普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学试题 文科解析版Word文档格式.docx

普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学试题 文科解析版Word文档格式.docx

《普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学试题 文科解析版Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通高等学校招生全国统一考试四川卷数学试题 文科解析版Word文档格式.docx（29页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

f（x）+a的图象．左右平移涉及的是x的变

化，上下平移涉及的是函数值f（x）加减平移的单位．

5.设p:

实数x，y满足x>

1且y>

1，q:

实数x，y满足x+y>

2，则p是q的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

由题意，x>

1，则x+y>

2，而当x+y>

2时不能得出，x>

1.故p是

q的充分不必要条件，选A.

充分必要条件.

【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．

6.已知a函数f（x）=x3-12x的极小值点，则a=（）（A）-4（B）-2（C）4（D）2

f'

（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2），令f'

（x）=0得x=-2或x=2，易得f（x）在

（-2,2）上单调递减，在（2,+∞）上单调递增，故f（x）极小值为f

（2），由已知得a=2，故选D.

函数导数与极值.

【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点x0是方程f'

（x）=0的解，但x0是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在x0附近，如果x<

x0时，

f'

（x）<

0，x>

x0时f'

（x）>

0，则x0是极小值点，如果x<

x0时，f'

0，x>

0，则x0是极大值点，

7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）

（参考数据：

lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）

（A）2018年（B）2019年（C）2020年（D）2021年

1.增长率问题；

2.常用对数的应用.

【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．

8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）

（A）35（B）20（C）18（D）9

1.程序与框图；

2.秦九韶算法；

3.中国古代数学史.

【名师点睛】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．

uuruuur2

9.已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足AP=1，PM=MC，则BM

的最大值是（）

43

（A）

4

49

（B）

（C）

（D）

1.向量的数量积运算；

2.向量的夹角；

3.解析几何中与圆有关的最值问题.

【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出

∠ADC=∠ADB=∠BDC=120︒，且DA=DB=DC=2，因此我们采用解析法，即建立直角

2

坐标系，写出A,B,C,D坐标，同时动点P的轨迹是圆，BM

圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．

（x+1）2+（y+33）24

，因此可用

10.设直线l1，l2分别是函数f（x）=

⎧-lnx,0<

x<

1,

⎩

⎨lnx,x>

图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点

P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）（A）（0,1）（B）（0,2）（C）（0,+∞）（D）（1,+∞）

设P1（x1,lnx1）,P2（x2,-lnx2）（不妨设x1>

1,0<

x2<

1），则由导数的几何意义易得

切线l,l的斜率分别为k=1,k=-1.由已知得kk=-1,∴xx=1,∴x=1.∴切线l的

121x2x12122x1

方程分别为y-lnx1=

12

（x-x1），切线l2的方程为y+lnx2=-

x1x2

1

（x-x2），即

=-⎛1⎫

y-lnxxx-.分别令x=0得A（0,-1+lnx）,B（0,1+lnx）.

又l与l的交点为

11ç

x⎪

1112

⎛2x

⎝1⎭

1-x2⎫

12x1+x2

Pç

1,lnx1+1⎪.x1>

1,∴S∆PAB=

yA-yB⋅xP

=1<

1

=1,∴0<

S∆PAB<

1，故

1+x2

21+x2

⎝

选A.

11⎭11

1.导数的几何意义；

2.两直线垂直关系；

3.直线方程的应用；

4.三角形面积取值范围.

【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点A,B坐标，由两直线相交得出P点坐标，从

而求得面积，题中把面积用x1表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．sin7500=.

【答案】

2

三角函数诱导公式

【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．

12.已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积.

由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为S=⨯23⨯1=，高为1，所以

该几何体的体积为V=1Sh=1⨯3⨯1=.

333

1.三视图；

2.几何体的体积.

【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．

13.从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则logab为整数的概率=.

6

古典概型.

【名师点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的总数，本题中所给数都可以作为对数的底面，因此所有对数的个数就相当于4个数中任取两个的全排列，个数为A4，而满足题意的只有2

个，由概率公式可得概率．在求事件个数时，涉及到排列组合的应用，涉及到两个有理的应用，解题时要善于分析．

14.已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则

f（-5）+f

（1）=.

【答案】-2

1.函数的奇偶性；

2.函数的周期性.

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性．属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性

f（x）=f（x+T），化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到

已知区间上，再由函数式求值即可．

'

y-x

15．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（x2+y2,x2+y2）；

当

P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A'

，则点A'

的“伴随点”是点A.

②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.

③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称

④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.

【答案】②③

【解析】试题分析：

对于①，若令P（1,1），则其伴随点为P'

（1,-1），而P'

（1,-1）的伴随点为（-1,-1），而不是P，故

2222

①错误；

对于②，设曲线f（x,y）=0关于x轴对称，则f（x,-y）=0对曲线f（x,y）=0表示同一曲线，其伴随曲线

1.新定义问题；

2.曲线与方程.

【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．

三、解答题：

本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16、（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：

吨），将数据按照[0,0.5），

[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.

（Ⅰ）a=0.30；

（Ⅱ）36000；

（Ⅲ）2.04．

试题解析：

（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：

月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×

0.5=0.04.

同理，在[0.5,1），（1.5,2]，[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.

由1–（0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02）=0.5×

a+0.5×

a，

解得a=0.30.

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.

由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×

0.13=36000.

（Ⅲ）设中位数为x吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>

0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<

0.5

所以2≤x<

2.5.

由0.50×

（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.

故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.

频率分布直方图、频率、频数的计算公式

【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

17、（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°

，BC=CD=

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

1AD.

（II）证明：

平面PAB⊥平面PBD.

（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；

（Ⅱ）证明详见解析.

（I）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点.理由如下：

因为AD‖BC,BC=

AD，所以BC‖AM,且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.

又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.

（说明：

取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（II）由已知，PA⊥AB,PA⊥CD,

因为AD∥BC,BC=

AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD.

从而PA⊥BD.

因为AD∥BC,BC=1

AD，

所以BC∥MD,且BC=MD.

所以四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=

AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.

【名师点睛】本题考查线面平行、面面垂直的判断，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），证明面面垂直时，要证线面垂直，要善于从图形中观察有哪些线线垂直，从而可能有哪个线面垂直，确定要证哪个线线垂直，切忌不加思考，随便写．

18、（本题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且

（I）证明：

sinAsinB=sinC；

（II）若b2+c2-a2=6bc，求tanB.

5

（Ⅰ）证明详见解析；

（Ⅱ）4.

cosA+cosB=sinC.

abc

（Ⅰ）根据正弦定理，可设

则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．

a=

sinA

b

sinB

=c

sinC

=k（k>

0）．

cosA

代入+

a

cosBb

=sinCc

中，有

cosAksinA

+cosBksinB

=sinCksinC

，变形可得

sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）=sinC，所以sinAsinB=sinC．

（Ⅱ）由已知，2

226

，根据余弦定理，有

b+c–a=bc

cosA=

b2+c2-a2

2bc

=3．

所以sinA=

=4．

由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

所以4sinB=4

55

cosB+3

sinB，

故tanB4．

cosB

正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.

【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180︒这个结论，否则难以得出结论．

19、（本小题满分12分）

已知数列{an

}的首项为1，Sn

为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1

，其中q>

0，n∈N*.

（Ⅰ）若a2,a3,a2+a3成等差数列，求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线x2

-y2==

的离心率为e，且e2

，求e2+e2+⋅⋅⋅+e2

2n2

n

12n

.

（Ⅰ）a=qn-1；

（Ⅱ）n+1（3n-1）.

n2

（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到en的表达式，再由e2=2解出q的值，最后利用等比数列的求和公式求解计算.

（Ⅰ）由已知，Sn+1=

qSn+1,Sn+2=

qSn+1+1,

两式相减得到an+2=

qan+1,n³

1.

又由S2=

qS1+1得到a2=

qa1，故an+1=qan对所有n³

1都成立.

所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.从而an=qn-1.

由a2，a3，a2+a3成等差数列，可得2a3=a2+a2+a3，所以a3=2a2,，故q=2.

n-1*

所以an=2（nÎ

N）.

数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式

【名师点睛】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是Sn的递推式，在与Sn的关系式中，经常用n-1代换n（n≥2），然后两式相减，可得an的递推式，利用这种方法解题时要注意a1；

在第（Ⅱ）问中，按题意步步为营，认真计算．不需要多少解题技巧，符合文科生的特点．

20、（本小题满分13分）

x2+y2=>

>

已知椭圆E：

a2b21（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点

P（3,）在椭圆E上.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设不过原点O且斜率为1

的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM

与椭圆E交于C，D，证明：

MA⋅MB=MC⋅MD．

（1）

x2+2

=1；

（2）证明详见解析.

（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得a=2b，椭圆的标准

方程中可减少一个参数，再利用P（3,）在椭圆上，可解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；

（Ⅱ）

首先设出直线l方程为y=1x+m，同时设交点A（x,y）,B（x,y），把l方程与椭圆方程联立后消

21122

去y得x的二次方程，利用根与系数关系，得x+x,xx，由MA⋅MB=1

AB2求得MA⋅MB（用

12124

m表示），由OM方程y=-

x具体地得出C,D坐标，也可计算出MC⋅MD，从而证得相等．

（I）由已知，a=2b.

x2y213

又椭圆

+=1（a>

b>

0）过点P（3,），故

+4=1，解得b2=1.

a2b2

24b2b2

所以椭圆E的方程是

y=1.

所以MC⋅MD=

5（-m+2）⋅5（+m）=5（2-m2）.

224

又MA⋅MB=

AB2=1[（x-x）2+（y-y）2]=5[（x+x）2-4xx]

441212161212

=5[4m2-4（2m2-2）]=5（2-m2）.

16