椭圆周长和面积计算公式.docx

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椭圆周长和面积计算公式

椭圆周长和面积计算公式

椭圆周长、面积公式

椭圆定理（又名：

椭圆猜想）

椭圆定理

（关键词：

椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。

）

一、椭圆第一定义

椭圆第一定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆第一定义的数学表达式：

MF1+MF2=2a>F1F2

（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。

）

M为动点，F1、F2为定点，a为常数。

在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。

二、椭圆定理

（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）

椭圆定理Ⅰ：

任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。

该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。

附图：

椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）

（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）

定义1：

K1=2/（π-2），K1为椭圆第一常数。

定义2：

f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。

定义3：

T=K1+f，T为椭圆周率。

椭圆定理Ⅱ：

椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。

（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）

椭圆具有三特性，也称椭圆三态。

1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；

2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；

3、当椭圆b

定义：

任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。

根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：

b2+c2=1（椭圆单位）

当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。

定义：

K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。

椭圆定理Ⅲ：

椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。

当椭圆b>c时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三常数（K3），椭圆离心率（e）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率（f）和椭圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对稳定型；当椭圆b

三、椭圆周长、面积计算公式和定理

（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：

L=2πb+4（a-b）

椭圆周长定理：

椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式：

S=πab

椭圆面积定理：

椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。

椭圆中有常数K1和K2，椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式，一个为体，一个为用。

一、椭圆周长、面积计算公式

根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。

椭圆周长公式：

L=2πb+4（a-b）

椭圆周长定理：

椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式：

S=πab

椭圆面积定理：

椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程

（一）发现椭圆常数

常数在于探索和发现。

椭圆三要素：

焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。

椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。

椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。

椭圆的周长取值范围：

4a

（1）

椭圆周长猜想：

L=（2πa-4a）T    

（2）

T是猜想的椭圆周率。

将

（1）等式与

（2）等式合并，得：

4a<（2πa-4a）T<2πa    （3）

根据不等式基本性质，将不等式（3）同除（2πa-4a），有：

4a/（2πa-4a）

简化表达式（4）：

2/（π-2）

定义：

K1=2/（π-2）；K2=π/（π-2）

计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数：

K1＝1.75193839388411……    K2＝2.75193839388411……

椭圆第二常数：

K2=K1+1

椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。

（二）椭圆周长公式推导

长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。

定义：

椭圆向心率为f，f=b/a。

根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0

K1+f

定义：

T=K1+f，将此等式代入等式

（2）则有：

L=（2πa-4a）T=2（π-2）a（K1+f）

=2（π-2）a（2/（π-2）+b/a）=2πb+4（a-b）

椭圆周长计算公式：

L=2πb+4（a-b）

（三）椭圆面积公式推导

椭圆面积的取值范围：

0

（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。

如：

上式中πa2为π乘a的二次方。

）

椭圆面积猜想：

S=πa2T    （6）

T是猜想的椭圆面积率。

将（5）等式与（6）等式合并，得：

0<πa2T<πa2    （7）

根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa2，则有：

0

可得：

S=πa2T=πa2（K+f）    （8）

在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中：

S=πa2b/a=πab

椭圆面积计算公式：

S=πab

关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题

易亚苏

《椭圆定理》一文中有：

“定义1：

K1=2/（π-2），K1为椭圆第一常数。

定义2：

f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。

定义3：

T=K1+f，T为椭圆周率”。

有聪明的网友提出“定义：

T=k1+f没有依据”，现就此问题作出如下分析说明。

（一）

在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中，有“T是猜想的椭圆周率”，并“定义：

T=K1+f”（《椭圆定理》中也有此定义，见上）。

《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达式:

2/（π-2）

定义：

K1=2/（π-2）；K2=π/（π-2）。

这样定义理当无可非议。

那么，K1

k1

对于具体椭圆而言k1

（a>b>0）（参见《椭圆定理》）。

因为0

所谓“同样的代数内含”是思维数学。

由椭圆定义，a>b>0,因为f=b/a,即0

当b接近0时，椭圆接近双直线，其长度近似于4a；当b接近a时，椭圆接近圆，其周长近似于2πa。

当b在0与a之间变化时，形状为椭圆，其周长为L=2πb+4（a-b）。

以下作简要分析，如果把椭圆的a作为椭圆单位，那么f=B（椭圆单位），B＝b/a（椭圆单位），其中0

T=k1+f，k1

注：

椭圆单位的概念很重要，切记并体会其内含！

在《椭圆定理》短文中首次提出了“椭圆单位”的概念，“定义：

任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位”。

其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来，也是基于“椭圆单位”的思考而来。

（二）

研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数：

K1＝1.75193839388411……    

K2＝2.75193839388411……

这两个奇特的数里包含了π，π是圆周率，f=b/a是0到1之间的小数，那么对于椭圆来说T=k1+f是一个也包含了π的特定数，所以定义T为“椭圆周率”。

椭圆周率与圆周率不同，圆周率是固定的值π，椭圆周率是变化的值T=k1+f，它随椭圆b与a的比值变化而变化。

从某种意义上说圆是椭圆的范围，由于椭圆定义了a>b>0，所以只能称“圆是椭圆的范围”，而不能称圆是特殊的椭圆。

但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参考，所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形，只能发出“圆完美的和谐，椭圆和谐的完美”这样的感叹。

（三）

笔者认为任何科学研究的方法都基于：

1、发现特殊现象；2、提出假设或猜想；3、利用假设或猜想做出结论；4、对结论进行检验。

《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。

笔者认为论文不在长短，而在其价值。

当今的椭圆理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公式，缺少标准的椭圆周长计算公式），那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。

任何科学的原始依据从哪里来？

从发现来。

对特殊现象的发现加以总结，通过检验就可以成为理论；理论升华就是科学，科学也是理论依据的源泉。

（四）

椭圆周长无疑在4a

椭圆里的B（B＝b/a椭圆单位）从0到1的平滑变化，必然导致其椭圆周长的平滑变化。

椭圆是平滑的闭合曲线，其周长与f=b/a的变化有着必然的对应变化数学关系。

所以笔者在《椭圆定理》中要定义f为椭圆向心率，f=b/a，（a>b>0）。

如果引用椭圆单位，则4

在《椭圆定理》短文中有“后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”，可惜网上尚未能表示出“验算公式表”，相信您用Excel可以很容易作出“验算公式表”，并可以对椭圆周长计算公式L=2πb+4（a-b）进行序列的直观检验。

椭圆周长计算公式L=2πb+4（a-b）中虽然没有出现椭圆周率T，但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

（五）

当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。

笔者认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。

科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。

10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义，然而10的负50次方对现代人而言可以代表0，也可以不代表0。

随着科学技术的提高，10的负N次方的意义也在发生变化。

宇宙之浩大，用椭圆周长的近似公式去研究宇宙，今天不出问题，明天必定要出大问题。

人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的，科学发展到今天，我们更要具有科学发展观。

任一部分椭圆面积

椭圆周长

（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：

L=2πb+4（a-b）

椭圆周长定理：

椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式：

S=πab

椭圆面积定理：

椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

近似L=√（4abπ^2+15（a-b）^2）（1+MN）（M=4/√15-1、N=（（a-b）/a）^9）近似L=πQ（1+3h/（10+√（4-3h））（1+MN）（Q=a+b、H=（（a-b）/（a+b））^2、M=22/7π-1、M=（（a-b）/a）^33.697、）

标准L＝Qπ（1+h^2/4+h^4/4^3+h^6/4^4+5^2*h^8/4^7+7^2*h^10/4^8…）（h＝（a-b）/（a+b），Q＝a+b，）

几何图形及计算公式查询

平面图形

名称

符号

周长C和面积S

正方形

a—边长

C＝4a

S＝a2

长方形

a和b－边长

C＝2（a+b）

S＝ab

三角形

a,b,c－三边长

h－a边上的高

s－周长的一半

A,B,C－内角

其中s＝（a+b+c）/2

S＝ah/2

 ＝ab/2·sinC

 ＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2

 ＝a2sinBsinC/（2sinA）

四边形

d,D－对角线长

α－对角线夹角

S＝dD/2·sinα

平行四边形

a,b－边长

h－a边的高

α－两边夹角

S＝ah

 ＝absinα

菱形

a－边长

α－夹角

D－长对角线长

d－短对角线长

S＝Dd/2

 ＝a2sinα

梯形

a和b－上、下底长

h－高

m－中位线长

S＝（a+b）h/2

 ＝mh

圆

r－半径

d－直径

C＝πd＝2πr

S＝πr2

 ＝πd2/4

扇形

r—扇形半径

a—圆心角度数

C＝2r＋2πr×（a/360）

S＝πr2×（a/360）

弓形

l－弧长

b－弦长

h－矢高

r－半径

α－圆心角的度数

S＝r2/2·（πα/180-sinα）

 ＝r2arccos[（r-h）/r]-（r-h）（2rh-h2）1/2

 ＝παr2/360-b/2·[r2-（b/2）2]1/2

 ＝r（l-b）/2+bh/2

 ≈2bh/3

圆环

R－外圆半径

r－内圆半径

D－外圆直径

d－内圆直径

S＝π（R2-r2）

 ＝π（D2-d2）/4

椭圆

D－长轴

d－短轴

S＝πDd/4

立方图形

名称

符号

面积S和体积V

正方体

a－边长

S＝6a2

V＝a3

长方体

a－长

b－宽

c－高

S＝2（ab+ac+bc）

V＝abc

棱柱

S－底面积

h－高

V＝Sh

棱锥

S－底面积

h－高

V＝Sh/3

棱台

S1和S2－上、下底面积

h－高

V＝h[S1+S2+（S1S1）1/2]/3

拟柱体

S1－上底面积

S2－下底面积

S0－中截面积

h－高

V＝h（S1+S2+4S0）/6

圆柱

r－底半径

h－高

C—底面周长

S底—底面积

S侧—侧面积

S表—表面积

C＝2πr

S底＝πr2

S侧＝Ch

S表＝Ch+2S底

V＝S底h

 ＝πr2h

空心圆柱

R－外圆半径

r－内圆半径

h－高

V＝πh（R2-r2）

直圆锥

r－底半径

h－高

V＝πr2h/3

圆台

r－上底半径

R－下底半径

h－高

V＝πh（R2＋Rr＋r2）/3

球

r－半径

d－直径

V＝4/3πr3＝πd2/6

球缺

h－球缺高

r－球半径

a－球缺底半径

V＝πh（3a2+h2）/6

 ＝πh2（3r-h）/3

a2＝h（2r-h）

球台

r1和r2－球台上、下底半径

h－高

V＝πh[3（r12＋r22）+h2]/6

圆环体

R－环体半径

D－环体直径

r－环体截面半径

d－环体截面直径

V＝2π2Rr2

 ＝π2Dd2/4

桶状体

D－桶腹直径

d－桶底直径

h－桶高

V＝πh（2D2＋d2）/12

（母线是圆弧形,圆心是桶的中心）

V＝πh（2D2＋Dd＋3d2/4）/15

（母线是抛物线形）