椭圆周长和面积计算公式Word文档格式.docx
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（二）椭圆周长公式推导
长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。
椭圆向心率为f，f=b/a。
根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0<
f<
1的范围。
K1+f<
K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。
T=K1+f，将此等式代入等式
（2）则有：
L=（2πa-4a）T=2（π-2）a（K1+f）
=2（π-2）a（2/（π-2）+b/a）=2πb+4（a-b）
椭圆周长计算公式：
L=2πb+4（a-b）
（三）椭圆面积公式推导
椭圆面积的取值范围：
0<
S<
πa2
（5）
（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。
如：
上式中πa2为π乘a的二次方。
）
椭圆面积猜想：
S=πa2T
（6）
T是猜想的椭圆面积率。
将（5）等式与（6）等式合并，得：
πa2T<
（7）
根据不等式基本性质，将不等式（7）同除πa2，则有：
1。
可得：
S=πa2T=πa2（K+f）
（8）
在等式（8）中K=0，f=b/a，代入等式中：
S=πa2b/a=πab
椭圆面积计算公式：
S=πab
关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题
易亚苏
《椭圆定理》一文中有：
“定义1：
K1=2/（π-2），K1为椭圆第一常数。
定义2：
f=b/a，f为椭圆向心率（a>
0）。
定义3：
T=K1+f，T为椭圆周率”。
有聪明的网友提出“定义：
T=k1+f没有依据”，现就此问题作出如下分析说明。
（一）
在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中，有“T是猜想的椭圆周率”，并“定义：
T=K1+f”（《椭圆定理》中也有此定义，见上）。
《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达式:
π/（π-2）。
K2=π/（π-2）。
这样定义理当无可非议。
那么，K1<
K2，因为k2=k1＋1，也可以说T是k1到k1+1之间的数，数学表达式为：
k1<
k1+1。
对于具体椭圆而言k1<
k1+f，f为椭圆向心率，f=b/a，0<
（a>
0）（参见《椭圆定理》）。
因为0<
1，所以k1<
k1+1与T=K1+f有同样的代数内含。
所谓“同样的代数内含”是思维数学。
由椭圆定义，a>
0,因为f=b/a,即0<
当b接近0时，椭圆接近双直线，其长度近似于4a；
当b接近a时，椭圆接近圆，其周长近似于2πa。
当b在0与a之间变化时，形状为椭圆，其周长为L=2πb+4（a-b）。
以下作简要分析，如果把椭圆的a作为椭圆单位，那么f=B（椭圆单位），B＝b/a（椭圆单位），其中0<
B<
1，也即0<
T=k1+f，k1<
k1+1或k1<
k2，即是2/（π-2）<
注：
椭圆单位的概念很重要，切记并体会其内含！
在《椭圆定理》短文中首次提出了“椭圆单位”的概念，“定义：
任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位”。
其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来，也是基于“椭圆单位”的思考而来。
（二）
研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数：
K2＝2.75193839388411……
这两个奇特的数里包含了π，π是圆周率，f=b/a是0到1之间的小数，那么对于椭圆来说T=k1+f是一个也包含了π的特定数，所以定义T为“椭圆周率”。
椭圆周率与圆周率不同，圆周率是固定的值π，椭圆周率是变化的值T=k1+f，它随椭圆b与a的比值变化而变化。
从某种意义上说圆是椭圆的范围，由于椭圆定义了a>
0，所以只能称“圆是椭圆的范围”，而不能称圆是特殊的椭圆。
但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参考，所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形，只能发出“圆完美的和谐，椭圆和谐的完美”这样的感叹。
（三）
笔者认为任何科学研究的方法都基于：
1、发现特殊现象；
2、提出假设或猜想；
3、利用假设或猜想做出结论；
4、对结论进行检验。
《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。
笔者认为论文不在长短，而在其价值。
当今的椭圆理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公式，缺少标准的椭圆周长计算公式），那么“椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。
任何科学的原始依据从哪里来？
从发现来。
对特殊现象的发现加以总结，通过检验就可以成为理论；
理论升华就是科学，科学也是理论依据的源泉。
（四）
椭圆周长无疑在4a<
2πa范围变化，并与f=b/a值存在某种对应的关系，其核心就是T=k1+f。
椭圆里的B（B＝b/a椭圆单位）从0到1的平滑变化，必然导致其椭圆周长的平滑变化。
椭圆是平滑的闭合曲线，其周长与f=b/a的变化有着必然的对应变化数学关系。
所以笔者在《椭圆定理》中要定义f为椭圆向心率，f=b/a，（a>
如果引用椭圆单位，则4<
2π（椭圆单位）。
在《椭圆定理》短文中有“后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”，可惜网上尚未能表示出“验算公式表”，相信您用Excel可以很容易作出“验算公式表”，并可以对椭圆周长计算公式L=2πb+4（a-b）进行序列的直观检验。
椭圆周长计算公式L=2πb+4（a-b）中虽然没有出现椭圆周率T，但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
（五）
当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。
笔者认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。
科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。
10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义，然而10的负50次方对现代人而言可以代表0，也可以不代表0。
随着科学技术的提高，10的负N次方的意义也在发生变化。
宇宙之浩大，用椭圆周长的近似公式去研究宇宙，今天不出问题，明天必定要出大问题。
人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的，科学发展到今天，我们更要具有科学发展观。
任一部分椭圆面积
椭圆周长
（一）椭圆周长计算公式
L=2πb+4（a-b）
（二）椭圆面积计算公式
S=πab
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
近似L=√（4abπ^2+15（a-b）^2）（1+MN）（M=4/√15-1、N=（（a-b）/a）^9）近似L=πQ（1+3h/（10+√（4-3h））（1+MN）（Q=a+b、H=（（a-b）/（a+b））^2、M=22/7π-1、M=（（a-b）/a）^33.697、）
标准L＝Qπ（1+h^2/4+h^4/4^3+h^6/4^4+5^2*h^8/4^7+7^2*h^10/4^8…）（h＝（a-b）/（a+b），Q＝a+b，）
几何图形及计算公式查询
平面图形
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C＝4a
S＝a2
长方形
a和b－边长
C＝2（a+b）
S＝ab
三角形
a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝（a+b+c）/2
S＝ah/2
＝ab/2·
sinC
＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2
＝a2sinBsinC/（2sinA）
四边形
d,D－对角线长
α－对角线夹角
S＝dD/2·
sinα
平行四边形
a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角
S＝ah
＝absinα
菱形
a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长
S＝Dd/2
＝a2sinα
梯形
a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长
S＝（a+b）h/2
＝mh
圆
r－半径
d－直径
C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×
（a/360）
S＝πr2×
弓形
l－弧长
b－弦长
h－矢高
α－圆心角的度数
S＝r2/2·
（πα/180-sinα）
＝r2arccos[（r-h）/r]-（r-h）（2rh-h2）1/2
＝παr2/360-b/2·
[r2-（b/2）2]1/2
＝r（l-b）/2+bh/2
≈2bh/3
圆环
R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径
S＝π（R2-r2）
＝π（D2-d2）/4
椭圆
D－长轴
d－短轴
S＝πDd/4
立方图形
面积S和体积V
正方体
S＝6a2
V＝a3
长方体
a－长
b－宽
c－高
S＝2（ab+ac+bc）
V＝abc
棱柱
S－底面积
V＝Sh
棱锥
V＝Sh/3
棱台
S1和S2－上、下底面积
V＝h[S1+S2+（S1S1）1/2]/3
拟柱体
S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积
V＝h（S1+S2+4S0）/6
圆柱
r－底半径
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积
C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr2h
空心圆柱
V＝πh（R2-r2）
直圆锥
V＝πr2h/3
圆台
r－上底半径
R－下底半径
V＝πh（R2＋Rr＋r2）/3
球
V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺
h－球缺高
r－球半径
a－球缺底半径
V＝πh（3a2+h2）/6
＝πh2（3r-h）/3
a2＝h（2r-h）
球台
r1和r2－球台上、下底半径
V＝πh[3（r12＋r22）+h2]/6
圆环体
R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径
V＝2π2Rr2
＝π2Dd2/4
桶状体
D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高
V＝πh（2D2＋d2）/12
（母线是圆弧形,圆心是桶的中心）
V＝πh（2D2＋Dd＋3d2/4）/15
（母线是抛物线形）
1.几何体的表面积体积计算公式
圆柱体:
表面积:
2πRr+2πRh体积:
πRRh（R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高）
圆锥体:
πRR+πR[（hh+RR）的平方根]体积:
πRRh/3（r为圆锥体低圆半径,h为其高,
2平面图形
名称符号周长C和面积S
正方形a—边长C＝4aS＝a2
长方形a和b－边长C＝2（a+b）S＝ab
三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中
s＝（a+b+c）/2S＝ah/2＝ab/2·
sinC＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2＝a2sinBsinC/（2sinA）
四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·
sinα
平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα
菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα
梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝（a+b）h/2＝mh
圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4
扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×
（a/360）S＝πr2×
（a/360）
弓形l－弧长S＝r2/2·
（πα/180-sinα）
b－弦长＝r2arccos[（r-h）/r]-（r-h）（2rh-h2）1/2
h－矢高＝παr2/360-b/2·
[r2-（b/2）2]1/2
r－半径＝r（l-b）/2+bh/2
α－圆心角的度数≈2bh/3
圆环R－外圆半径S＝π（R2-r2）
r－内圆半径＝π（D2-d2）/4
D－外圆直径
d－内圆直径
椭圆D－长轴S＝πDd/4
d－短轴
3补充版
平面图形
名称符号
周长C和面积S
正方形a—边长C＝4a
S＝a^2
长方形
a和b－边长C＝2（a+b）
S＝ab
三角形
a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝（a+b+c）/2S＝ah/2
＝ab/2·
＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2
＝a^2sinBsinC/（2sinA）
四边形
d,D－对角线长
α－对角线夹角S＝dD/2·
平行四边形
a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角S＝ah
＝absinα
菱形
a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长S＝Dd/2
＝a^2sinα
梯形
a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长S＝（a+b）h/2
＝mh
圆
r－半径
d－直径C＝πd＝2πr
S＝πr^2
＝πd^2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×
S＝πr^2×
弓形
l－弧长
b－弦长
h－矢高
r－半径
α－圆心角的度数S＝r^2/2·
＝r^2arccos[（r-h）/r]-（r-h）（2rh-h^2）1/2
＝παr^2/360-b/2·
[r^2-（b/2）^2]1/2
＝r（l-b）/2+bh/2
≈2bh/3
圆环
R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径S＝π（R^2-r^2）
＝π（D^2-d^2）/4
椭圆
D－长轴
d－短轴S＝πDd/4
立方图形
面积S和体积V
正方体a－边长S＝6a^2
V＝a^3
长方体
a－长
b－宽
c－高S＝2（ab+ac+bc）
V＝abc
棱柱
S－底面积
h－高V＝Sh
棱锥
h－高V＝Sh/3
棱台
S1和S2－上、下底面积
h－高V＝h[S1+S2+（S1S2）^1/2]/3
拟柱体
S1－上底面积
S2－下底面积
S0－中截面积
h－高V＝h（S1+S2+4S0）/6
圆柱
r－底半径
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积C＝2πr
S底＝πr^2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h
＝πr^2h
空心圆柱
R－外圆半径
h－高V＝πh（R^2-r^2）
直圆锥
r－底半径
h－高V＝πr^2h/3
圆台
r－上底半径
R－下底半径
h－高V＝πh（R^2＋Rr＋r^2）/3
球
d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6
球缺
h－球缺高
r－球半径
a－球缺底半径V＝πh（3a^2+h^2）/6
＝πh^2（3r-h）/3
a2＝h（2r-h）
球台
r1和r2－球台上、下底半径
h－高V＝πh[3（r1^2＋r2^2）+h^2]/6
圆环体
R－环体半径
D－环体直径
r－环体截面半径
d－环体截面直径V＝2π2Rr^2
＝π2Dd^2/4
桶状体
D－桶腹直径
d－桶底直径
h－桶高V＝πh（2D^2＋d^2）/12
V＝πh（2D^2＋Dd＋3d^2/4）/15
（母线是抛物线形）参考资料：
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