ABC的“中立点”的个数为有限个；

③△ABC的“中立点”有无数个，但不是△ABC内部所有的点；

④△ABC内部所有的点都是△ABC的“中立点”．

所有正确结论的序号是　①③　．

【分析】对于结论①②，根据三角形的中线平分三角形的面积可判断；

对于结论③④，根据△ABC的“中立点”的定义可判断．

【解答】解：

①

∵三角形的中线平分三角形的面积，

∴当点P在△ABC的一条中线上时，该点为△ABC的“中立点”；

故结论①正确；

②由①可知：

三角形三条中线上的点（除顶点外）都是△ABC的“中立点”，所以△ABC的“中立点”的个数为无限个；

故结论②错误；

③根据②可知：

△ABC的“中立点”有无数个，但不是△ABC内部所有的点；

故结论③正确；

④△ABC内部不是所有的点都是△ABC的“中立点”．

故结论④错误．

综上所述，正确的结论是：

①③．

故答案为：

①③．

【点评】本题考查三角形面积的运用和△ABC的“中立点”的理解和运用，需仔细分析题意，利用所给结论，结合三角形中线平分三角形面积即可解决问题．

25．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数　80　°．

【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，利用角平分线的定义求出∠BAD，再利用三角形的外角的性质求解即可．

【解答】解：

∵CE⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°﹣40°＝50°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝

∠BAC＝30°，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+30°＝80°，

故答案为80．

【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

26．我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形ABC外，可画出与△ABC全等的格点三角形共有　15　个．

【分析】用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．

【解答】解：

用SSS判定两三角形全等，所以共有16个全等三角形，

除去△ABC外有15个与△ABC全等的三角形．

故答案为：

15．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．

27．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ACE的面积是1，则△ABC的面积是　4　．

【分析】根据三角形的面积公式，得△ACE的面积是△ACD的面积的一半，△ACD的面积是△ABC的面积的一半．依此即可求解．

【解答】解：

∵CE是△ACD的中线，

∴S△ACD＝2S△ACE＝2．

∵AD是△ABC的中线，

∴S△ABC＝2S△ACD＝4．

故答案为4．

【点评】考查了三角形的面积，此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．

28．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是　ASA　．

【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．

【解答】解：

小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，

他根据的定理是：

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．

故答案为：

ASA．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

29．如图，在△ABC中，∠A＝θ，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝　

　．（用θ表示）

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝

∠ABC，∠A1CD＝

∠ACD，然后整理得到∠A1＝

∠A，同理可得