函数单调性优秀教案.docx

函数单调性优秀教案.docx

《函数单调性优秀教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数单调性优秀教案.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

函数单调性优秀教案

函数单调性优秀教案

【篇一：

《函数单调性》教学设计】

《函数单调性》教学设计

【设计思路】有效的概念教学必须建立在学生已有的知识结构基础之上顺应学生的思维发展，因此在教学设计中注意在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”，呈现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中。

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入．在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．考虑到学生数学思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。

在教学设计中发挥好多媒体教学的优势，注意结合图形，由浅入深，采用数形结合方法，从感知发展到理性思维，让学生经历“创设情境——探究概念——理解反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者。

【教学目标】

1．理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法．

2．通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证能力．

3．在学习中体会数学的科学价值和应用价值，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【背景分析】

1、教材分析

本节是高中数学新教材必修1第1章第1.3.1节第一课时，主要学习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

他是高中数学中相当重要的一个基础知识点。

是高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数单调性的基础．在比较数的大小、解方程或不等式、求函数的值域或最值、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。

通过本节课

的学习，加深对函数本质的认识，为今后函数学习打下理论基础；还有利于培养学生的抽象思维能力、分析和解决问题的能力。

从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。

所以本节课的

重点：

函数单调性定义及本质，单调性的判断及证明。

2、学清分析：

从学生的知识结构来看，初中已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，但对于数学上具有抽象概括性形式化的定义尚难于接受。

本节内容正是初中有关内容的深化和提高。

好在前一节学习的函数及其表示,为过渡到本节的学习起着铺垫作用，从学生的认知结构来看，高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密。

所以本节课的

难点：

函数单调性形式化定义的认识和理解，用定义证明函数的单调性．

【教法导学】

根据建构主义、最近发展区理论和本节课的特点，贯彻“教为主导，学为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想，采用启发诱导、支架式教学，通过营造问题情景，激发学生的探索欲望，鼓励学生自主探索，发挥好多媒体教学的优势，充分利用学生熟知函数图象的直观性，注意结合图形，由浅入深，从直观感知到理性思维，用数学观点分析和解决问题。

【教学手段】

利用多媒体直观、形象的动态功能，为函数单调性概念的理解提供直观、形象的认知基础;同时对函数在某一区间内变化趋势进行动态演示，帮助学生理解。

【教学课型】概念教学课

【教学准备】多媒体、黑板、课件

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

探究问题1：

为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年8

月

8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.观察曲线是如何变化的？

当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻？

〖师生活动〗：

学生独立思考并回答问题。

教师指出在生活中我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．还比如降雨量、股票价格等。

用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小，反映在图象上就是上升或下降，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性。

〖设计意图〗：

设置实际生活的例子，让学生对图象的上升和下降有初步的感性认识，为下一步对概念理性讲解作了铺垫，同时要通过实例让学生感受到函数的单调性和生活的密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步的好奇心。

二、指导观察，形成概念

探究问题2：

作出函数的图象，并且观察他们图象在哪个区间内是上升的哪个区间内是下降的？

能不能用数学语言把上面两个函数图象上升或下降的特征描述出来吗？

〖师生活动〗教师在问题的基础上，进一步强化对图象的感性认识，展示函数，

图象，让学生观察在整个定义域内y随x的变化情况。

在知识过度的关键处，从函数变量的角度分析问题，给学生一定的时间，让学生通过观察、思考探究，对问题作出回答，让学生先说，教师修正。

结论1：

函数在定义域内的任意两个自变量的值，

当

的值

变量的值时，都有，当，当，函数时，都有时，都有在定义域内区间，在定义域内区间上任意两个自变量上任意两个自。

结论2：

引导学生用自然语言描述图象的变化规律，并能进行分类描述（增函数、减函数），第1：

不同的函数变化趋势不同，第2：

同一函数在不同的区间有不同的变化趋势。

第3：

同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的是函数的局部性质。

〖设计意图〗顺应学习者的认知规律，以学生熟知的函数为切入点，从直观感知图象入手，对单调性的认识由形到数，让学生体会函数值的增减变化，把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,

探究问题3：

能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗?

〖师生活动〗学生独立思考，合作交流，回答问题，如果函数

x的增大，y也越来越大，我们说函数在某个区间上随自变量在某个区在该区间上为增函数；如果函数

间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数．教师指出：

这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识．如果从数值变化的角度描述就会得到如下概念：

定义：

一般地，设函数的定义域为i:

上的任意两个自变量的值

在区间上是单调递增函数。

，当时，都有如果对于定义域i内某个区间，那么就说函数

由学生类比得到减函数的定义：

如果对于定义域i内某个区间

，那么就说函数

注:

（1）上的任意两个自变量的值在区间上是单调递减函数。

，当时，都有三大特征：

①属于同一区间；②任意性；③有大小：

通常规定；

（2）相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

〖设计意图〗：

让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，

探究问题4：

下图是定义在[－5，5]上的函数

的图象，根据图象说出函数

的单调区间，以及在每一单调区间上，

是增函数还是减函数。

〖师生活动〗：

教师直接提问，学生独立思考并回答。

[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。

其中的单调区间有在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；在[－2，1），[3，5）上是增函数。

强调单调区间的写法：

问题6：

可否写成[－5，－2）u[－2，1）？

问题7：

写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？

多媒体展示构造反例说明：

（1）单调区间一般不能求并集；

（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。

〖设计意图〗心理学认为概念一旦形成，必须及时加以巩固，设计通过直观图象加深学生对函数单调性等概念的理解。

三、辨析概念，强化理解

探究问题5：

判断题：

①．

②若函数

③若函数在区间和（2,3）上均为增函数，则函数．在区间（1,3）上为增函数．④因为函数f（x）=1/x在区间

上是减函数.上都是减函数，所以f（x）=1/x在

〖师生活动〗学生独立探究，合作交流得到正确结论。

〖设计意图〗通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解。

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），

【篇二：

函数的单调性教学设计】

函数的单调性教学设计

江苏省苏州第十中学吴锷

【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

【教学目标】

知识与技能：

1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。

2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。

过程与方法：

1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。

2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。

情感与态度：

1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。

【重点难点】

重点：

函数单调性概念的理解及应用。

难点：

函数单调性的判定及证明。

关键：

增函数与减函数的概念的理解。

【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。

3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

【学法分析】

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。

然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。

整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。

【教学过程设计】

（一）问题情境

1．海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。

“八月十八潮，壮

观天下无”。

海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，

似一条银线，“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，

势极雄豪”。

潮起潮落，牵动了无数人的心。

如何用函数形式来表示，起和落？

2．教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：

蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。

如何用学过的函数图象来描绘这些成语？

设计意图：

创设海宁潮潮起潮落，成语→

图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们

对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

（二）温故知新

1．问题1：

观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：

随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

2．问题2：

对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？

例如：

初中研究y=x2时，我们知道，当x0时，函数值y随x的增大而减小，当x0时，函数值y随x的增大而增大。

回忆初中对函数单调性的解释：

图象呈逐渐上升趋势?

数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势?

数值y随x的增大而减小。

函数这种性质称为函数的单调性。

设计意图：

学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：

一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。

对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

（三）建构概念

问题3：

如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？

对于区间i内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）。

单调增函数的定义：

问题4：

如何定义单调减函数呢？

可以通过类比的方法由学生给出。

设计意图：

通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。

让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。

问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

（四）理解概念

1．顾名思义，对“单调”两字加深理解

汉语大词典对“单调”的解释是：

简单、重复而没有变化。

2．呼应引入，解决问题情境中的问题

如：

y=2x+1的单调增区间是（-∞,+∞）；y=

3．单调性是函数的“局部”性质

如：

函数y=

上减函数？

引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x1=-1,x2=1在（0,+∞）上是减函数。

x11在（0,+∞）和（-∞,0）上都是减函数，能否说y=在定义域（-∞,0）（0,+∞）上xx1）。

2

设计意图：

学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。

在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。

（五）运用概念

通过两例，教师要向学生说明：

1．判断函数单调性的主要方法：

①观察法：

画出函数图象来观察；②定义法：

严格按照定义进行验证；③分解法：

对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。

2．概括出证明函数单调性的一般步骤：

取值→作差→变形→定号。

练习：

作出函数y=|x-1|-1、y=|x2-1|的图象，写出他们的单调区间。

设计意图：

单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。

（六）回顾总结

本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用

（1）图象法；

（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。

【教学反思】

1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。

问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。

这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．给出函数单调性的数学语言。

通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。

4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。

函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。

6．教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。

通过对“函数单调性”教学设计，我对“为学习设计教学”有了更深的理解。

如果把教学看作是教师带领学生一起去远足，那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础，确定一个合情合理的教学起点；目标导向这是要教师分析预期达到的教学效果，即远足所期望到达的目的地，这是教学的根本和核心任务，是教学设计的关键；知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况，从而决定前进的方法和策略；问题设计则好比是设计行程，恰当安排可以指引师生高效地向着目的地前行。

本节课就是通过这样的设计思想来安排教学设计的。

【篇三：

函数的单调性教案（优秀）】

课题：

函数的单调性

授课教师：

王青

【教学目标】

1.知识与技能：

使学生从形与数两方面理解函数的单调性概念，初步掌握利用

函数图象和单调性定义判断、证明函数的单调性的方法，了解函数单调区间的概念。

2.过程与方法：

通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，

培养学生的观察、归纳、抽象思维能力。

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．

【使用教具】多媒体教学

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

1、下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．

问题：

（1）当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

（3）哪些时段温度升高？

哪些时段温度降低？

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

归纳：

用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是系统地学习这块内容.

1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数y=x+1，y=-x+1，f（x）=x2的图象，并且思考

（1）函数y=x+1的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上f（x）

的值随x的增大而_______

（2）函数y=-x+1的图象从左至右是上升还是下降，在区间_____上

f（x）的值随x的增大而_______

（3）

（4）函数f（x）=x2在区间_____上，f（x）的值随x的增大而增大函数f（x）=x2在区间_____上，f（x）的值随x的增大而减小

〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．

2．抽象思维，形成概念

问题：

你能用数学符号语言描述第（3）（4）题吗？

任取x1,x2∈[0,+∞）,且x1x2,因为x1-x2=（x1+x2）（x1-x2）0,即22

x1x2，所以f（x1）f（x2）22

0）任意的x1，x2∈（-∞，，x1x2,则f（x1）f（x2）

0）任意的x1，x2∈（-∞，，x1x2,则f（x1）f（x2）

师生共同探究，得出增函数和减函数的定义：

增函数定义：

如果函数y=f（x）在数集i上满足：

随着自变量x的增大，因变量y也增大，那么称y=f（x）在数集i上单调增，也称y=f（x）在数集i上是增函数

数学语言描述：

如果函数y=f（x）在数集i上满足：

对于任意的x1，x2∈i,当x1x2时，f（x1）f（x2），则称y=f（x）在数集i上单调增，也称y=f（x）在数集i上是增函数。

同学们根据增函数的定义给出减函数的定义

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.

判断题：

①若函数f（x）满足f

（2）f（3）,则函数f（x）在区间[2，3]上为增函数．

通过判断题，强调三点：

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域（如一次函数），可以是定义域内某个区间（如二次函数），也可以根本不单调（如常函数）．

③函数的单调性就是函数的增减性

〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

有了函数的单调性这一概念就有如下概念：

①如果函数y=f（x）在某区间上是增函数，就称该区间为函数y=f（x）的单调增区间。

②如果函数y=f（x）在某区间上是减函数，就称该区间为函数y=f（x）的单调减区间。

练一练

下图为函数f（x）的图像，找出它的单调区间以及在每个区间上f（x）是增函数还是减函数。

三、掌握证法，适当延展

例1、证明函数f（x）=7x+2在r上是增函数．

1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：

任取,x设元1,x2∈r,且x1x2

f（x1）-f（x2）=（7x1+2）-（7x2+2）

求差

（x1-）变形=7x2

∴x1-x20

2在（2,+∞）上是增函数．xx1x2,断号∴f（x1）-f（x2）0,即f（x1）f（x2）,定论∴函数f（x）=x+

2．归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：

设元、作差、变形、断号、定论．

1练习：

证明函数f（x）=在[0,+∞）上是增函数．x

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

（1）函数单调性的定义

（2）证明函数单调性的步骤：

设元、作差、变形、断号、定论．

2．作业

书面作业：

《学习指导用书》p53-p54