第四章圆的方程Word文件下载.docx

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与y轴相切

（x－a）2＋（y－b）2＝a2（a≠0）

点与圆的位置关系

爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜，如图A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：

点与圆的位置关系有几种？

三种．点在圆外、圆上、圆内．

如何判断他们的胜负？

利用点与圆心的距离．

圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，圆心A（a，b），半径为r.设所给点为M（x0，y0），则

位置关系

判断方法

几何法

代数法

点在圆上

│MA│＝r⇔点M在圆A上

点M（x0，y0）在圆上⇔（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2

点在圆内

│MA│<

r⇔点M在圆A内

点M（x0，y0）在圆内⇔（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2

点在圆外

│MA│>

r⇔点M在圆A外

点M（x0，y0）在圆外⇔（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2

1．点与圆的位置关系有三种：

点在圆内，点在圆上，点在圆外．

2．判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法．

求圆的标准方程

[例1]　过点A（1，－1），B（－1,1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（　　）

A．（x－3）2＋（y＋1）2＝4

B．（x＋3）2＋（y－1）2＝4

C．（x－1）2＋（y－1）2＝4

D．（x＋1）2＋（y＋1）2＝4

[解析]　法一：

设所求圆的标准方程为

（x－a）2＋（y－b）2＝r2，

由已知条件知

解此方程组，得

故所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4.

法二：

设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，

∴可设点C的坐标为（a,2－a）．

又∵该圆经过A，B两点，

∴|CA|＝|CB|.

∴

＝，

解得a＝1.

∴圆心坐标为C（1,1），半径长r＝|CA|＝2.

法三：

由已知可得线段AB的中点坐标为（0,0），kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·

（x－0），即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，

由得

即圆心为（1,1），圆的半径为＝

2，

[答案]　C

[类题通法]

确定圆的标准方程就是设法确定圆心C（a，b）及半径r，其求解的方法：

一是待定系数法，如解法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；

二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如解法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．

[活学活用]

1．求下列圆的标准方程：

（1）圆心是（4，－1），且过点（5,2）；

（2）圆心在y轴上，半径长为5，且过点（3，－4）；

（3）求过两点C（－1,1）和D（1,3），圆心在x轴上的圆的标准方程．

解：

（1）圆的半径长r＝＝，

故圆的标准方程为（x－4）2＋（y＋1）2＝10.

（2）设圆心为C（0，b），则（3－0）2＋（－4－b）2＝52，

解得b＝0或b＝－8，则圆心为（0,0）或（0，－8）．

又∵半径r＝5，

∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.

（3）直线CD的斜率kCD＝＝1，

线段CD中点E的坐标为（0,2），

故线段CD的垂直平分线的方程为

y－2＝－x，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2，

即圆心为（2,0）．由两点间的距离公式，

得r＝＝.

所以所求圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝10.

[例2]　如图，已知两点P1（4,9）和P2（6,3）．

（1）求以P1P2为直径的圆的方程；

（2）试判断点M（6,9），N（3,3），Q（5,3）是在圆上，在圆内，还是在圆外．

[解]　

（1）设圆心C（a，b），半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝＝5，b＝＝6.

又由两点间的距离公式得

r＝|CP1|＝＝，

故所求圆的方程为（x－5）2＋（y－6）2＝10.

（2）由

（1）知，圆心C（5,6），则分别计算点到圆心的距离：

|CM|＝＝；

|CN|＝＝＞；

|CQ|＝＝3＜.

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．

1．判断点与圆的位置关系的方法

（1）只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；

（2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．

2．灵活运用

若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．

2．点（1,1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则a的取值范围是（　　）

A．－1＜a＜1　　　　　　　　　　B．0＜a＜1

C．a＞1或a＞－1D．a＝±

1

解析：

选A　由于点（1,1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，所以（1－a）2＋（1＋a）2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.

[典例]　已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．

[解]　法一：

如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，

∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，

|OC|＝

＝＝3.

设点C坐标为（a,0），

则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±

3.

∴所求圆的方程为（x＋3）2＋

y2＝25，或（x－3）2＋y2＝25.

由题意设所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝

25.

∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A（0,4）．代入方程得a2＋16＝25，

∴a＝±

∴所求圆的方程为（x＋3）2＋y2＝25，或（x－3）2＋y2＝25.

[易错防范]

1．若解题分析只画一种图形，而忽略两种情况，考虑问题不全面，漏掉圆心在x轴负半轴的情况而导致出错．

2．借助图形解决数学问题，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就要考虑到几何图形的各种情况．

[成功破障]

圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4），B（0，－2），则圆C的标准方程为________．

结合题意可知，圆心在直线y＝－3上，又圆心在直线2x－y－7＝0上，故圆心坐标是（2，－3），从而r2＝（2－0）2＋（－3＋2）2＝5，圆的标准方程是（x－2）2＋（y＋3）2＝5.

答案：

（x－2）2＋（y＋3）2＝5

[随堂即时演练]

1．圆（x－1）2＋（y＋）2＝1的圆心坐标是（　　）

A．（1，）　　　　　　　　　B．（－1，）

C．（1，－）D．（－1，－）

C

2．点P（m,5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　）

A．在圆外B．在圆内

C．在圆上D．不确定

选A　∵m2＋25＞24，

∴点P在圆外．

3．若点P（－1，）在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.

∵P点在圆x2＋y2＝m2上，

∴（－1）2＋（）2＝4＝m2，

∴m＝±

2.

±

2

4．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．

圆心是（－2,0），半径是2，所以圆的方程是（x＋2）2＋y2＝4.

（x＋2）2＋y2＝4

5．求以A（2,2），B（5,3），C（3，－1）为顶点的三角形的外接圆的方程．

设所求圆的方程是

（x－a）2＋（y－b）2＝r2.

将点A（2,2），B（5,3），C（3，－1）代入上式得

所以，△ABC的外接圆方程是（x－4）2＋（y－1）2＝5.

[课时达标检测]

一、选择题

1．已知点P（3,2）和圆的方程（x－2）2＋（y－3）2＝4，则它们的位置关系为（　　）

A．在圆心B．在圆上

C．在圆内D．在圆外

选C　∵（3－2）2＋（2－3）2＝2＜4，

∴点P在圆内．

2．圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心、半径是（　　）

A．（1，－2），4B．（1，－2），2

C．（－1,2），4D．（－1,2），2

D

3．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的方程为（　　）

A．x2＋（y－2）2＝1B．x2＋（y＋2）2＝1

C．（x－1）2＋（y－3）2＝1D．x2＋（y－3）2＝1

选A　法一（直接法）：

设圆心坐标为（0，b），则由题意知

＝1，解得b＝2，

故圆的方程为x2＋（y－2）2＝1.

法二（数形结合法）：

根据点（1,2）到圆心的距离为1，易知圆心为（0,2），故圆的方程为x2＋（y－2）2＝1.

法三（验证法）：

将点（1,2）代入四个选择项，排除B、D，又由于圆心在y轴上，排除C，选A.

4．（2012·

福建六校联考）以两点A（－3，－1）和B（5,5）为直径端点的圆的方程是（　　）

A．（x－1）2＋（y－2）2＝10

B．（x－1）2＋（y－2）2＝100

C．（x－1）2＋（y－2）2＝5

D．（x－1）2＋（y－2）2＝25

选D　圆心坐标为（1,2），半径r＝＝5，故所求圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25.

5．当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为（　　）

A．（x－1）2＋（y＋2）2＝5B．（x＋1）2＋（y＋2）2＝5

C．（x＋1）2＋（y－2）2＝5D．（x－1）2＋（y－2）2＝5

选C　直线方程变为（x＋1）a－x－y＋1＝0.

由得，∴C（－1,2），∴所求圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5.

二、填空题

6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．

由可得x＝2，y＝4，即圆心为（2,4），从而r＝＝2，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y－4）2＝20.

（x－2）2＋（y－4）2＝20

7．（2012·

嘉兴高一检测）点（5＋1，）在圆（x－1）2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．

由于点在圆的内部，所以（5＋1－1）2＋（）2＜26，

即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.

0≤a＜1

8．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是________．

如图所示，设圆心C（a,0），则圆心C到直线x＋2y＝0的距离为＝，解得a＝－5，a＝5（舍去），

∴圆心是（－5,0）．故圆的方程是（x＋5）2＋y2＝5.

（x＋5）2＋y2＝5

三、解答题

9．求经过A（－1,4），B（3,2）两点且圆心在y轴上的圆的方程．

法一：

设圆心坐标为（a，b）．

∵圆心在y轴上，∴a＝0.

设圆的标准方程为x2＋（y－b）2＝r2.

∵该圆过A，B两点，

∴解得

∴所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10.

∵线段AB的中点坐标为（1,3），kAB＝＝－，

∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2（x－1），即y＝2x＋1.

由解得∴点（0,1）为所求圆的圆心．

由两点间的距离公式，得圆的半径r＝，

10．求过点A（1,2）和B（1,10）且与直线x－2y－1＝0相切的圆的方程．

圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为（a,6），半径为r，则圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝r2.将点（1,10）代入得（1－a）2＋（10－6）2＝r2，①

而r＝，

代入①，得（a－1）2＋16＝，

解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4.

故所求圆为（x－3）2＋（y－6）2＝20，或（x＋7）2＋（y－6）2＝80.

4．1.2　圆的一般方程

已知圆心（2,3），半径为2.

写出圆的标准方程．

（x－2）2＋（y－3）2＝4.

上述方程能否化为二元二次方程的形式？

可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.

方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？

配方化为（x－2）2＋（y－3）2＝0，不表示圆．

问题4：

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？

不一定．

（1）圆的一般方程的概念：

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．

（2）圆的一般方程对应的圆心和半径：

圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为（－，－），半径长为.

1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：

（1）x2、y2的系数相等且不为0；

（2）没有xy项．

2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：

方程

图形

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

D2＋E2－4F<

不表示任何图形

D2＋E2－4F＝0

表示一个点（－，－）

D2＋E2－4F>

表示以（－，－）为圆心，以为半径的圆

圆的一般方程的概念辨析

[例1]　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，

求

（1）实数m的取值范围；

（2）圆心坐标和半径．

[解]　

（1）据题意知

D2＋E2－4F＝（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0，

即4m2＋4－4m2－20m＞0，

解得m＜，

故m的取值范围为（－∞，）．

（2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m，

故圆心坐标为（－m,1），半径r＝.

形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：

①由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．

1．下列方程各表示什么图形？

若表示圆，求其圆心和半径．

（1）x2＋y2＋x＋1＝0；

（2）x2＋y2＋2ax＋a2＝0（a≠0）；

（3）2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0（a≠0）．

（1）∵D＝1，E＝0，F＝1，

∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，

∴方程

（1）不表示任何图形．

（2）∵D＝2a，E＝0，F＝a2，

∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，

∴方程表示点（－a,0）．

（3）两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，

D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，

∴方程（3）表示圆，它的圆心为（－，），

半径r＝＝|a|.

圆的一般方程的求法

[例2]　已知△ABC的三个顶点为A（1,4），B（－2,3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．

设△ABC的外接圆方程为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∵A，B，C在圆上，

∴∴

∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，

即（x－1）2＋（y＋1）2＝25.

∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5.

∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，

∴kAB·

kAC＝－1，∴AB⊥AC.

∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，

∴外心是线段BC的中点，

坐标为（1，－1），r＝|BC|＝5.

∴外接圆方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝25.

应用待定系数法求圆的方程时：

（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.

（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.

2．求经过点A（－2，－4）且与直线x＋3y－26＝0相切于点B（8,6）的圆的方程．

设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则圆心坐标为.

∵圆与x＋3y－26＝0相切，∴·

＝－1，即E－3D－36＝0.①∵（－2，－4），（8,6）在圆上，

∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0.③联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.

代入法求轨迹方程

[例3]　已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．

[解]　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系（如图），则A（－2,0），B（2,0），设C（x，y），BC中点D（x0，y0）．

∴　①

∵|AD|＝3，∴（x0＋2）2＋y＝9.　②

将①代入②，整理得（x＋6）2＋y2＝36.

∵点C不能在x轴上，∴y≠0.

综上，点C的轨迹是以（－6,0）为圆心，6为半径的圆，去掉（－12,0）和（0,0）两点．

轨迹方程为（x＋6）2＋y2＝36（y≠0）．

用代入法求轨迹方程的一般步骤

3．（2013·

嘉峪关高一检测）过点A（8,0）的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________________．

设点P的坐标为（x，y），点B为（x1，y1），由题意，结合中点坐标公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故（2x－8）2＋（2y）2＝4，化简得（x－4）2＋y2＝1，即为所求．

（x－4）2＋y2＝1

[典例]　（12分）已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A（1,2）的圆的弦的中点P的轨迹．

[解题流程]

画出图形，结合圆的弦的中点的性质，由AP⊥OP建立关系求解．

设动点P的坐标（x，y）―→由AP⊥OP―→讨论AP垂直于x轴情形―→列kAP·

kOP＝－1的关系式―→检验―→得出结论

[规范解答]

设动点P的坐标为（x，y），根据题意可知AP⊥OP.（2分）

当AP垂直于x轴时，P的坐标为（1,0），此时x＝1；

（3分）

当x＝0时，y＝0；

（4分）

当x≠0，且x≠1时，有kAP·

kOP＝－1，（5分）

∵kAP＝，kOP＝，（6分）

∴·

＝－1，即x2＋y2－x－2y＝0（x≠0，且x≠1）．（8分）

经检验，点（1,0），（0,0）适合上式．（10分）

综上所述，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．（12分）

　　　　　　　　　　　[名师批注]

AP垂直于x轴时及x＝0时容易漏掉.　

检验步骤不可少

一动点M到点A（－4,0）的距离是到点B（2,0）的距离的2倍，求动点的轨迹．

设动点M的坐标为（x，y），

则|MA|＝2|MB|，

即＝2，

整理得x2＋y2－8x＝0，即所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.

1．（2011·

四川高考）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是（　　）

A．（2,3）　　　　　　　　　B．（－2,3）

C．（－2，－3）D．（2，－3）

选D　圆的方程化为（x－2）2＋（y＋3）2＝13，圆心（2，－3），选D.

2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（3，＋∞）

C．（－∞，－1）∪（3，＋∞）D．（－，＋∞）

选A　方程可化为：

（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>

0，即k<

－1时才能表示圆．

3．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C（2,2），半径为2的圆，则a＝________，b＝________，c＝________.

∵∴

－2,4,4

4．设A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．

设P（x，y）是轨迹上任一点，

圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为B（1,0），

则|PA|2＋1＝|PB|2，

∴（x－1）2＋y2＝2.

（x－1）2＋y2＝2

5．求过点（－1,1），且圆心与已知圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心相同的圆的方程．

设所求的圆的方程为：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圆x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圆心为（3,4），依题意得

解此方程组，可得

∴所求圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.

安徽高考）若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为（　　）

A．－1　　B．1

C．3　　D．－3

选B　∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为（－1,2），

∴3x＋y＋a过点（－1,2），

即－3＋2＋a＝0，

∴a＝1.

2．已知动点M到点（8,0）的距离等于点M到点（2,0）的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是（　　）

A．x2＋y2＝32

B．x2＋y2＝16

C．（x－1）2＋y2＝16

D．x2＋（y－1）2＝16

选B　设