解析几何中角平分线问题的解法Word文件下载.doc

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图1

2．∠CAD＝∠BAD；

3．；

当然，包含变形的形式，如：

等。

4．（对称性）点C关于AD

的对称点在AB上（或其延长线上）；

点B关于AD的对称点在AC上（或其延长线上）。

在具体问题中，必须根据实际情况使用不同的性质。

【例1】设M是椭圆上一点，F1，F2为左、右焦点，I是△MF1F2的内心，直线MI交轴于N点，则等于

（A）（B）（C）（D）

如果只关心答案，根据选择题的特点可考虑特殊情况：

取M与椭圆短轴顶点重合，就能迅速得出选B．

注意到本题是求一个比值，联想到性质3是十分自然的，但要充分注意三角形MF2N中也能利用性质3，况且求想到三角形MF2N也很正常。

如果目光只集中在△MF1F2上，则难以取得进展。

详细解题过程如下：

M

N

I

F1

F2

图2

解法1：

如图2，∵I是△MF1F2的内心，∴MN是∠F1MF2的平分线，

∴，

连结F2I，同样有F2I是∠MF2N的平分线，于是有

＝，

根据比例的性质，由，

得＝，

所以＝，选B．

还可更灵活一些，对性质1进行深层的应用。

为例使图形更加清楚，我们取出△MF1F2，如图3，作IA⊥F1F2于A，MB⊥F1F2于B，连结F2I，F2I，由点I到三角形三边的距离相等，用面积法得出相应的关系。

解法2：

作IA⊥F1F2于A，MB⊥F1F2于B，连结IF1，IF2，

因I是△MF1F2的内心，所以I到△MF1F2各边的距离都相等，且都等于IA，设，由

，得

︱F1F2︱×

︱MB︱＝︱F1F2︱×

m＋︱MF1︱×

m＋︱MF2︱×

m

即，所以，

图3

因△IAN∽△MNB，所以＝．

解法2是建立在椭圆的定义上，否则面积法就无用武之地。

【例2】已知P为双曲线上一动点，F1，F2是双曲线的焦点，自F2作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为Q，则Q点的轨迹是

P

Q

图4

（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）圆

解：

如图5，延长F2Q与PF1交于点A，因F2Q⊥PQ，且PQ是∠F1PF2平分线，所以︱PA︱＝︱PF2︱，︱QA︱＝︱QF2︱（这里实际上应用了角平分线的对称性），

根据双曲线的定义，︱PF1︱－︱PF2︱＝，于是有︱PF1︱－︱PA︱＝，即︱AF2︱＝，

连结OQ，在△AF1F2中，由︱QA︱＝︱QF2︱，︱F1O︱＝︱OF2︱，得OQ∥AF1，且︱OQ︱＝︱AF2︱＝×

因此Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆。

图5

这种解法利用了性质4以及双曲线的定义，它的主要思想是通过对称把长度进行转换（本题中的︱PA︱＝︱PF2︱），这种方法应用比较普遍。

图6

注：

在椭圆中有类似的结论：

设P是椭圆上的一个动点，自F2作△PF1F2外角平分线的垂线（如图6），垂足为Q，则Q点的轨迹是圆。

【例3】已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（－4，－7），C（－2，－2），求角A的平分线的长。

如图7,设AD为角A的平分线，

A（2,1）

B（－4，－7）

C（－2，－2）

图7

︱AB︱＝，

︱AC︱＝，

由角平分线的性质得

，

即点D分所成的比为2，设D（），则

所以角A的平分线的长为︱AD︱＝．

如果不按上述方法，计算量将比较大。

【例4】如图8，给出定点A（）（）和直线，B是直线上的动点，∠BOA的平分线交AB于C，求C点的轨迹。

设B（－1，），则直线

图8

OB的方程为，设

点C（），由OC平分∠BOA

可知，C到OA和OB的距离相等，

C到OA的距离为，C到

OB的距离为，于是有

＝…………①

又点C在直线AB上，所以…………②

①，②中消去得

，

当时，

当由②得，此时点C为（0，0），满足，

因此C点的轨迹方程为．

这是利用性质1，还可用性质2，性质2最直接的形式就是“到角公式”或“夹角公式”。

我们用用到角公式给出简解。

，，

由得

，再利用C在直线AB上，得，

消去得．

类似的例子很多，这里就不再展开了，掌握这类题目解法的关键是多进行转化，对各种方法多进行比较，然后选择最简单的解法。

总之，思路一定要开阔。