湘教版初一下《分解因式》全章教案.docx

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湘教版初一下《分解因式》全章教案

§1

分解因式

教学目标：

1、知识与技能：

了解分解因数和因式的概念、意义，能进行简易的因数因式分解；

2、过程与方法：

通过对比与联想比较得出分解因数和分解因式的异同；

3、情感与态度：

培育学生养成对比和联想的意识。

教学三点：

1、教学重点：

分解因式的概念

2、教学难点：

了解“基本建筑块”的内涵

3、教学关键：

建立起“基本建筑块”与“不能再分割（即分解）”的联系

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、概念回顾：

整数、整式的概念

2、问题思考：

①36能写成哪些非1整数的积？

②x2＋x能写成哪些整式的积？

二、探索新

知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现：

引例：

2×2×3×3＝3636＝2×2×3×3

x（x＋1）＝x2＋xx2＋x＝x（x＋1）

Ⅱ、观察猜想：

观察：

认真观察以上四个式子，找出它们的异同.

猜想：

请你按照自己的想法，将以上式子分成两类，并说明你的理由.

Ⅲ、导入新课：

说明：

以上有两种分类方法

法一，按行分类，第一行为纯数字，第二行含有字母.

法二，按列分类，第一列为乘法，第二列为分解.

将一个整数或整式进行分解，正是我们今天要研究的.（板书课题）

Ⅳ、讲授新知：

练习；将下列正整数尽可能多地分解成几个非1的正整数的积的形式

24283537

讲解：

①以上练习，与整数乘法互逆，为分解因数.

②象2、3、5、7、11……37……等，不能再分解下去，称质数或素数

练习；将下列整式尽可能多地分解成几个非±1的整式的积的形式

2x－6x2＋2xxy－yy2－4

讲解：

①以上练习，与整式乘法互逆，为分解因式.

②象2、x、y、x－3、y＋2、y－2……等，不能再分解下去，称质因式.

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳：

思考：

通过以上分析，能否用自己的语言解答以下几个问题？

①什么叫分解因数？

②什么叫分解因式？

③什么是质数和质因式？

Ⅱ、板书小结：

分解因数：

将一个整数分解成几个非1整数的积的形式叫分解因数；

不能再分解的正整数（除了1和本身以外）叫质数或素数.

分解因式：

将一个整式写成几个非1整式的积的形式叫分解因式；

不能再分解的整式（除了±1和本身以外）叫质因式.

3、拓展延伸

思考：

①分解因式与整式乘法的区别是什么？

②你认为学习分解因式对解决哪些问题有意义？

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

例1：

约分

＝

分析：

∵12＝2×2×330＝2×4×5

∴

＝

＝

例2：

比较下列两个二次方程，试选取其中一个求解.

x2－3x＋2＝0（x－1）（x－2）＝0

2、反馈练习练习：

（略）

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

p.4.中练习1、2.

3、回家作业：

P.4.中习题1.1（A组）

§3

提取公因式法2

教学目标：

1、知识与技能：

进一步学习提取公因式的方法，能熟练运用提取公因式法解题；

2、过程与方法：

通过观察、类比、联想，得出一般整是提取公因式的方法；

3、情感与态度：

培育学生类比联想、分析探究的习惯和能力.

教学三点：

1、教学重点：

对含有多项式型公因式提取公因式；

2、教学难点：

对含有相反量型多项式提取公因式；

3、教学关键：

突出“相反量型多项式的分辨”.

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、概念回顾：

公因式、提取公因式

2、问题思考

①下列哪些是分解因式？

哪些是整式乘法？

x2－1＝（x＋1）（x－1）（x＋y）（x－y）＝x2－y2

x2－3x＋4＝x（x－3）＋4x2－4x＋4＝（x＋2）

2

②完成下列填空

3x2－6x＝（x－2）－x2＋x＝－x（）

ab－ac＝a（）－9x2－6x＝（3x＋2）

③分解因式

2ax－3x3ab2－12a2b－12x3y－28x39ay2－6ay＋3y

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现：

引例：

分解因式ax＋bx＝a（m＋n）＋b（m＋n）＝

思考：

以学哪个式子的分解？

怎样分解？

Ⅱ、类比猜想：

观察：

比较两个式子的异同

思考：

能否通过类比，得出后一个式子的分解方法？

分析：

将（m＋n）看作x（图示，略）

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳：

思考：

通过以上分析，你学到了什么？

Ⅱ、板书小结：

小结：

多项式中，公因式可以是数、字母，也可以是单项式、多项式、整式.

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式

①2a（3b＋c）－b（3b＋c）

②6（x－2）2－3（x－2）3

分析解答：

①突出“找→拆→提”的过程；

②“拆”“提”注意括号及化简.

2、反馈练习

练习：

（略）

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

p.10.练习中1、2①②

3、回家作业：

P.11.习题中2④⑤、3

§4

提取公因式法3

教学目标：

1、知识与技能：

能熟练运用提取公因式法分解因式；

2、过程与方法：

通过变形找公因式，提高学生灵活解题的能力；

3、情感与态度：

体会数形转化思想.

教学三点：

1、教学重点：

掌握变形提取公因式分解因式；

2、教学难点：

因式的正确变形；

3、教学关键：

如何对因式正确变形

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、下列各式中，有公因式可提吗？

如果有，是什么？

①4x＋4yax2＋bx2ax＋by－2x2y＋4xy2

②3a（a－b）－2b（a－b）（x＋y）3－（x－y）2（x＋y）2

2、说出下列各冪的意义，并判定是否相等？

a4与（－a）4a5与（－a）5（x－y）6与（y－x）6（x－y）7与（y－x）

7

说明：

（－a）2n＝a2n（－a）2n＋1＝－a2n＋1

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现：

分解因式a（x－y）＋b（x－y）a（x－y）＋b（y－x）

Ⅱ、引导思考：

思考：

①两式的异同是什么？

你能用以学知识分解哪个式子？

②能否说出后一个式子的特征？

③如何将相反量统一成相同量来分解？

讲解：

a（x－y）＋b（y－x）＝a（x－y）－b（x－y）＝（a－b）（x－y）

2、归纳新知

引导：

试归纳以上所学

小结：

对相反量提负号可统一成相同量

注意：

（a－b）2n＝（b－a）2n（a－b）2n＋1＝－（b－a）2z＋1

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式

①x（x－2）－3x（x－2）

②x（x－2）－3x（2－x）

③（a－b）2（c－d）3＋（b－a）3（d－c）2

分析解答：

①突出“找→拆→提”的过程；

②指出，a＋b与b＋a是相同量，a－b与b－a是相反量；

③注意：

（a－b）2n＝（b－a）2n（a－b）2n＋1＝－（b－a）2z＋1

2、反馈练习

练习：

分解因式

y（x－3）＋4y（x－3）y（x＋3）＋4y（x＋3）

y（x－3）＋4y（3－x）－6x3（a－b）2＋9x2（b－a）3

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

p.10.练习中2③④

3、回家作业：

P.11.习题中2⑥⑦、3

§5

套用公式法（一、平方差公式1）

教学目标：

1、知识与技能：

能说出平方差公式的特征，会用平方差公式分解因式；

2、过程与方法：

通过对平方差公式特征的辨析，提高学生的观察能力；

3、情感与态度：

培育学生逆向思维能力以及辩证统一的思想.

教学三点：

1、教学重点：

平方差公式的直接运用；

2、教学难点：

用平方差公式分解因式的条件；

3、教学关键：

辨析平方差公式的特征.

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、概念回顾：

分解因式、平方差公式

2、问题思考

①运用提取公因式法分解因式的步骤怎样？

②你能分解a2－b2吗？

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现：

a2－b2能分解吗?

Ⅱ、引导思考：

观察式子a2－b2的特征

①回顾所学，什么向乘可得a2－b2？

②式子（a＋b）（a－b）＝a2－b2称什么公式？

在数学中的作用是什么？

③整式乘法与分解因式之间的关系怎样？

你能分解式子a2－b2吗？

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳：

指出：

以上所得结论仍称平方差公式，前者称整式乘法平方差公式，后者称分解因式平方

差公式.

思考：

试归纳分解因式平方差公式

Ⅱ、板书小结：

小结：

分解因式平方差公式a2－b2＝（a＋b）（a－b）

思考：

①上式左边有几个项？

各项是什么？

用什么连结？

②上式右边有几个因式？

两因式的异同是什么？

3、拓展延伸

Ⅰ、引例分析

引例：

x2－169m2－4n2

分析：

①这些式子能用提取公因式法分解吗？

②可否用平方差公式？

③如何判定一个式子能否用平方差公式呢？

Ⅱ、知识小结

小结：

平方差公式的适用范围

①适用于两个项（或式）

②两项（或式）都能写成平方的形式

③两个平方项用差连结

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式x2y2－25a2

m2－0.9n4

分析解答：

（略）

2、反馈练习

练习：

（略）

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

p.14.练习中1、2①②

3、回家作业：

P.14..练习中2③④、3

§6

套用公式法（一、平方差公式2）

教学目标：

1、知识与技能：

能较熟练地运用平方差公式分解因式；

2、过程与方法：

进一步提高学生的观察、类比、联想能力；

3、情感与态度：

培育学生良好的观察习惯、学习习惯.

教学三点：

1、教学重点：

平方差公式的运用；

2、教学难点：

形如两平方项的整式的分解；

3、教学关键：

将式子写成平方差的形式.

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片、小黑板

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、概念回顾：

平方差公式

2、问题思考：

①具有什么特征的式子可用平方差公式分解？

②分解因式：

x2－436x2－9x2y2－x2y2＋9y2－121y2＋x4

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

问题：

分解因式（x＋6）2－（x＋9）2

Ⅱ、类比猜想

回顾：

平方差公式a2－b2＝

比较：

两式的相同之处是什么？

两式的不同之处是什么？

联想：

通过比较，你能分解以上式子吗？

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳：

思考：

通过以上分析，你学到了什么？

Ⅱ、板书小结：

小结：

运用平方差公式时，各平方项可以是数、字母，也可以是一般整式.

注意：

①运用公式时，一定要观察式子是否适合公式特征；

②运用平方差公式时，最好是将式子先写成平方的差的形式.

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式16（a－b）2－9（a＋b）2x5－x3x4－y4

分析解答：

①突出公式的套用；

②注意括号内的化简；

③要分解到不能再分解为止，有时要进行二次分解.

2、反馈练习

练习：

（略）

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

p..

3、回家作业：

P..

§7

套用公式法（二、完全平方公式1）

教学目标：

1、知识与技能：

理解完全平方公式的特征，初步学会用完全平方公式分解因式；

2、过程与方法：

培育学生的观察能力和套用公式的名能力；

3、情感与态度：

培育学生的观察习惯和学习习惯.

教学三点：

1、教学重点：

能直接运用完全平方公式分解因式；

2、教学难点：

理解完全平方公式的适用范围；

3、教学关键：

透彻研究完全平方公式的特征.

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、概念回顾：

整式乘法公式

2、问题思考：

①题取公因式法的几个步骤是什么？

②什么情况下可用平方差公式分解因式？

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

问题：

分解因式x2－6x＋9

思考：

①此题能否用以前学的提取公因式法或平方差公式法？

为什么？

②此题几个项？

各项的特征是什么？

Ⅱ、类比猜想

回顾：

整式乘法的完全平方公式［（a±b）2＝a2±2ab＋b2］

思考：

由乘法与分解互逆，你想到了什么？

［a2±2ab＋b2＝（a±b）2］

观察：

上式几个项？

各项的特征是什么？

指出：

形如以上的式子称完全平方式

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳

思考：

①什么样的式子称完全平方式？

其特征是什么？

②完全平方式怎样分解？

Ⅱ、板书小结

小结：

①形如a2±2ab＋b2的式子称完全平方式，

特征：

三个项；其中两项可写成平方冪；另一项是两冪的底数的2倍或.

［此特征即为完全平方公式的适用范围］

②分解因式之完全平方公式：

a2±2ab＋b2＝（a±b）2

练习：

①下列各项是完全平方式吗？

x2－6x－9x2＋6x＋9x2＋6x－9x2－6x＋9

x2＋4x＋3x2＋4x＋4x2＋4x＋5x2＋4

②将下列各式补全成完全平方式

a2＋＋1x2－10x＋y2＋8y＋x2＋＋36

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式：

a2－14a＋4925x2＋10x＋1a2b2－8abc＋16c2

分析解答：

①突出写成公式的形式，以利套用公式；

②讲清由中间项的符号来确定选用公式的符号.

2、反馈练习

练习：

（略）

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，主要讲了用完全平方公式来分解因式，你学到了哪些知识？

还有哪些

不明白的地方？

2、课堂练习：

p..

3、回家作业：

P.

§8

套用公式法（二、完全平方公式2）

教学目标：

1、知识与技能：

能较熟练的运用完全平方公式来分解因式；

2、过程与方法：

进一步培育学生类比、联想能力和运用公式的能力；

3、情感与态度：

进一步培育学生的观察习惯、学习习惯.

教学三点：

1、教学重点：

熟练运用完全平方公式分解因式；

2、教学难点：

用完全平方公式分解各“项”为多项式型的完全平方式；

3、教学关键：

教会学生将一个多项式看作一个“项”或一个“字母”.

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、概念回顾：

完全平方式、完全平方公式

2、问题思考

①完全平方式的特征是什么？

②分解因式：

a2－6a＋9121x2y2－44xy＋4a2＋ab＋

b2

x2＋xy＋4y2

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

分解因式：

（x＋y）2－20（x＋y）＋100－x2－y2＋4xy

Ⅱ、分析探究

观察分析：

①以上所给式子与前面学的用完全平方公式分解因式的式子有何不同？

②后一个式子有两项为负，能直接用完全平方式吗？

解答探究：

①通过怎样的处理，能使以上式子变成前面学过的式子？

②你能对以上式子分解因式吗？

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳

思考：

通过以上题的解答，你学到了什么？

Ⅱ、板书小结

小结：

①运用完全平方公式分解因式时，平方冪的底数可以是数、字母、式子.

②分解因式要先提后套.

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式－x5＋4x3－4x（x＋y）2－2（x＋y）（x－y）＋（x－y）2

分析解答：

①第一个要先提后套，分解要彻底；

②第二个突出：

平方冪的底是式子时如何套用公式，以及双层括号的化简.

2、反馈练习

练习：

（略）

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

p..

3、回家作业：

P..

§9

十字相乘法

（1）

教学目标：

1、知识与技能：

理解十字相乘法的原理，能分解二次项系数为“1”二次三项式；

2、过程与方法：

进一步培养学生的分析、观察能力和解题能力；

3、情感与态度：

培育学生的观察习惯

教学三点：

1、教学重点：

分解二次项系数为“1”二次三项式；

2、教学难点：

理解十字相乘法的原理；

3、教学关键：

引导探索，自主得出二次三项式的分解方法

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、至今为止，以学哪些分解因式的方法？

2、什么情况下，用完全平方公式分解因式？

3、分解因式：

x2＋6x＋9x2－4x＋4

二、探索新

知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

分解因式：

x2＋6x＋8x2－4x－5

观察：

以上两式与复习回顾中3题有何异同？

思考：

以上能用完全平方公式分解吗？

为什么？

指出：

①两式不能用提取公因式法，因为各项找不到公因式；

②也不能用完全平方公式，因为不是完全平方式.

Ⅱ、引导探索

回顾：

依据整式乘法填空（x＋2）（x＋4）＝（展开）＝（整理）

分析：

由于分解因式与整式乘法互逆，

可知x2＋6x＋8＝（x＋2）（x＋4）

思考：

①联系整式乘法，x2是怎样来的？

②联系整式乘法，6x是怎样来的？

③联系整式乘法，8是怎样来的？

④观察分解因式结果，怎样得来（x＋2）和（x＋4）？

⑤试用以上方法处理x2－4x－5

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳

指出：

以上方法称十字相乘法

思考：

十字相乘法是怎样分解因式的？

Ⅱ、板书小结

小结：

十字相乘法分解因式的方法（适用于形如二次三项式的式子）

①将二次项分解写在第一列；

②将常数项分解写在第二列.

若交叉积的和正好是一次项，则此二次项可分解为

①第一列为一个因式；

②第二列为一个因式.

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式x2－5x＋6x2＋10x－39

分析解答：

①突出分解过程；

②讲清因式构成.

2、反馈练习

练习：

（略）

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课补充了十字相乘法的方法，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

另加（略）

3、回家作业：

另加（略）

§10

十字相乘法

（2）

教学目标：

1、知识与技能：

掌握十字相乘法的运用，能分解二次项系数非“1”的二次三项式

2、过程与方法：

进一步培养学生观察分析能力和预知能力；

3、情感与态度：

培育学生的学习习惯和学习兴趣.

教学三点：

1、教学重点：

能用十字相乘法分解二次项系数非“1”的二次三项式

2、教学难点：

明白常数项分解的符号予一次项符号的关系；

3、教学关键：

突出十字相乘法中，交叉积的和等于一次项.

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、概念回顾：

十字相乘法中，列、斜、横的意义

2、问题思考：

分解因式

x2＋8x＋7x2－7x＋10x2＋5x－14x2－5x－14

二、探索新知

1、引导探

索

Ⅰ、问题呈现

指出：

在复习题中，常数项有“正”有“负”

问题：

当二次项系数为正时，常数项分解因数的符号与本身及一次项系数的符号的关系

怎样？

Ⅱ、引导思考（这里，二次项系数为“1”）

思考：

①若常数项为正，有哪两种分解方法？

此时若一次项系数为正（或负）呢？

②若常数项为负，有哪两种分解方法？

此时若一次项系数为正（或负）呢？

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳

指出：

又以上分析可知，若二次项系数为正时，常数项的分解可分三种情况

思考：

若二次项系数为正时，常数项的分解有哪三种情况？

Ⅱ、板书小结

小结：

二次三项式ax2＋bx＋c（a＞0）中c的分解

①若c＞0，b＞0，c的分解全正

②若c＞0，b＜0，c的分解全负

③若c＜0，c的分解一正一负

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式

6x2＋11x＋36x2＋x－35

2、反馈练习

练习：

分解因式

6x2－11x－356x2－23x－35

6x2＋5x＋13x2－7x＋2

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

（略）

3、回家作业：

（略）

§11

分组分解法（一、分组先提）

教学目标：

1、知识与技能：

能对多项式正确分组，会分组提公因式分解因式；

2、过程与方法：

通过分组，培育学生的观察能力、判断能力、预知能力；

3、情感与态度：

进一步是学生养成良好的观察习惯、学习习惯.

教学三点：

1、教学重点：

会正确分组来提取公因式分解因式；

2、教学难点：

正确分组

3、教学关键：

如何通过预知来正确分组.

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、至今为止，以学那些分解因式的方法？

2、哪些方法是和分解两各项（或式）？

3、哪些方法适合分解三个项（或式）？

4、分解因式：

5ax－5ay5a（x－y）－3b（x－y）4x2－9y24x2＋12xy＋9y2

二、探索新知

1、引导探索

Ⅰ、问题呈现

分解因式：

ax＋ay＋bx＋by

Ⅱ、引导探索

分析：

能否用以学的方法分解因式？

为什么？

观察：

使用不同的方法表示图中的面积

s＝ax＋ay＋bx＋bys＝（a＋b）（x＋y）

得出：

ax＋ay＋bx＋by＝（a＋b）（x＋y）

推导：

ax＋ay＋bx＋by

＝（ax＋ay）＋（bx＋by）分组

＝a（x＋y）＋b（x＋y）分租分解提公因式

＝（a＋b）（x＋y）合项分解提公因式

说明：

以上分解方法称分组分解法

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳：

思考：

①分组分解法的一般步骤是什么？

②分组分解法的关键步骤是什么？

Ⅱ、板书小结：

小结：

分组分解法的一般步骤：

分组→分租分解→合项分解

说明：

分组分解法的关键是分组

三、知识运用

1、运用举例

典型示例：

分解因式

a2－ab＋ac－bc3ax＋5by－3bx－5aym2＋5m－mn－5n

分析解答：

①突出分组，讲清步骤；

②分组分解时，注意符号的变化.

2、反馈练习：

（略）

四、巩固提高

1、本堂小结：

本节课中，你学到了哪些知识？

还有哪些不明白的地方？

2、课堂练习：

另加，见幻灯片3、回家作业：

另加，见幻灯片

§12

分组分解法（二、分组套公式）

教学目标：

1、知识与技能：

能对多项式正确分组，并能分组套公式分解；

2、过程与方法：

培育学生灵活运用公式解决问题的能力；

3、情感与态度：

进一步培育学生的观察习惯.

教学三点：

1、教学重点：

分组套公式分解；

2、教学难点：

对多项式正确分组；

3、教学关键：

如何通过预知来正确分组.

教学准备：

1、教具准备：

幻灯片

2、学具准备：

教学过程：

一、复习回顾

1、分组分解因式的一般步骤是什么？

2、分解因式：

ax＋ay＋3x＋3ya2＋2ab－ac－2bc

二、探索新知

1、引导探

索

Ⅰ、问题呈现

分解因式：

x2＋x＋y－y2

Ⅱ、引导分析

思考：

①看到以上问题，你会想到什么方法？

为什么？

②如前面所学，分组提公因式，你会如何分组？

行吗？

③分组提公因式行不通，你能想到别的方法吗？

④若分组套公式，该如何分组？

2、归纳新知

Ⅰ、引导归纳：

思考：

分组分解有两种方法，你认为是哪两种方法？

Ⅱ、板书小结：

小结：

分组分解的过程

分组

三、知识运用

1、运用举