湘教版初一下《分解因式》全章教案.docx

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湘教版初一下《分解因式》全章教案

§1

分解因式

教学目标:

1、知识与技能:

了解分解因数和因式的概念、意义,能进行简易的因数因式分解;

2、过程与方法:

通过对比与联想比较得出分解因数和分解因式的异同;

3、情感与态度:

培育学生养成对比和联想的意识。

教学三点:

1、教学重点:

分解因式的概念

2、教学难点:

了解“基本建筑块”的内涵

3、教学关键:

建立起“基本建筑块”与“不能再分割(即分解)”的联系

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、概念回顾:

整数、整式的概念

2、问题思考:

①36能写成哪些非1整数的积?

②x2+x能写成哪些整式的积?

二、探索新

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现:

引例:

2×2×3×3=3636=2×2×3×3

x(x+1)=x2+xx2+x=x(x+1)

Ⅱ、观察猜想:

观察:

认真观察以上四个式子,找出它们的异同.

猜想:

请你按照自己的想法,将以上式子分成两类,并说明你的理由.

Ⅲ、导入新课:

说明:

以上有两种分类方法

法一,按行分类,第一行为纯数字,第二行含有字母.

法二,按列分类,第一列为乘法,第二列为分解.

将一个整数或整式进行分解,正是我们今天要研究的.(板书课题)

Ⅳ、讲授新知:

练习;将下列正整数尽可能多地分解成几个非1的正整数的积的形式

24283537

讲解:

①以上练习,与整数乘法互逆,为分解因数.

②象2、3、5、7、11……37……等,不能再分解下去,称质数或素数

练习;将下列整式尽可能多地分解成几个非±1的整式的积的形式

2x-6x2+2xxy-yy2-4

讲解:

①以上练习,与整式乘法互逆,为分解因式.

②象2、x、y、x-3、y+2、y-2……等,不能再分解下去,称质因式.

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳:

思考:

通过以上分析,能否用自己的语言解答以下几个问题?

①什么叫分解因数?

②什么叫分解因式?

③什么是质数和质因式?

Ⅱ、板书小结:

分解因数:

将一个整数分解成几个非1整数的积的形式叫分解因数;

不能再分解的正整数(除了1和本身以外)叫质数或素数.

分解因式:

将一个整式写成几个非1整式的积的形式叫分解因式;

不能再分解的整式(除了±1和本身以外)叫质因式.

3、拓展延伸

思考:

①分解因式与整式乘法的区别是什么?

②你认为学习分解因式对解决哪些问题有意义?

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

例1:

约分

分析:

∵12=2×2×330=2×4×5

例2:

比较下列两个二次方程,试选取其中一个求解.

x2-3x+2=0(x-1)(x-2)=0

2、反馈练习练习:

(略)

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

p.4.中练习1、2.

3、回家作业:

P.4.中习题1.1(A组)

§3

提取公因式法2

教学目标:

1、知识与技能:

进一步学习提取公因式的方法,能熟练运用提取公因式法解题;

2、过程与方法:

通过观察、类比、联想,得出一般整是提取公因式的方法;

3、情感与态度:

培育学生类比联想、分析探究的习惯和能力.

教学三点:

1、教学重点:

对含有多项式型公因式提取公因式;

2、教学难点:

对含有相反量型多项式提取公因式;

3、教学关键:

突出“相反量型多项式的分辨”.

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、概念回顾:

公因式、提取公因式

2、问题思考

①下列哪些是分解因式?

哪些是整式乘法?

x2-1=(x+1)(x-1)(x+y)(x-y)=x2-y2

x2-3x+4=x(x-3)+4x2-4x+4=(x+2)

2

②完成下列填空

3x2-6x=(x-2)-x2+x=-x()

ab-ac=a()-9x2-6x=(3x+2)

③分解因式

2ax-3x3ab2-12a2b-12x3y-28x39ay2-6ay+3y

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现:

引例:

分解因式ax+bx=a(m+n)+b(m+n)=

思考:

以学哪个式子的分解?

怎样分解?

Ⅱ、类比猜想:

观察:

比较两个式子的异同

思考:

能否通过类比,得出后一个式子的分解方法?

分析:

将(m+n)看作x(图示,略)

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳:

思考:

通过以上分析,你学到了什么?

Ⅱ、板书小结:

小结:

多项式中,公因式可以是数、字母,也可以是单项式、多项式、整式.

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式

①2a(3b+c)-b(3b+c)

②6(x-2)2-3(x-2)3

分析解答:

①突出“找→拆→提”的过程;

②“拆”“提”注意括号及化简.

2、反馈练习

练习:

(略)

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

p.10.练习中1、2①②

3、回家作业:

P.11.习题中2④⑤、3

§4

提取公因式法3

教学目标:

1、知识与技能:

能熟练运用提取公因式法分解因式;

2、过程与方法:

通过变形找公因式,提高学生灵活解题的能力;

3、情感与态度:

体会数形转化思想.

教学三点:

1、教学重点:

掌握变形提取公因式分解因式;

2、教学难点:

因式的正确变形;

3、教学关键:

如何对因式正确变形

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、下列各式中,有公因式可提吗?

如果有,是什么?

①4x+4yax2+bx2ax+by-2x2y+4xy2

②3a(a-b)-2b(a-b)(x+y)3-(x-y)2(x+y)2

2、说出下列各冪的意义,并判定是否相等?

a4与(-a)4a5与(-a)5(x-y)6与(y-x)6(x-y)7与(y-x)

7

说明:

(-a)2n=a2n(-a)2n+1=-a2n+1

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现:

分解因式a(x-y)+b(x-y)a(x-y)+b(y-x)

Ⅱ、引导思考:

思考:

①两式的异同是什么?

你能用以学知识分解哪个式子?

②能否说出后一个式子的特征?

③如何将相反量统一成相同量来分解?

讲解:

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)

2、归纳新知

引导:

试归纳以上所学

小结:

对相反量提负号可统一成相同量

注意:

(a-b)2n=(b-a)2n(a-b)2n+1=-(b-a)2z+1

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式

①x(x-2)-3x(x-2)

②x(x-2)-3x(2-x)

③(a-b)2(c-d)3+(b-a)3(d-c)2

分析解答:

①突出“找→拆→提”的过程;

②指出,a+b与b+a是相同量,a-b与b-a是相反量;

③注意:

(a-b)2n=(b-a)2n(a-b)2n+1=-(b-a)2z+1

2、反馈练习

练习:

分解因式

y(x-3)+4y(x-3)y(x+3)+4y(x+3)

y(x-3)+4y(3-x)-6x3(a-b)2+9x2(b-a)3

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

p.10.练习中2③④

3、回家作业:

P.11.习题中2⑥⑦、3

§5

套用公式法(一、平方差公式1)

教学目标:

1、知识与技能:

能说出平方差公式的特征,会用平方差公式分解因式;

2、过程与方法:

通过对平方差公式特征的辨析,提高学生的观察能力;

3、情感与态度:

培育学生逆向思维能力以及辩证统一的思想.

教学三点:

1、教学重点:

平方差公式的直接运用;

2、教学难点:

用平方差公式分解因式的条件;

3、教学关键:

辨析平方差公式的特征.

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、概念回顾:

分解因式、平方差公式

2、问题思考

①运用提取公因式法分解因式的步骤怎样?

②你能分解a2-b2吗?

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现:

a2-b2能分解吗?

Ⅱ、引导思考:

观察式子a2-b2的特征

①回顾所学,什么向乘可得a2-b2?

②式子(a+b)(a-b)=a2-b2称什么公式?

在数学中的作用是什么?

③整式乘法与分解因式之间的关系怎样?

你能分解式子a2-b2吗?

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳:

指出:

以上所得结论仍称平方差公式,前者称整式乘法平方差公式,后者称分解因式平方

差公式.

思考:

试归纳分解因式平方差公式

Ⅱ、板书小结:

小结:

分解因式平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)

思考:

①上式左边有几个项?

各项是什么?

用什么连结?

②上式右边有几个因式?

两因式的异同是什么?

3、拓展延伸

Ⅰ、引例分析

引例:

x2-169m2-4n2

分析:

①这些式子能用提取公因式法分解吗?

②可否用平方差公式?

③如何判定一个式子能否用平方差公式呢?

Ⅱ、知识小结

小结:

平方差公式的适用范围

①适用于两个项(或式)

②两项(或式)都能写成平方的形式

③两个平方项用差连结

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式x2y2-25a2

m2-0.9n4

分析解答:

(略)

2、反馈练习

练习:

(略)

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

p.14.练习中1、2①②

3、回家作业:

P.14..练习中2③④、3

§6

套用公式法(一、平方差公式2)

教学目标:

1、知识与技能:

能较熟练地运用平方差公式分解因式;

2、过程与方法:

进一步提高学生的观察、类比、联想能力;

3、情感与态度:

培育学生良好的观察习惯、学习习惯.

教学三点:

1、教学重点:

平方差公式的运用;

2、教学难点:

形如两平方项的整式的分解;

3、教学关键:

将式子写成平方差的形式.

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片、小黑板

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、概念回顾:

平方差公式

2、问题思考:

①具有什么特征的式子可用平方差公式分解?

②分解因式:

x2-436x2-9x2y2-x2y2+9y2-121y2+x4

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

问题:

分解因式(x+6)2-(x+9)2

Ⅱ、类比猜想

回顾:

平方差公式a2-b2=

比较:

两式的相同之处是什么?

两式的不同之处是什么?

联想:

通过比较,你能分解以上式子吗?

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳:

思考:

通过以上分析,你学到了什么?

Ⅱ、板书小结:

小结:

运用平方差公式时,各平方项可以是数、字母,也可以是一般整式.

注意:

①运用公式时,一定要观察式子是否适合公式特征;

②运用平方差公式时,最好是将式子先写成平方的差的形式.

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式16(a-b)2-9(a+b)2x5-x3x4-y4

分析解答:

①突出公式的套用;

②注意括号内的化简;

③要分解到不能再分解为止,有时要进行二次分解.

2、反馈练习

练习:

(略)

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

p..

3、回家作业:

P..

§7

套用公式法(二、完全平方公式1)

教学目标:

1、知识与技能:

理解完全平方公式的特征,初步学会用完全平方公式分解因式;

2、过程与方法:

培育学生的观察能力和套用公式的名能力;

3、情感与态度:

培育学生的观察习惯和学习习惯.

教学三点:

1、教学重点:

能直接运用完全平方公式分解因式;

2、教学难点:

理解完全平方公式的适用范围;

3、教学关键:

透彻研究完全平方公式的特征.

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、概念回顾:

整式乘法公式

2、问题思考:

①题取公因式法的几个步骤是什么?

②什么情况下可用平方差公式分解因式?

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

问题:

分解因式x2-6x+9

思考:

①此题能否用以前学的提取公因式法或平方差公式法?

为什么?

②此题几个项?

各项的特征是什么?

Ⅱ、类比猜想

回顾:

整式乘法的完全平方公式[(a±b)2=a2±2ab+b2]

思考:

由乘法与分解互逆,你想到了什么?

[a2±2ab+b2=(a±b)2]

观察:

上式几个项?

各项的特征是什么?

指出:

形如以上的式子称完全平方式

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳

思考:

①什么样的式子称完全平方式?

其特征是什么?

②完全平方式怎样分解?

Ⅱ、板书小结

小结:

①形如a2±2ab+b2的式子称完全平方式,

特征:

三个项;其中两项可写成平方冪;另一项是两冪的底数的2倍或.

[此特征即为完全平方公式的适用范围]

②分解因式之完全平方公式:

a2±2ab+b2=(a±b)2

练习:

①下列各项是完全平方式吗?

x2-6x-9x2+6x+9x2+6x-9x2-6x+9

x2+4x+3x2+4x+4x2+4x+5x2+4

②将下列各式补全成完全平方式

a2++1x2-10x+y2+8y+x2++36

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式:

a2-14a+4925x2+10x+1a2b2-8abc+16c2

分析解答:

①突出写成公式的形式,以利套用公式;

②讲清由中间项的符号来确定选用公式的符号.

2、反馈练习

练习:

(略)

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,主要讲了用完全平方公式来分解因式,你学到了哪些知识?

还有哪些

不明白的地方?

2、课堂练习:

p..

3、回家作业:

P.

§8

套用公式法(二、完全平方公式2)

教学目标:

1、知识与技能:

能较熟练的运用完全平方公式来分解因式;

2、过程与方法:

进一步培育学生类比、联想能力和运用公式的能力;

3、情感与态度:

进一步培育学生的观察习惯、学习习惯.

教学三点:

1、教学重点:

熟练运用完全平方公式分解因式;

2、教学难点:

用完全平方公式分解各“项”为多项式型的完全平方式;

3、教学关键:

教会学生将一个多项式看作一个“项”或一个“字母”.

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、概念回顾:

完全平方式、完全平方公式

2、问题思考

①完全平方式的特征是什么?

②分解因式:

a2-6a+9121x2y2-44xy+4a2+ab+

b2

x2+xy+4y2

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

分解因式:

(x+y)2-20(x+y)+100-x2-y2+4xy

Ⅱ、分析探究

观察分析:

①以上所给式子与前面学的用完全平方公式分解因式的式子有何不同?

②后一个式子有两项为负,能直接用完全平方式吗?

解答探究:

①通过怎样的处理,能使以上式子变成前面学过的式子?

②你能对以上式子分解因式吗?

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳

思考:

通过以上题的解答,你学到了什么?

Ⅱ、板书小结

小结:

①运用完全平方公式分解因式时,平方冪的底数可以是数、字母、式子.

②分解因式要先提后套.

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式-x5+4x3-4x(x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2

分析解答:

①第一个要先提后套,分解要彻底;

②第二个突出:

平方冪的底是式子时如何套用公式,以及双层括号的化简.

2、反馈练习

练习:

(略)

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

p..

3、回家作业:

P..

§9

十字相乘法

(1)

教学目标:

1、知识与技能:

理解十字相乘法的原理,能分解二次项系数为“1”二次三项式;

2、过程与方法:

进一步培养学生的分析、观察能力和解题能力;

3、情感与态度:

培育学生的观察习惯

教学三点:

1、教学重点:

分解二次项系数为“1”二次三项式;

2、教学难点:

理解十字相乘法的原理;

3、教学关键:

引导探索,自主得出二次三项式的分解方法

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、至今为止,以学哪些分解因式的方法?

2、什么情况下,用完全平方公式分解因式?

3、分解因式:

x2+6x+9x2-4x+4

二、探索新

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

分解因式:

x2+6x+8x2-4x-5

观察:

以上两式与复习回顾中3题有何异同?

思考:

以上能用完全平方公式分解吗?

为什么?

指出:

①两式不能用提取公因式法,因为各项找不到公因式;

②也不能用完全平方公式,因为不是完全平方式.

Ⅱ、引导探索

回顾:

依据整式乘法填空(x+2)(x+4)=(展开)=(整理)

分析:

由于分解因式与整式乘法互逆,

可知x2+6x+8=(x+2)(x+4)

思考:

①联系整式乘法,x2是怎样来的?

②联系整式乘法,6x是怎样来的?

③联系整式乘法,8是怎样来的?

④观察分解因式结果,怎样得来(x+2)和(x+4)?

⑤试用以上方法处理x2-4x-5

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳

指出:

以上方法称十字相乘法

思考:

十字相乘法是怎样分解因式的?

Ⅱ、板书小结

小结:

十字相乘法分解因式的方法(适用于形如二次三项式的式子)

①将二次项分解写在第一列;

②将常数项分解写在第二列.

若交叉积的和正好是一次项,则此二次项可分解为

①第一列为一个因式;

②第二列为一个因式.

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式x2-5x+6x2+10x-39

分析解答:

①突出分解过程;

②讲清因式构成.

2、反馈练习

练习:

(略)

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课补充了十字相乘法的方法,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

另加(略)

3、回家作业:

另加(略)

§10

十字相乘法

(2)

教学目标:

1、知识与技能:

掌握十字相乘法的运用,能分解二次项系数非“1”的二次三项式

2、过程与方法:

进一步培养学生观察分析能力和预知能力;

3、情感与态度:

培育学生的学习习惯和学习兴趣.

教学三点:

1、教学重点:

能用十字相乘法分解二次项系数非“1”的二次三项式

2、教学难点:

明白常数项分解的符号予一次项符号的关系;

3、教学关键:

突出十字相乘法中,交叉积的和等于一次项.

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、概念回顾:

十字相乘法中,列、斜、横的意义

2、问题思考:

分解因式

x2+8x+7x2-7x+10x2+5x-14x2-5x-14

二、探索新知

1、引导探

Ⅰ、问题呈现

指出:

在复习题中,常数项有“正”有“负”

问题:

当二次项系数为正时,常数项分解因数的符号与本身及一次项系数的符号的关系

怎样?

Ⅱ、引导思考(这里,二次项系数为“1”)

思考:

①若常数项为正,有哪两种分解方法?

此时若一次项系数为正(或负)呢?

②若常数项为负,有哪两种分解方法?

此时若一次项系数为正(或负)呢?

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳

指出:

又以上分析可知,若二次项系数为正时,常数项的分解可分三种情况

思考:

若二次项系数为正时,常数项的分解有哪三种情况?

Ⅱ、板书小结

小结:

二次三项式ax2+bx+c(a>0)中c的分解

①若c>0,b>0,c的分解全正

②若c>0,b<0,c的分解全负

③若c<0,c的分解一正一负

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式

6x2+11x+36x2+x-35

2、反馈练习

练习:

分解因式

6x2-11x-356x2-23x-35

6x2+5x+13x2-7x+2

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

(略)

3、回家作业:

(略)

§11

分组分解法(一、分组先提)

教学目标:

1、知识与技能:

能对多项式正确分组,会分组提公因式分解因式;

2、过程与方法:

通过分组,培育学生的观察能力、判断能力、预知能力;

3、情感与态度:

进一步是学生养成良好的观察习惯、学习习惯.

教学三点:

1、教学重点:

会正确分组来提取公因式分解因式;

2、教学难点:

正确分组

3、教学关键:

如何通过预知来正确分组.

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、至今为止,以学那些分解因式的方法?

2、哪些方法是和分解两各项(或式)?

3、哪些方法适合分解三个项(或式)?

4、分解因式:

5ax-5ay5a(x-y)-3b(x-y)4x2-9y24x2+12xy+9y2

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

分解因式:

ax+ay+bx+by

Ⅱ、引导探索

分析:

能否用以学的方法分解因式?

为什么?

观察:

使用不同的方法表示图中的面积

s=ax+ay+bx+bys=(a+b)(x+y)

得出:

ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)

推导:

ax+ay+bx+by

=(ax+ay)+(bx+by)分组

=a(x+y)+b(x+y)分租分解提公因式

=(a+b)(x+y)合项分解提公因式

说明:

以上分解方法称分组分解法

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳:

思考:

①分组分解法的一般步骤是什么?

②分组分解法的关键步骤是什么?

Ⅱ、板书小结:

小结:

分组分解法的一般步骤:

分组→分租分解→合项分解

说明:

分组分解法的关键是分组

三、知识运用

1、运用举例

典型示例:

分解因式

a2-ab+ac-bc3ax+5by-3bx-5aym2+5m-mn-5n

分析解答:

①突出分组,讲清步骤;

②分组分解时,注意符号的变化.

2、反馈练习:

(略)

四、巩固提高

1、本堂小结:

本节课中,你学到了哪些知识?

还有哪些不明白的地方?

2、课堂练习:

另加,见幻灯片3、回家作业:

另加,见幻灯片

§12

分组分解法(二、分组套公式)

教学目标:

1、知识与技能:

能对多项式正确分组,并能分组套公式分解;

2、过程与方法:

培育学生灵活运用公式解决问题的能力;

3、情感与态度:

进一步培育学生的观察习惯.

教学三点:

1、教学重点:

分组套公式分解;

2、教学难点:

对多项式正确分组;

3、教学关键:

如何通过预知来正确分组.

教学准备:

1、教具准备:

幻灯片

2、学具准备:

教学过程:

一、复习回顾

1、分组分解因式的一般步骤是什么?

2、分解因式:

ax+ay+3x+3ya2+2ab-ac-2bc

二、探索新知

1、引导探

Ⅰ、问题呈现

分解因式:

x2+x+y-y2

Ⅱ、引导分析

思考:

①看到以上问题,你会想到什么方法?

为什么?

②如前面所学,分组提公因式,你会如何分组?

行吗?

③分组提公因式行不通,你能想到别的方法吗?

④若分组套公式,该如何分组?

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳:

思考:

分组分解有两种方法,你认为是哪两种方法?

Ⅱ、板书小结:

小结:

分组分解的过程

分组

三、知识运用

1、运用举

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