初中数学千题解——全等100题（学生版）Word格式.docx

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图1.4

5．如图1.5所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，点E是AC上一点，连接BE，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF.

当AF＝DF时，求证：

DC＝BC．

图1.5

6．如图1.6所示，在等腰Rt△ABC中，AD为斜边上的中线，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于点E、F，连接EF与AD相交于点G．求证：

∠AED＝∠AGF．

7．如图1.7所示，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：

BE＋CF＞EF．

8．如图1.8所示，已知正方形ABCD，点E为边AB上异于点A、B的一动点，EF∥AC，交BC于点F，点G为DA延长线上一定点，满足AG＝AD，GE的延长线与DF交于点H，连接BH．

探究：

∠EHB是否为定值？

如果是定值，请说明理由，并求出该定值；

如果不是定值，请说明理由．

9．如图1.9所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，点D是线段AC上一点，BC＝CD，过点A作AE⊥BD交BD的延长线于点E．

（1）如图（a）所示，若BC＝3，AE＝，求AB．

（2）如图（b）所示，点F是AB的中点，连接FC、FE，探究CF、EF的位置关系与数量关系．

（3）如图（c）所示，EF与AC交于点H，若AD＝BD，求．

（a） （b） （c）

10．如图1.10所示，已知矩形ABCD中，点E为AB上一点，连接CE，在CE上找一点F，连接AF，使得∠FAC＝∠ECB，且∠DCA＝∠DAF．求证：

CF＝2EB．

11．如图1.11所示，点E是正方形ABCC边CD上一动点，BE的垂直平分线交对角线AC于点G，垂足为点H，连接BG，并延长交AC于点F，连接EF；

若AC=2a，探究：

△CFE的周长L是否为定值？

如果是定值，求出这个值；

如果不是，请说明理由

12．如图1.12所示，AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AC于点A，点E为MN上一动点，且不与A重合，若△ABC的周长记为PA，△EBC的周长记为PB，探究PA、PB的大小关系

13．如图1.13所示，在△ABC中，∠BAC=120°

，AD为中线，将AD绕点A顺时针旋转120°

得到AE，点F为AC上一点，连接BF，∠ABE=∠AFB，若AF=6，BE=7；

求CF

14．如图1.14所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG垂直平分BC于点G，DE⊥AB于点E，连接CD，若AB=a，AC=b（a＞b），求BE（用含a、b的代数式表示）

15．如图1.15所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°

，点D、E是斜边AB（不包括点A、B）上的两点，且∠DCE=45°

；

DE2=AD2+BE2

16．如图1.16所示，在△ABD中，∠ABD＝60°

，点C为△ABD外部一点，满足AB＝AC，连接DC、BC，DE⊥AD交BC于点E，且DE平分∠BDC，若＝n（n＞1），求．

17．如图1.17所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，点E在Rt△ABC外部，连接BE，以BE为直角边作等腰Rt△BED，连接AD、AE，点H是AE的中点，过点C作CF∥AD，过点D作DF∥AC，两线交于点F，连接AF，点G是AF的四等分点．

求证:

HG⊥AF．

18．如图1.18所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，点D是△ABC内一点，且∠DAC＝∠DCA＝15°

.若BD＝，求S△ABC．

19．如图1.19所示，在△ABC中，∠ABC＝45°

，AD⊥BC于点D，点E在AD上，CD＝DE，连接BE并延长交AC于点F，延长FD到点G，连接BG．

若FG＝BG，求证:

BG⊥FG．

20．如图1.20所示，在矩形ABCD中，点O为AC的中点，AO＝AE＝CF.若OE＝4，OF＝6，求AE．

21．如图1.21所示，在△ABC中，点P为BC上一动点，且不与点B、C重合，AP⊥BE于点E，AP⊥CD于点D，点F为BC的中点。

EF=DF。

22．如图1.22所示，菱形ABCD是由两个正三角形拼成的，点P是△ABD内任意一点，现把△BPD绕点B旋转到△BQC的位置。

（1）若四边形BPDQ是平行四边形，求∠BPD。

（2）若△PQD是等腰直角三角形，求∠BPD。

（3）若∠APB=1000，且△PQD是等腰三角形，求∠BPD。

23．如图1.23所示，AB=AC，∠ABC=，EC=ED，∠CED=2，点P为BD的中点，连接AE、PE。

当时，求。

24．如图1.24所示，在等边△ABC中，点F在AC的延长线上，点D在BC上，延长BF与射线DA交于点E，连接EC，且AF+CD=AD，DE=15，AF=4。

求：

（1）∠BEC；

（2）；

（3）。

25．如图1.25所示，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D，BE平分∠CBD交AC于点E，在BC上取一点G，连接EG，且EG=2DE，点F是△ABC外一点，连接AF、BF、EF，满足∠FBE=∠FAB=600，连接GF交BE于点H，求证：

GF⊥BE。

26．如图1所示，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，分别以AB、AC为边作正方形ABED、ACGF，连接BD，点H、I分别是BD、BC的中点，连接HI．若HI＝c，求△ABC的面积．

27．如图1所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，在等腰Rt△EFC中，∠FEC＝90°

，连接AE、BF，点M为AE的中点，点N为BF的中点．探究AE与MN的位置关系和数量关系．

28．如图1所示，点P为正方形ABCD的边BC上一点，DH⊥AP，点E为AP上一点，AH＝EH，∠CDE的平分线交AP的延长线于点F，连接BF，求．

29．如图1所示，在等边△ABC内，点P为任意一点，连接AP、BP、CP．

（1）求证：

以AP、BP、CP为边，一定能构成一个三角形．

（2）若∠APB＝110°

，∠BPC＝135°

，求以边AP、BP、CP所构成的三角形的三个内角的值．

（3）若∠APB＝110°

，问∠BPC为何值时，以边AP、BP、CP所构成的三角形为直角三角形？

30．如图1所示，在四边形ABDE中，点C是BD的中点，BD＝DE＝8，AB＝2，∠ACE＝135°

，求AE的最大值．

31．如图1.31所示，△、△都是等边三角形，与交于点，连接。

（1）如图（a）所示，求证：

平分；

（2）如图（b）所示，当时，连接，于点，连接交于点，若，求。

32．在等腰△中，，如图1.32所示。

（1）如图（a）所示，点是线段上的一点，于点，于点，线段、、之间的数量关系为。

（2）如图（b）所示，点是线段上的一点，于点，于点，线段、、之间的数量关系为。

（3）如图（c）所示，点是线段延长线上的一点，其他条件不变，线段、、之间的数量关系为。

33．

（1）如图1.33（a）所示，，，以点为顶点在第四象限作等腰△，则点的坐标为。

（2）如图1.33（b）所示，在

（1）的基础上，在第四象限是否存在一点，使得△≌△？

若存在，求点的坐标；

若不存在，说明理由 。

（3）如图1.33（c）所示，为轴负半轴上一个动点，当点沿着轴负半轴向下运动时，以为顶点，作等腰△，过点作轴于点，则。

34．如图1.34所示，在等腰△中，，点在△的外部，使得，若，求。

35．如图1.35所示，在等腰△中，，平分交于点。

（1）如图（a）所示，若点在斜边上，垂直平分，垂足为点。

。

（2）如图（b）所示，过点作交的延长线于点，若，求。

36．如图1.36所示，在等腰Rt△ABC中，BC=AB，点A在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方.

（1）如图a所示，若点A的坐标是（-3,0）点B的坐标是（0,1），求点C的坐标；

（2）如图b所示，过点C作CD⊥y轴于点D，探究OA、OD、CD之间的等量关系；

（3）如图c所示，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，点B的坐标是（0，-1），求S△ABE和S△ABC.

37．如图1.37，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB=BD，∠ADB=2∠ACB，AB=19，AD=25，求BD.

38．

（1）如图1.38（a）所示，在平面直角坐标系xoy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且∠ABO=45°

，A（-6,0），直线BC与直线AB关于y轴对称，求S△ABC

（2）如图1.38（b）所示，点D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，点D为直角顶点，作等腰Rt△BDE,连接AE，∠ABO=45°

AB⊥AE.

（3）如图1.38（c）所示，点E是线段y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°

，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，是否存在这一的点M、N，使得OM+MN取得最小值？

若存在，求其最小值；

若不存在，请说明理由.

39．如图1.39所示，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°

CD是AB边上的中线，BE是AC边上的中线，BE⊥AF于点G，AF交BC于F，连接EF交CD于H.

（1）EF⊥CD

（2）S△ABC=6SEFC

40.如图1.40所示，点A的坐标（6,0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三、第四象限作等腰Rt△OBE，等腰Rt△ABF，连接EF交y轴于点P，当点B在y轴上移动时，求证：

PB为定值.

41．如图1.41所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，点D为CB的延长线上一点，AE＝AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P.

BP＝PE.

（2）若AC＝3PC，求.

42．如图1.42所示，在△ABC内，∠BAC＝60°

，∠ACB＝40°

，点P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的平分线.

BQ＋AQ＝AB＋BP.

43．如图1.43所示，已知△ABC，点D为CA延长线上的一点，AP平分∠BAD，点E为BC的中点，PE⊥BC，PH⊥CD.

AB＝AH＋HC.

44．如图1.44所示，点M为正△ABD的边AB所在射线AE上的任意一点（点B除外），作∠DMN＝60°

，射线MN与∠DBE的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

45．如图1.45所示，已知等腰Rt△ABC，点D为线段AB外一点（D、C在AB同侧），BD⊥AD.

AD＝BD＋CD.

46．如图1．46所示，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E在同一直线上，AE、BD交于点G，AC交BD于点M，CD交AE于点N，连接CG．

（1）若AB＝2，CE＝5，求AE．

（2）求证：

GE＝CG＋DG．

图1．46

47．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，以AC为边向外作△ACD，点F为BC上一点，连接AF，如图1．47所示．

（1）如图（a）所示，若∠ACD＝90°

，∠CAD＝30°

，CD＝1，AB＝BF＝2，求FC．

（2）如图（b）所示，若AB＝AC，延长DC交AF的延长线于点H，且∠AHD＝90°

，

∠BCH＝∠CAD，连接BD交AF于点M．求证：

CD＝2MH．

（a）（b）

图1．47

48．如图1．48所示，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是AB边上一点，连接DC，满足DA＝DC．

（1）如图（a）所示，点G在AB边上且BG＝CG，若∠ACB＝80°

，求∠GCD．

（2）如图（b）所示，点E在BC边上且DE＝DB，点F和点H分别为AB和EC的中点，连接FH．求证：

CD＝FH＋DF．

（a）（b）

图1．48

49．如图1．49所示，在△ABC中，分别以AB、BC为边在△ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，AB与CD相交于点O．

（1）如图（a）所示，若AC＝6，BC＝8，∠ACB＝30°

，求CD．

（2）如图（b）所示，连接PB，求证：

AP＋PB＋PC＝AE．

（a）（b）

图1．49

50．如图1．50所示，已知BE⊥AE于点E，∠ABC＝∠CBE，CF⊥AE于点F，延长CF至点G，点D是△ABC的边BC上一点，使得GD＝AD，且满足∠G＝∠DAB，连接DE、DF．

DE＝DF．

图1．50

51．如图1.51所示，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°

，点H为BC的中点.

（1）如图（a）所示，过点H作HG⊥AB于点G，点P在HG的延长线上，连接PB，在线段PB上取一点N，连接CN交HP于点K，若PN=NK，求∠PBG-∠NCB.

（2）如图（b）所示，在

（1）的条件下，连接PC，若HC=，求.

（a）（b）

图1.51

52．如图1.52所示，在等边△ABC中，CE平分∠ACB，点D为BC边上一动点（与点B、C不重合），满足DE=CD，连接BE.

（1）如图（a）所示，若CE=4，BC=，求BE.

（2）如图（b）所示，取BE的中点P，连接AP、PD、AD，探究线段AP与PD的位置与数量关系.

（3）如图©

所示，把图（b）中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE的中点，连接AP、PD、AD，问

（2）中的结论还成立吗？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

（a）（b）（c）

图1.52

53．如图1.53所示，在菱形ABCD中，∠ADC=120°

，点E是AC上一点，过点E作EG⊥AC，过点A作AG⊥AB，AG与EG交于点G，过点G作GH⊥AD于点H，取BG的中点F，连接FH、FE.求证：

EF=FH.

图1.53

54．如图1.54所示，AD是△ABC的角平分线.

（1）如图（a）所示，过点C作CE∥AD交BA延长线于点E，若点F为CE的中点，连接AF.求证：

AF⊥AD.

（2）如图（b）所示，点M为BC的中点，过点M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC.

（a）（b）

图1.54

55．如图1.55所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，点B、A、D在同一条直线上，连接BE、CD，点F、P分别为BE、CD的中点，连接AF、AP、PF.

（1）BE=CD；

（2）△APF是等腰三角形.

图1.55

56．如图1.56（a）所示，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，分别沿边AB、BC运动，设运动时间为ts，且它们的速度都为1cm/s.

（1）连接AQ、CP交于点M，则在点P、Q运动过程中，∠CMQ的大小是否发生变化？

若变化，请说明理由；

若不变，求其值；

（2）当t取何值时，△PBQ为直角三角形；

（3）如图（b）所示，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，则∠CMA的大小是否变化？

若不变，求其值.

57．如图1.57所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°

，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，BE与AD相交于点F.

（1）如图（a）所示，当AD=，BF=1时，求Rt△ABC的面积；

（2）如图（b）所示，在线段AF上取点G，使FG=DF，连接BG，过点F作FH⊥AD交BG于点H，连接DH交BE于点I.求证：

BD=2IF.

58．在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠A=2∠BCD，如图1.58所示.

AB=AC；

（2）如图（b）所示，点E是AB上一点，点F是AC延长线上一点，连接CE、BF，满足CE=BF.求证：

∠BEC=∠CFB；

（3）如图（c）所示，在

（2）的条件下，作EG//BC交AC于点G，若∠CBF=2∠ACE，EG=2，BC=6，求BF.

59．如图1.59所示，在△ABC中，AB=AC，延长BC到点D，使BD=2BC，连接AD，过点C作CE⊥BD交AD于点E，连接BE交AC于点O.

求证；

（1）∠CAD=∠ABE；

（2）OA=OC.