深圳市公务员考试数学运算之排列组合.docx
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深圳市公务员考试数学运算之排列组合
2017年深圳市公务员考试数学运算之排列组合
基本知识点回顾：
1、排列：
从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。
2、组合：
从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）
3、分步计数原理（也称乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。
那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
4、分类计数原理：
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于
（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；
（3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
（4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用
（1）加法原理和分类计数法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）
（2）乘法原理和分步计数法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
[例题分析]排列组合思维方法选讲
1．首先明确任务的意义
例1.从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：
首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c决定，
又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：
从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为C（10,2）*2*2=180
2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合
例2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：
条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：
A在第一垄，B有3种选择；
第二类：
A在第二垄，B有2种选择；
第三类：
A在第三垄，B有1种选择，
同理A、B位置互换，共12种。
例3．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
（A）240（B）180（C）120（D）60
分析：
显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因而
（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
例4．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：
每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6.2）*C（4.2）*C（2.2）=90种。
例5．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。
现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?
分析：
采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？
分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：
这两个人都去当钳工，C（5.2）*C（4.4）=10
第二类：
这两人有一个去当钳工，C（2.1）*C（5.3）*C（5.4）=100
第三类：
这两人都不去当钳工，C（5.4）*C（6.4）=75
因而共有185种。
例6．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
分析：
有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
有0无9 6*4＝24
有9无06*6*2=72
有9有0 4*4*2=32
无9无0 4×6＝24
因此共有152种方法。
5*5*4*2-4*4*3=152,
例7．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
分析：
把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有P（9.8）种停车方法。
3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例8．六人站成一排，求
（1）甲不在排头，乙不在排尾的排列数
（2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：
（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：
乙在排头，有P（5.5）种站法。
第二类：
乙不在排头，当然他也不能在排尾，有C（4.1）C（4.1）P（4.4）种站法，
法2:
P（6.6）-P（5.5）*2+P（4.4）
（2）
第一类：
甲在排尾，乙在排头，有种方法。
第二类：
甲在排尾，乙不在排头，有种方法。
第三类：
乙在排头，甲不在排头，有种方法。
第四类：
甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共312种。
法2:
甲乙相邻的排法数
C（4,1）*C（3,1）*2*P（3,3）+P（4,4）+P（4,4）=192
头尾取非甲乙，乙头，甲尾。
504-192=312
例9．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。
若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
分析：
本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：
第五次测试的有C（4.1）种可能；
第二步：
前四次有一件正品有C（6.1）种可能。
第三步：
前四次有P（4.4）种可能。
C（4.1）*C（6.1）*P（4.4）
4．捆绑与插空
例10.8人排成一队
（1）甲乙必须相邻
（2）甲乙不相邻
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：
（1）甲乙必须相邻，就是把甲乙捆绑（甲乙可交換）和7人排列 P（7.7）*2
（2）甲乙不相邻 P（8.8）-P（7.7）*2
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻
先求甲乙必须相邻且与丙相邻 P（6.6）*2*2
甲乙必须相邻且与丙不相邻 P（7.7）*2-P（6.6）*2*2
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻P（6.6）*2*2
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻
P（8.8）-P（7.7）*2*2+P（6.6）*2*2
例11.某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
分析：
∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。
另外没有命中的之间没有区别，不必计数。
即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P（5.2）.
例12.马路上有编号为l，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?
分析：
即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。
又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴共C（6.3）=20种方法。
例13.三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?
分析：
三个相同的红球,有4個空，两个不同的白球，可以一個一個插，也可以2個一起插、
P（4.2）+P（4.1）*2=20
4．间接计数法.
（1）排除法
例14.三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析：
有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，C（9.3）-8
例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：
所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴共C（8.4）-12=70-12=58个。
例16.l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?
分析：
由于底数不能为1。
（1）当1选上时，1必为真数，∴有一种情况。
（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共P（8.2）其中log24=log39，log42=log93,log23=log49,log32=log94.
因而一共有P（8.2）+1-4=53个。
例17.六人排成一排，
要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法?
如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
分析：
1.实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称,具有相同的排法数。
因而有P（6.6）/2=360种。
2.先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了P（3.3）种，∴共P（6.6）/P（3.3）=120种。
例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?
分析：
首先不考虑男生的站位要求，共P（9.9）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了P（5.5）次。
因而有P（9.9）/P（5.5）=9×8×7×6=3024种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。
5．挡板的使用
例20．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法?
分析：
把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。
因而共C（9.7）=36种。
6．注意排列组合的区别与联系：
所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题。
例21.从0，l，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数?
分析：
先选后排。
另外还要考虑特殊元素0的选取。
（一）两个选出的偶数含0,C（4.1）*C（5.3）*4*P（4.4）
（二）两个选出的偶数字不含0，C（4,2）C（5.3）P（5.5）
例22.电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法?
分析：
（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有C（7.3）C（4.2）种。
（二）选择10层中的四层下楼有C（7.3）C（4.2）种。
C（7.3）C（4.2）*C（7.3）C（4.2）
例23.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
（1）可组成多少个不同的四位数?
（2）可组成多少个不同的四位偶数?
（3）可组成多少个能被3整除的四位数?
（4）将
（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?
分析：
（1）有P（6,4）-P（5,3）个。
（2）分为两类：
0在末位，则有p（5,3）种
0不在末位，则有c（2,1）c（4,1）p（4,2）种。
∴共p（5,3）+c（2,1）c（4,1）p（4,2）种。
（3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：
4×c（3,1）p（3,3）+p（4,4）=96种。
（4）将
（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?
首位为1的有p（5,3）=60个。
前两位为20的有p（4,2）=12个。
前两位为21的有p（4,2）=12个。
因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。
7．分组问题
例24. 6本不同的书
（1）分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
（2）分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
（3）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
（4）甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
（5）分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
分析
（1）分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
C（6.2）C（4.2）
（2）分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
C（6.2）C（4.2）/P（3.3）
（3）分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
C（6.3）C（3.2）
（4）甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
C（6.3）C（3.2）
（5）分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?
C（6.3）C（3.2）P（3.3）
（每堆两本）,（一堆一本，一堆两本，一堆三本，）区别在哪里清楚不。
例25.6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_______。
分析：
（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。
第一类：
平均分成3人一组，有c（6.3）种方法。
第二类：
分成2人，4人各一组，有c（6.2）种方法。
（二）再考虑分别上两辆不同的车。
综合
（一）
（二），c（6.3）*p（2.2）+c（6.2）*p（2.2）
例26.5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有________种.
分析：
（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有=种分组方法。
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有种，
由
（一）
（二）可知，共240种。
8、错位排列问题
应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式．
例1设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为
[]
A．20种B．30种
C．60种D．120种
解本题实质上是三个元素的错排问题，但由于题中未指明是哪三个元素进行的错排，故本题可分两步求解．
第二步，对已选出的三个元素进行错排，有2种．
例2某省决定对所辖8个城市的党政一把手进行任职交流，要求把每个干部都调到另一个城市去担任相应的职务．问共有多少种不同的干部调配方案？
解实质上本题即为8个不同元素的错排问题，一种干部调配方法对应于8个不同元素的一个错排．故由公式
可求得不同的干部调配方案数为
排列组合中几个易混淆问题辨析
１.分组问题
分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.
１.1非平均分组问题
在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.
【例１】把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.
（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.
（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.
解：
（１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有
种不同的分组方法.
（2）先从１２人中任选７人为一组有
种选法，再从余下５人中任选３人有
种选法，剩下的２人为一组，共有
种不同的方法.
【点评】由于各组人数不同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第
（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（２）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.
易错点：
误把（１）的结果表示为
１.2平均分组问题
上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.
【例２】有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？
（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.
（２）平均分成三份.
解：
（１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有
＝９０种分法.
（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有
∴
＝１５种不同的分法.
【点评】上面例子可以看出：
两个问题都是分成３堆，每堆２本，属于平均分组问题，而（１）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（２）没有给出组名，因而结果是不同的.
一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有
种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有
种分法.
易错点：
错把（１）的结论写为
错把（２）的结论写为
１.3局部平均分组问题
某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.
【例３】（１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？
（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？
解析：
我们先来研究：
“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.
如果这４个球各不相同，则有
种排法，由于白球和红球各有
种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的排法有
种，下面来解决上述问题.
（１）可按下面步骤完成：
先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有
种.
（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为
种.
【点评】两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有
种分配方法，然后把它分给４个人.
在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：
把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？
该问题的分法有
种分法.
易错点：
误把（２）中的结论表示为
.
因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：
①分配对象是否明确（组名是否给出）？
②是否平均分配？
③是否局部平均分配？
④分配中有无顺序关系？
２.挡板模型与分组问题
挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如果不加分析而乱套挡板模型，则极易出现误解.
【例４】５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
错解：
把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：
０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有
＝６种不同的方法.
错因：
５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：
把５个名额分配给３个班，每班至少有１人.问有几种不同的分法？
５个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.
正解：
先把５位老师分成三堆，有两类：
１、１、３和１、2、2分别有
和
种，再分到三个班里，共有
＝１５０种.
【点评】类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.
3.挡板模型与双排问题
在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.
【例５】从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
错解：
选把１０个指标排好，插入９块挡块：
０|０|０|０|０|０|０|０|０|０
然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有
＝１２６种分法.
错因：
问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班…
正解：
因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有
种排法.
但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有
＝１００１种不同分法（或
）.
【点评】当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.
两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的公考中时有出现，应予以重视.
天字一号的排列组合题
一）1,2,3,4作成数字不同的三位数，试求其总和？
但数字不重复。
[解析]组成3位数我们以其中一个位置（百位,十位,个位）为研究对象就会发现当某个位置固定比如是1,那么其他的2个位置组成3位数我们以其中一个位置（百位,十位,个位）为研究对象就会发现当某个位置固定比如是1,那么其他的2个位置上有多少种组合?
这个大家都知道是剩下的3个数字的全排列P32
我们研究的位置上每个数字都会出现P32次
所以每个位置上的数字之和就可以求出来了
个位是:
P32*（1+2+3+4）=60
十位是:
P32*（1+2+3+4）*10=600
百位是:
P32*（1+2+3+4）*100=6000
所以总和是6660
（二）将“PROBABILITY”11个字母排成一列，排列数有______种，若保持P,R,O次序，则排列数有______种。
[解析]
这个题目就是直线全排列出现相同元素的问题:
在我的另外一个帖子里面有介绍:
（1）我们首先把相同元素找出来,B有2个,I有2个我们先看作都是不同的1
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