第三课函数的单调性与奇偶性Word格式.docx
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(减+减=减)
⑦若函数f(x)是增函数,g(x)是减函数,则f(x)−g(x)也是增函数;
(增−减=增)
⑧若函数f(x)是减函数,g(x)是增函数,则f(x)−g(x)也是减函数;
(减−增=减)
⒊一些特殊函数的单调性:
⑴一次函数y=kx+b,当k>0时,在R上是;
当k<0时,在R上是.
⑵二次函数y=ax2+bx+c,
当a>0时,在(−∞,
]上为,在[
+∞)上为;
当a<0时,在(−∞,
]上为,在[
+∞)上为.
⑶反比例函数y=
当k>0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是;
当k<0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是.
⑷指数函数y=ax,当a>1时,在R上是,当0<a<1时,在R上是.
⑸对数函数y=logax,当a>1时,在(0,+∞)是,当0<a<1时,在(0,+∞)是.
⑹*记住重要函数y=x+
的单调性,并会证明:
当x>0时,函数在(0,
)上单调递减,在[
+∞]上单调递增;
当x<0时,函数在上单调递减,在上单调递增.
(二)、函数的奇偶性:
⒈函数奇偶性的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(−x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(−x)=−f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.
⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于________对称.
⑵函数的奇偶性可分为四类:
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).
注意:
设函数f(x)的定义域关于原点对称,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是f(x)恒等于0.
例:
f(x)=0,x∈(−1,1);
f(x)=0,x∈[−2,2];
f(x)=
等
⒉具有奇偶性函数的图象特征:
⑴奇函数图象关于对称;
⑵偶函数图象关于____对称.
⒊判断函数奇偶性的方法:
⑴图象法;
⑵定义法.其一般步骤是:
①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性;
若对称,再进行第二步;
②判断f(−x)与f(x)的关系,并下结论.
若f(−x)=−f(x)且f(x)不恒等于0,则此函数为奇函数;
若f(−x)=f(x)且f(x)不恒等于0,则此函数为偶函数;
若f(−x)=−f(x)且f(−x)=f(x),则此函数为既是奇函数又是偶函数;
若f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数.
(4)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性;
(5)若f(x)是奇函数,且f(0)有意义,则必有f(0)=.
(三)、函数图象的变换:
⒈平移变换:
⑴y=f(x)的图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位得到y=f(x−a)的图象;
⑵y=f(x)的图象沿x轴向左平移a(a>0)个单位得到y=f(x+a)的图象;
⑶y=f(x)的图象沿y轴向上平移a(a>0)个单位得到y=f(x)+a的图象;
⑷y=f(x)的图象沿y轴向下平移a(a>0)个单位得到y=f(x)−a的图象.
2.对称变换:
两个函数图象的对称关系:
⑴y=f(x)与y=−f(x)的图象关于x轴对称;
⑵y=f(x)与y=f(−x)的图象关于y轴对称;
⑶y=f(x)与y=−f(−x)的图象关于原点轴对称;
⑷y=f(x)与y=f−1(x)的图象关于直线y=x轴对称;
⑸y=f(|x|)的图象是保留y=f(x)的图象中y轴右边部分,并作其关于y轴对称的图象,再擦掉y=f(x)的图象中y轴左边部分而得到;
⑹y=|f(x)|的图象是保留y=f(x)的图象中x轴上方的图象及x轴上的点,并将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去;
⑺*函数y=f(a+mx)与函数y=f(b−mx)(a、b:
m∈R,m≠0)的图象关于直线x=
对称.
二、典型例题
【例1】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
·
;
(2)f(x)=
+
(3)f(x)=
[解答]
(1)由
得x=±
1,∴f(x)=0,又它的定义域关于原点对称,f(x)=f(-x)=-f(x)=0,
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由
得x>
0,函数f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>
0时,-x<
0,f(x)=x2+x+1,f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1=f(x);
当x<
0时,-x>
0,f(x)=x2-x+1,f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1=f(x).∴函数f(x)为偶函数.
【例2】判断函数f(x)=
(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性.
[解答]任取x1、x2∈(-1,1),且x1<
x2,
则f(x1)-f(x2)=
.
由-1<
x1<
x2<
1得
>
0,
∴a>
0时,f(x1)-f(x2)>
0,f(x1)>
f(x2),
∴f(x)在(-1,1)上单调递减.
同理可得:
a<
0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.
【例3】已知函数f(x)对任意的实数m,n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时,有f(x)>0.
(1)求证:
f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f
(1)=1,解不等式:
f(log2(x2-x-2))<2.
[解答]证明:
(1)任取定义域(-∞,+∞)内x1、x2且x1<x2,则x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)
=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)
=-f(x2-x1)<0,∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)∵f
(1)=1,∴2=f
(1)+f
(1)=f
(2),
由已知得f[log2(x2-x-2)]<f
(2).
又∵f(x)在R上递增,
∴log2(x2-x-2)<2,
∴
∴-2<x<-1或2<x<3.
∴原不等式的解集为{x|-2<x<-1或2<x<3}.
【例4】定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-2k)(k∈Z),且当x∈(0,1)时,f(x)=
(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)证明:
f(x)在(0,1)上是减函数;
(3)当m取何值时,方程f(x)=m在(0,1)上有解?
[解答]
(1)设-1<
x<
0,则0<
-x<
1,
∴f(-x)=
=
=-f(x),
∴f(x)=-
,x∈(-1,0).
又f(x)为奇函数,∴f(0)=-f(0),从而f(0)=0;
又f(x)=f(x-2k),k∈Z,∴f
(1)=f(-1),
而f(-1)=-f
(1),从而f
(1)=0,且f(-1)=0,
综上所述,f(x)=
设0<
1,则
f(x1)-f(x2)=
,
∵0<
∴f(x1)-f(x2)>
0,即f(x1)>
从而f(x)在(0,1)上是减函数.
(3)由
(2)可知f(x)在(0,1)上单调递减,
∴要使方程f(x)=m在(0,1)上有解,
只需
<
m<
,故m∈
三、课堂练习
1.函数f(x)=log2(x2-4x-5)的单调增区间为________.
答案:
(5,+∞) [解析]由题意知x2-4x-5>
0,解得x<
-1或x>
5,即函数f(x)=log2(x2-4x-5)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),根据外层函数为单调增函数,而内层函数u=x2-4x-5=(x-2)2-9在(5,+∞)上单调递增,所以所求函数的单调增区间为(5,+∞).
2.若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
-4<
a≤4 [解析]令g(x)=x2-ax+3a,由题知g(x)在[2,+∞)上是增函数,且g
(2)>
0.
∴-4<
a≤4.
3.若函数f(x)=x2-2(1+a)x+8在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围为________.
a≥3 [解析]由题意知:
函数f(x)=x2-2(1+a)x+8的单调减区间为(-∞,(1+a)],又函数在(-∞,4]上为减函数,所以有4≤1+a,解得a≥3.
4.已知函数f(x)=
满足对任意x1≠x2,都有
0成立,则a的取值范围是________.
0<
a≤
[解析]由题意知,f(x)为减函数,所以
解得0<
5.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=________.
-0.5 [解析]由题意得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数,所以f(7.5)=f(7.5-8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
6.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.
-2x2+4 [解析]f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称,∴2a+ab=0⇒b=-2或a=0(舍),∴f(x)=-2x2+2a2,且值域为(-∞,4],∴2a2=4,∴f(x)=-2x2+4.
7.已知f(x)为奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=lg
,那么当x∈(-1,0)时,函数f(x)的表达式是________.
lg(1-x) [解析]x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),
∴f(-x)=lg
=lg(1-x)-1=-lg(1-x),而由f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-lg(1-x),故f(x)=lg(1-x).
8.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且以2为周期,则f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)的值是________.
0 [解析]∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,又以2为周期,∴f
(2)=f(4)=f(6)=f(0)=0,又f(-1)=-f
(1)=f
(1),∴f
(1)=0,于是f(3)=f(5)=f(7)=0,因此f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=0.
9.已知函数
(1)若
,求
的值;
(2)求证:
不论
为何实数,f(x)总为增函数
10.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围.
[解答]∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|),又∵f(1-m)<
f(m),∴f(|1-m|)<
f(|m|).
当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,∴
由|1-m|>
|m|,整理得(1-m)2>
m2,解得m<
由-2≤1-m≤2,解得-1≤m≤3.
又-2≤m≤2,∴-1≤m<
11.已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
f(x)是奇函数;
(2)如果x∈R+,f(x)<
0,并且f
(1)=-
,试求f(x)在区间[-2,6]上的最值.
[解答]
(1)证明:
∵函数f(x)的定义域为R,
∴其定义域关于原点对称.
∵f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,
∴f(0)=f(x)+f(-x).
令x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.
∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)法一:
设x,y∈R+,∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x+y)-f(x)=f(y).
∵x∈R+,f(x)<
∴f(x+y)-f(x)<
0,∴f(x+y)<
f(x).
∵x+y>
x,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
又∵f(x)为奇函数,f(0)=0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.
∵f
(1)=-
,∴f(-2)=-f
(2)=-2f
(1)=1,
f(6)=2f(3)=2[f
(1)+f
(2)]=-3.
∴所求f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3.
法二:
设x1<
x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1>
0,∴f(x2-x1)<
0.∴f(x2)-f(x1)<
即f(x)在R上单调递减.
∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值.∵f
(1)=-
∴f(-2)=-f
(2)=-2f
(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f
(1)+f
(2)]=-3.
12.设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R).
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求实数a、b的值;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
[解答]
(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,即b=a+1.
又对任意实数x均有f(x)≥0成立,∴a>
0且Δ=b2-4a≤0恒成立,即a>
0且(a-1)2≤0恒成立,
∴a=1,b=2.
(2)由
(1)可知f(x)=x2+2x+1,
∴g(x)=x2+(2-k)x+1.
∵g(x)在x∈[-2,2]时是单调函数,
∴[-2,2]⊆
或[-2,2]⊆
∴2≤
或
≤-2,解得k≥6或k≤-2,
即实数k的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).