线段的垂直平分线与角平分线专题复习Word文档下载推荐.docx

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到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

如图2，∵AC＝BC

∴点C在线段AB的垂直平分线m上.

证明一个点在某线段的垂直平分线上.

3、关于线段垂直平分线性质定理的推论

（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

性质的作用：

证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；

若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；

若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

如图4，

∵OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴CF＝DF.

①证明两条线段相等；

②用于几何作图问题；

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线的判定定理：

在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

如图5，

∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD，

∴点P在∠AOB的平分线上.

用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线

6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：

①AP、BQ、CR相交于一点I；

②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.

①用于证明三角形内的线段相等；

②用于实际中的几何作图问题.

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线；

（2）会作已知角的角平分线；

（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

精品习题：

1．在△ABC中，∠C=90º

，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：

DC=5：

3，则点D到AB的距离为_______.

2．如图，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则

=（）

A．

B．

C．

　D．不能确定

3．如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分为三个三角形，则S

：

S

等于______.

4．如图所示，∠BAC＝105°

，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为．

5．AD∥BC，∠D=

，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（）

A．PD>

PCB．PD<

PCC．PD=PCD．无法判断

6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）

A．在AC、BC两边高线的交点处

B.在AC、BC两边中线的交点处

C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处

D.在∠A、∠B的角平分线的交点处

7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）

A．25º

B.30º

C.45º

D.60º

8．AC=AD，BC=BD，则有（　　）

A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB

9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP

10．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（　　　）处。

A、1　　　B、2　　　　C、3　　　　　　D、4

11．在Rt△ABC中，∠A=90°

，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．

12．如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你判断线段AC与BH有什么关系？

并说明理由.

13．如图，∠C=90°

，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：

AC+CD=AB．

14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．

（1）求证：

∠3=∠B；

（2）连接OD，求证：

∠B+∠ODB=180°

．

15．已知：

∠DAB=120°

，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°

（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：

AB+AD=AC；

（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想

（1）中的结论是否发生改变？

说明理由．

16．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．

（1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？

为什么？

（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．

17．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADE，求证：

AD=AB+CD。

18．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°

，求证：

AE=AD+BE。

19．已知：

如图在△ABC中，∠A=90°

，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：

BC=AB+AD