【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】数学分析中常用的若干数学思想Word文档格式.doc

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2.3构造结论………………………………………………………………………………………4

2.4构造不等式……………………………………………………………………………………5

2.5构造反例………………………………………………………………………………………5

3反例的思想……………………………………………………………………………………………7

3.1数学分析中反例的作用………………………………………………………………………7

3.2数学分析中反例的构造………………………………………………………………………8

4分段处理的思想……………………………………………………………………………………11

4.1分段函数性质讨论的分段处理……………………………………………………………11

4.2积分等式证明的分段处理…………………………………………………………………13

5分类讨论的思想……………………………………………………………………………………15

5.1极限问题中的分类思想……………………………………………………………………16

5.2连续性问题中的分类讨论…………………………………………………………………16

5.3级数敛散性问题中的分类讨论……………………………………………………………17

6总结…………………………………………………………………………………………………18

致谢………………………………………………………………………………………………………19

参考文献…………………………………………………………………………………………………20

1引言

历史上，数学分析起源于17世纪，伴随着牛顿和莱布尼兹发明微积分而产生的。

在17、18世纪，数学分析的主题，如变分，常微分方程和偏微分方程，傅立叶分析以及母函数基本上发展于应用工作中。

微积分方法成功的运用了连续的方法近似了离散的问题。

贯穿18世纪，函数概念的定义成为了数学家们争论的主题。

到了19世纪，柯西首先地通过引入柯西序列的概念将微积分建立在一个稳固的逻辑基础之上，他还开始了复分析的形式理论。

泊松、刘维尔、傅里叶以及其他的数学家研究了偏微分方程和调和分析。

在那个世纪的中叶，黎曼引入了他的积分理论。

在19世纪的最后第三个年代还产生了魏尔斯特拉斯对于分析的算术化，他认为几何论证从本质上是一种误导，并导入了极限的定义。

此时，数学家们开始担心他们在没有证明的情况下假设了实数连续统的存在。

戴德金用戴德金分割构造了实数。

大约在那个时候，对黎曼积分定理精炼的种种尝试也引向了实数函数的非连续集合的“大小”的研究。

另外,到处不连续函数，连续但到处不可微函数，空间填充曲线也被创造出来。

在这个背景下，若尔当发展了他的测度理论，康托尔发展了现在的朴素集合论，以及贝尔证明了贝尔纲定理。

在20世纪早期，微积分用公理化集合论被形式化。

勒贝格解决了测度的问题，希尔伯特也导入了希尔伯特空间以解决积分方程。

赋范向量空间的思想开始流传，到1920年代巴拿赫创立了泛函分析，从而产生了数学分析。

《数学分析》作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。

数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。

数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。

数学思想可以训练逻辑思维等理性思维能力、逻辑表述能力，它在拓广数学知识过程中对方法、技巧起着统摄作用。

通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。

另外，数学分析是一门重要的大学基础课程,很多后继课程都以它为基础,可视为它的延伸、深化和应用,而它的基本思想和方法更是无所不在。

因此熟练地运用它的基本方法,透彻地理解它的基本思想,是学习数学的关键，同时也是深入理解初等数学理论背景的必要基础。

只有掌握了数学思想方法，才能深刻体会数学的本质，从而具备解决实际问题的数学意识和思维方法。

因此，研究数学分析中的数学思想是非常有必要的。

目前，数学分析中较为广泛的思想有：

函数的思想、极限的思想、连续的思想、导数的思想、微分的思想、积分的思想、级数的思想等，本论文将着重研究数学分析中的构造的思想、反例的思想、分段处理的思想、分类讨论的思想。

2　构造的思想

构造的思想方法是根据待解决问题的特殊性，通过一定的手段，设计并构造出与待解问题相关并有助于该问题解决的新的数学模式，通过对这个数学模式的研究去实现原问题解决的一种思想方法。

从数学产生那天起，数学中的构造性的方法也就伴随着产生了。

但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直觉派有关。

直觉派出于对数学的“可信性”的考虑，提出一个著名的口号：

“存在必须是被构造”，这就是构造主义。

构造思想是一种很活跃的创造性思想方法，它能沟通数学各个不同的分支，甚至还能沟通数学与其他的学科，实现跨度极大的问题转化，这是一种难度大、规律不易掌握的高层次的思想方法。

构造思想方法是一种基本而又极其重要的数学思想方法，同时也是一古老而又年轻的思想方法，历史上许多著名的数学家，如：

欧几里得（Euclid,约为公元前330年-前275）、欧拉（Euler,1707-1783）、拉格朗日（Lagrange,1736-1813）、康托（Contor,1845-1918）等人，都用构造思想方法解决过数学中的难题，促进了数学的发展，并且至今它仍然在数学教学、数学解题及科学研究中起着重要作用。

数学分析中的构造的思想方法主要有以下几种类型：

2.1构造函数

构造函数，是按照人们某种期望或根据待解决问题的某些特殊性特性，构造具有一般性特性的某个函数，然后这个函数研究结果在某种特定情况下就是所考虑问题的结果。

显然，这是一个既实用又有深度的办法。

在数学分析中，构造函数的作用体现在：

（1）通过对所构造的函数的研究，来实现对方程根的讨论

例1试证方程至少有一个正根，并且它不超过。

证明：

构造函数，显然在上连续，且

，

当时，，这时就是方程的一个根。

当时，即，此时与异号，

故由根的存在性定理知，在内至少存在一点，使得：

，或。

即方程至少有一个正根，并且它不超过。

（2）通过对所构造函数的研究，来讨论中间值的存在性

例2设,证明存在使得成立。

构造函数，。

显然，在上满足柯西中值定理

的条件，所以存在使得

即。

化简得

2.2构造数列

例3证明

构造数列

因，

而，

故，从而得证。

2.3构造结论

例4证明定义在对称空间上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一

个奇函数之和的形式。

构造一个偶函数与一个奇函数如下：

则。

容易验证：

为偶函数，为奇函数。

故结论成立。

2.4构造不等式

　　例5　　设，证明数列收敛。

　　证明：

构造不等式，则

当时，，

……

一般地，有，故有

所以，

即数列有下界。

又

故数列递减。

由数列收敛的单调有界原理知，数列收敛。

2.5构造反例

注：

构造反例的例题见：

“反例的思想方法”。

由这些例子可以看出，构造方法的突出特点是具有操作性、技巧性和一定的创造性。

多数情况下，解决某一具体数学问题的构造方法往往可以用一个或一组数学表达式描述，这组式子能将涉及的数学思想、数学技巧表现的简明扼要，易于掌握。

从方法论的角度来说，构造方法实质上是一种数学模型方法，只是与此相关联的实际背景是抽象化了的数学问题，而不再是应用层面上的某个实际问题。

３　反例的思想

通过举出反例从而证明一个命题的虚假性的方法叫做反例法，在数学中，对于一个命题的正确性，需要经过严格的证明，但要证明一个命题为假，只要举出一个反例即可。

反例通常是指用来说明某个命题不成立的例子，也称为与命题相矛盾的特例，它是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，反例是用已知为真的事实去揭示另一判断的虚假性，它既是简明有力的否定方法,又是加深对概念和定理的理解的重要手段,它有助于发现问题,活跃思维,避免常犯易犯的错误。

数学中的反例，一般是指以下几种情况的具体事例：

a.满足某个命题的条件但有悖于该命题结论的具体事例；

b.符合命题的结论但不满足该命题条件的具体事例；

c.判定某一命题为虚假的特殊的具体事例。

数学分析中存在着很多的定理与命题，运用反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。

反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究和论证中都具有不可替代的独特作用。

恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养逻辑思维能力，预防和纠正错误，起着十分重要的作用。

3.1数学分析中反例的作用

反例的重要性正如美国数学家B.R.盖尔鲍姆所说:

“数学由两大类———证明和反例组成,而数学的发展也是朝着这两个目标的———提出证明和构造反例。

”

数学分析是数学专业的一门重要基础课，概念定理比较多，许多学生不能准确掌握概念的本质，无法正确运用数学分析中的有关概念和定理来分析问题解决问题。

因此，在学习中如果能恰当地使用反例来帮助我们理解知识，不仅是一种有效地方法，也是一种必要的手段。

在数学分析中，反例的作用主要体现在以下几个方面：

（1）促进新理论的形成

　例6在19世纪以前，数学界长期认为：

“连续函数除个别点外，总是可导的。

　对于这个结论，魏尔斯特拉斯于1860年给出了一个著名的反例：

，其中x为实数，a是奇整数，，。

在内处处连续但又处处不可导。

这个反例对当时的数学界造成了巨大的冲击。

此后，人们又创造出很多这种类型的例子，这些“病态函数”的提出，使数学家们更清醒地认识到分析基础严格化的必要性和重要性，推动了微积分理论的发展。

（2）揭示概念的内涵

　　例7由于周期函数概念本身的复杂性，在很长一段时间内，人们一直认为“周期函数自然有最小正周期”。

　　狄利克雷对上述结论给出了反例，他构造了著名的狄利克雷函数：

，任何有理数Ｔ都是此函数的周期，但没有最小的正周期。

　　这个反例的提出，不仅纠正了以往关于周期函数理论中的偏差，也使人们对周期函数概念的内涵有了更清楚地认识。

（3）确定概念之间的关系

例8为确定连续、可导、有连续导数三个概念间的关系，现举出以下四个问题：

ａ．在处可导，则在处是否连续？

ｂ．在处连续，则在处是否可导？

ｃ．在处可导，则在处是否有连续导数？

ｄ．在处可导，则在的邻域内是否连续？

对问题ａ的回答是肯定的，且比较容易作出证明，对于问题ｂ、ｃ、ｄ，回答是否定的，要说明原因，只需对每一个问题举出“反例”即可。

对问题ｂ可考虑反例：

在处，易验证连续但不可导。

对问题ｃ可考虑反例：

，易验证在处可导但导数不连续。

对问题ｄ可考虑反例：

，易验证在处可导但在0点的任何邻域内，除0点外都不连续。

3.2数学分析中反例的构造

（1）通过特殊情况构造反例

有些命题，由于在题设中含有潜在的假设，在一般情况下貌似成立，很难发现其破绽。

但

在满足题设的个别特殊的、极端的情况下，结论就不成立了，也就是说题设条件不够充分。

这类题目的错误是隐蔽的。

因此，必须抓住特殊的、极端的情况，以此为突破口，构造出反例来。

例9若曲线在点有切线，问是否成立？

我们知道，若在点可导且有切线，则一定成立。

但在点不可导的函数也可能有切线，当然就不成立了。

如：

在0点不可导，但有垂直与ｘ轴的切线。

（２）通过借用构造反例

例10在数学分析中遇到的反例，其中狄利克雷函数，就是很出色的一个。

对其进行适当的借用与改造，可作为否定许多命题的反例。

如,将狄利克雷函数中的为有理数时的1改为，得,可作为只在一点可导但在该点的任何邻域内都不连续的例子。

再如，将狄利克雷函数中的为无理数时的值0改为-1，得，可作为命题“间断函数的平方仍为间断函数”和“若不存在，则也不存在”的反例。

（3）通过分类构造反例

例11若函数在上有界，问：

在上的定积分是否存在？

对有界函数而言，我们分为连续和不连续两类：

一是上连续的函数（当然有界），那么它的定积分必存在；

二是上有界但不连续的函数，在这类中又可以根据间断点的情况分为两类：

有限个间断点和无限个间断点。

若在上有有限个间断点，则在上可积；

若在上无有限个间断点，那就不一定可积了。

因此，可举出这种类型的函数作为反例。

如，在上，显然有界，但它有无限个间断点。

我们可以利用定积

分的定义易证明，在上不可积。

　　从数学发展来看，构造反例和给出证明起着同等重要的作用，构造反例是深化理解知识，辨析错解，培养创造力的有力工具。

它在发现和认识数学真理，强化基础知识的理解和掌握以及培养学生的创造性思维能力等方面的意义和作用是不容低估的。

在数学分析的学习中，恰当的开发和利用反例辅助学习，更有利于数学分析的学习。

4　分段处理的思想

把要研究的一个式子分成两段或几段，对不同的段用不同的方法去处理，这种解决问题的方法叫做分段处理的思想方法。

4.1分段函数性质讨论的分段处理

　　我们知道，数学分析的研究对象是函数，数学分析所研究的函数主要是初等函数和非初等函数，在非初等函数中分段函数占据着非常重要的地位。

对初等函数与分段函数分析性质的讨论，我们采用的方法是不同的。

下面举例说明分段处理的思想方法在讨论分段函数的极限、连续、导数、积分等性质中的运用。

（１）讨论分段函数的极限与连续

例12　　求

分析与求解：

函数表达式中含有绝对值符号，实际上是分段函数在分段点的极限问题，因此必须应用左、右极限进行讨论，另外形如的极限问题也均应用左、右极限进行分析。

故

例13　　讨论函数　在处的连续性

所求极限为形如的极限问题，必须应用左、右极限进行分析。

因　　

所以不存在，故在处不连续。

（２）讨论分段函数的导数

例14　　设　，试确定常数使在可导。

这是一个分段函数，是分段点，要使在可导．首先在连续，即的左、右极限、均等于；

其次要使的左、右导数相等，即。

因此，要使在连续，必须有　（１）

又　

　　　　　　（由（１））

而要使在可导，必须，即得　（２）

又（１），（２）两式可知，当，时，在可导。

（３）讨论分段函数的积分

例15　　求不定积分

此题为分段函数的不定积分，因此要采用分段处理的方法。

因为

所以

即

因为必须满足连续的条件，所以

，即，

故得，　

令，即得：

4.2积分等式证明的分段处理

例16设在上连续，证明：

（1）若为奇函数，则

（2）若为偶函数，则

分析与证明：

因为函数在对称区间上，通过对所证等式的观察，我们把上的积分分成两段来处理。

即

（3）

对上式右端的第一个积分作变换，则

所以（3）式变为

（4）

（１）若为奇函数，即，则由（4）式得

（２）若为偶函数，即，则由（4）式得

5　分类讨论的思想

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，又上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

分类的基本原则有：

分类标准必须统一，否则会导致逻辑混乱；

各种分类的集合必须彼此互斥，即各个分类没有公共部分，否则会造成重复讨论；

分类必须是全面而完整的，否则会有所遗漏；

对于需要多级讨论的，必须逐级地进行，不能出现越级讨论的现象，否则会导致层次不清，乃至错误。

此外，要在确保正确的基础之上尽量减少分类，使问题解决过程简洁化。

运用分类讨论思想解决数学问题一般的操作步骤是：

第一步：

明确讨论对象，并确定讨论对象的范围；

第二步：

确定分类的标准，对讨论对象科学、合理、恰当地进行分类；

第三步：

对不同的分类逐一地进行讨论；

第四步：

对各类讨论结果进行归纳，并加以整合，最终得出整个问题的结论。

分类讨论主要有以下几种常见的类型：

（1）概念型

在数学中有些概念本身就是分不同情形加以定义的，教学时，要引导学生在概念的学习过程以及应用过程中领会概念具体的分类标准，进一步深化对分类讨论思想的理解。

例如，讲解绝对值的概念时，需要分正实数、负实数和零三种情况分别给予定义，此外，一些数学问题的解决也要根据绝对值的定义分情况加以讨论。

（2）性质型

数学中有一些定理、公式、法则和性质等内容是分情况给予表述的，或者有其特定的适用范围，或者有一定的限制条件，因而在教学过程中要让学生注意领会公式、性质的限制条件，并且能够在具体应用时根据这些限制条件来确定分类标准进行讨论。

（3）含参型

参数广泛地出现在数学的各种问题之中，参数的存在会对问题的解决产生种种影响。

一个问题中的参数通常可以取几个不同的数值，而在不同的取值时所采用的解决策略和处理方式都不尽相同，因而会产生不同的结果。

这就要求我们必须对参数取不同值时的各种情况分别地加以讨论。

（4）图形型

数学中有一些问题由于所涉及的图形或图象等元素具有不确定性，比如，图形本身的大小、形状以及图形间的位置关系等有多种可能，需要根据具体的不同情况分别地加以探讨，才能使问题得到全面而完整的解决。

（5）现实型

数学与生活紧密联系，在解决现实生活中的实际应用问题时可能会遇到多种情形，需要我们根据具体情况作出具体分析，对各种情形分别进行讨论。

分类讨论在数学分析中有着非常广泛的应用

5.1极限问题中的分类思想

例17　:

求极限

解：

当时，

所以

5.2