常微分方程考研复试真题及答案.docx

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常微分方程考研复试真题及答案

2•指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非裁It方程,并说明卑由；

d）t2^4+t—+（t2-i）u=o

drdt

（2）—=x2+y2;

ax

⑶賓牛0

dxQ

3•求曲线肢pCe'+CMe*所満足的徹分方椁

4.验证函数是微分方f?

y'-4y=0解，逍一步验jj［它是通解。

5•试用一阶撤分方程形氏不变11来解方«—=2x

ax

6•什么叫枳分一个徹分方程?

7•什么是求解常微分方样的初等枳分法？

8・分离变量一阶方程的特征是什么?

9.来下列方程的通解

diy=sinx

（2ix2y2y+1=y

.dy

（3itgx—=1+y

dx

f/v

（4i—=exp（2x-y）

dx

dy_yI

⑸~dx--厂

（6）x2ydx=（1-y2+x-2x2y2）dx

（7）（x2+1）（y2-1）dx+xydy=O

10.®述齐次函数的定义

11.试给岀一阶方f?

y=f（x.y）或p（x,y）dx+q（x,y）dy=0为齐次方程的計征。

说明二个方相

的关系。

12.求解齐次方相通常用什么初等变换，新IF1函数导釵关系如何？

13.求解下列方f?

—=

dxx・_y・

14.求解下列方程

（1）（x+2y）dx—xdy=O

⑵T=-V

dxx2y

15.学斗

dxQ+

16（x2+y2）dx—2xydy=0

17dy二2y_x_4

dx2x-y+5

1819

9-将（2兀一4尹+6）必+〔兀+尸一茅旳=0化为齐次方程。

10.求解/（A+y+1）

2027

1.求下列方程通解（或通积分）

（1）解$垃总-co$&$ing>d狞=0・

C2）解sec2i9Jgg>^g>+sec2（pig9d6=0.

（3）解字=0十尸）\

ax

C4）解2y\x^-y\=-y^ctgx

2-求解方程/+/+x2｝；-x=0;

3.求解方程p-'y=x©；

4.求解方程”=b-F-1

5.求方程y=2a满足条件

6.解方程”十尹理卫=卩（力竺凹@0）是兀的已知可微函数）。

dxax

7•试证明；凡具有通解为尹=申（和+呎竹对/求导得

字=恥）+肖®

dx

8.若已知方程的两个特舛尹15）J2（力试证明它的通娠就可以由一次可积而得

2837

1.写出下列曲线的软方程

⑵=£（u>0）.

（3）u=2p2+1.

芒0*）2

2.求解方程「士二=1・

a2b2

3.求方程M十孵=1的通解。

4-求方程0*尸=y的通解。

5-求方程兔二0*）2+1的通琳。

6.0-尸=0

7-〃（1十护）=1。

2.*-2）=1。

9-”2_2妙二尹20一1）.

10.y=ln（1十#2）

3844

自测题

1.什么是方程的奇解。

2.叙述去-判别曲线的概念。

3.叙述单参数曲线族的包络。

4.简述徴分方程的&-判别曲线。

5-求方程^-y=-（y）2-^=W3

q27

（1）目一判别曲线

（2）求方程的通解

（3）求方程的奇解

6.求方程（y'）2=y的通解尿-判別曲线

7.求下列方程的奇解

（1）9册2+4=0；

⑵8^*3=27y3

⑶厂列一屮；

（4）y=xy-smy

（5）讨论”=——5奇解

y

（6）求y=xy*+y2,当x=29y=-1的解。

自测题

1.一阶线性齐次方程积分曲线的特点是什么？

2.一阶齐次方程几何特征6

3.

（1）什么是等角轨线？

（2）什么是正交轨线？

4•试证xy=-y=上相互正交。

，试找出相互正交的曲线族。

（1）^=a/x2；

（2）尹=/兀+4；（3）»=2兀+方；

（4妙=CX2-（5）72=E；（6）x24-^2+cy=0

5056

自澳區

1.叙述微分方罰的几何意义与微分方程几何特征的关系。

2.方程不可积，求积分曲线在这（和沟）址-切线的斜率。

3.求方程过点（帀,儿）的积分曲线切线方程。

4.求下列方程过已矢嗚积分曲线的切线方程。

（1）字=宀只（0,-1）

（b0）

（1,1）

ax

二

y+x

22

=x+y

X

=入+—，

5・什么叫等倾线。

6.手工作近似线素场的步骤。

7.作

dy

dx

十，的近似线耒场。

5762

自测題

1.常微分方程离散化根据的思想。

2.简述欧拉折线法的意义。

3.简单叙欧拉折线的作法。

4.在一个小区间内估计过点P/心,沁的斜率。

绘草图说明。

5.设X>）是初值问题

字=1+3_护灿起

自豳2

1.判断方程空=「城在因域；

df：

（1）0<・

xx

（2）应才一1W/W1,—一WpW-

24尸4

上是否满足定理的条件。

2.判断下列方程在什么区域上解存在性_?

（1〕字―"；⑵字=x+siny：

⑶叟=戏22

3.证明/D=|^|在（0,0）处不可微。

4.讨论函数/0,为=厲二宁是否满足L农-条件。

5.讨论了（儿刃二:

11y=0是否满足Lip_条件。

6.给出积分方程及解的定义。

6971

自测题：

1・证明序列11T.2）；｛卩”仗）｝/=0,1,2,…一致收飲等价干级数

70+（希-九J（竹）一致收敛。

»=1

2.求下列初值间题一、二次近似。

旳-.2

（1）（

（2）<

〔3「

k-y

卜

（1）=1・

W）=0-

J（T）=Q・

3.对初值间题彳dx儿

W）=i・

（1）求第刃次近似序列；

（2）左任何有限区间［~M,M］上一致收敛;

（3）求初值问题的解。

7281

（18.6）

给初值问题

1.证明〔18.6）等价于积分方程卩㈤=1十必一y（s）&；

2.求毕卡近似序列；

3.验证儿⑴在|时幺+上有定义；

4.证明九致收敛；

5・证明该初值问题解存在星

6・证明该初值问题解唯一星

7.求初值问题字=1十戸,y（l）=l的儿（讹2（力，并绘出九,}W2的图。

悴2）

8.将3题中灯九卩2绘在一张图上比较。

沢将务山哄1中）wg绘往-张图匕

10・估计第2题中毕卡序列与精确辭之间的误差。

8287

自测题

1•试用逐次逼近法求初值间题

仏

WQ）=o

的近似解00何妙1（◎®2（力和卩3何•

2试证明定理2.1中的H次近似函数儿（乳泻猜确解©（R有如下的误差估计式；

-呻）卜一勺严.（19-6）

3.设f（xry）在整个平面上连续有界，对卩有酸偏导数，证明方程豊=JXZ的任意解丁二©CO在一3

4•讨论方程字=疋二分别过（0,。

）和（曲,-3）的解的存在区间。

ax2

5*.证明：

对于任意的九及满足0

妙二丸yT）

v必_1"*2

丿（心）=凡

的琳丿=卩（无）在（-CO,4OT）上存在。

6.求下列初值间题解的存在区间

（1）[务诚2）|*2,|『|畝

坎0）二0

访-

、—=sinxcQsy冃斗人十士

（2）0，刃是整个平面。

.巩0）二0

（3）懐F+”-sin（x*）|%1,|划丸

[xo）=o

8892

自测电

1.给出任意绘狄里赫勒公式

2.用数学归纳法证明C20.5）

2•设F是齐次函数，则方程F（兀只”,"'）=0,可降阶

4.将（y^-y11?

4^o降阶；

5.将方程”乜少）仃6=0降阶。

9394

自测範

1•讨论下列函数组在其定丈区间内是线性相关还是线性无关：

（1）smx,l;

（2）f+5/-5;（3）丄，\；（4）x,ln

（j）訂,0;（6）sin2cos2/.

2.求第1题中各函数对的朗斯行列式。

9597

自测題

1.试证①下列函数组是线性无关的；②并迭而求出这些函数组基本琳组的二阶线性齐次方程#

（1）"+x+3,汽

（2）G为不等于零的常数h

□v力3V

（3）X,X0；（4）lnx^lnxj^—;（5）r-l,re；

lnJx

2.设微分方程7，，+-y*-^Wy=0有两个特解门⑵和72W，且丹卩2=1，

（1）求

r

此方程中的

（2）并求方程的通解。

3.7?

yl-yyl^y=0,已知一个解^i=r.

98-100

目测題：

1.试证①下列函数组是线性无关；②求出这些函数组为基本解组的二阶线性齐次方程。

（2）

〔4）

1&2

1

X2

Qx3

（1）x,e3-x[ye3

1（处十3户

（3）-（%为常数）;

££

（"r^cos^r^sin^.

2.已知二阶齐次线性微分方程

（卫（或談力为连续函数）

怜一个非寻:

特解©（力试利用变换汁如3求出该方程的通解表达式。

3.h十砂乜二0,.己知-解”W，求出该方程的通解表达式。

101105

自测题

1-己知=Tfcosx是；/十歹=-2stn入的解，72=^-^ya^y=2cosa的解,

验证A=+勺升是才+丁=2©cosa-巧sinX）的解°

2・茨解方程=sinx-cos2^.

3.求方程Z+y=6^+l通解。

4.求方程yn+y=a^^b的通解，仆常数。

5.求方程yn-y=^^b的通解。

6.茨下列方程特解：

⑴心"-（2x+1"+（x+l）y=（Fi-1）严;

（2）k-5y（+4j=x2;

⑶x2y,*+4Tyr+2y=o”,4）x（1-x）2^*=2）/;（5）y'vsm2x+血xcosx=y°

106113

自测题

1.农方程0的通解。

2.对上题的解，当兀T+O3时，求极限。

3.茨下列方程的通解

f-2尸0.

а.y*+j7=0.

5.”十6”十13y=0.

б.”-2y'A-y=0.

7・求解才一4”十。

二0.

8.证明本单元所列出常系数线性齐次方程的性质。

114122

自测题：

1-求解ax+by.

2・卩1」4y'+4y=x2.

3.y"-^2y=M1@孝0）.

4.2”+”-y=20.

5.解yll+y'-6y=^.

6.解y''+<^2y=/W->0）

7.解y'l-2y^y=-&K.

8•y''-7y'-^6y-sinx.

9.y''-y'=^sin2x;

2

（1）未知因数u的导数最高阶为2,u,u,u均为一次，所以它是二阶裁11方桿。

（2）为y最高阶导数力1,而y2力二次，故它是一阶非线性常微分方桿。

（3）果y是未知因数，它是一阶找性方程；如果稱x看着未知因数，它是一阶菲线11方程。

3•探示：

所满足的方程为y-2y+y=0

4.宜接代人方程，并计算Jacobifi列式。

5.方程变形为dy=2xdx=d（x2）,ily=x2+C

6.甜分方桿求解时，都与一定的枳分运算曲JR系。

因此，把求解一个微分方程的过椁林为一个倫分方杈。

撤分方杈的解Q称为（一个）枳分。

7.把甜分方样的通解用初等函数或通过它m的枳分来表达的方法。

注意如果通解能IH结为初等函数的枳分表a,isi2f枳分如果不能用初等因数表示岀来，我hi也从为求解了迪个微分方椁，因为这个it子里没有未知函数的导数或槪分。

8.y=f（x,y）主要特征是f（x,y）能分解力两彳、因貳的桌枳，具中一个因衣仅含有x,另一

因式仅含y,而方程p（x,y）dx+q（x,y）dy=0是可分离变量方程的主要特征,就像f（x,y）—样,P.qft别那能分解成两个因氏和乘枳。

9

（1）枳分得x=-cosx+c

（2）將方程变初灯d*1血或盲哼，当心沖卵卅

—+y+ln|y—1|+—=c

（3）方桿变形为—=—dx,当yH・1,sinxH0时枳分得1+ysinx

y=Csinx-1

（4）方程变形为exp（y）dy=exp（2x）dx,枳分得

exp（y）=-exp（2x）+C

2

（5）当y工±1时，求得通ffi^lnl—|=x+c

卜+11

£1—

（6）方杈化为x2ydx=（1-y2）（1+x2）dx或—^―rdx=一dy,枳分得

1+jry

x-arctgx-Iny|+-y2=C

（7）当x（八一1）工0时，方f?

变形得

+1ydycdx+-t—=0

xy2-1

两址枳分并化简得y2=1+Sexp（-x'）10•二元因数f（x,y）®足f（rx,ry）二严f（x,y）』・>0,J|ftf（x,y）为m次齐次函数°m=0剧称它为0次齐次函数。

11・如果f（xy）是0次齐次因数,Iy=f（x,y）8Ji齐次方椁。

如果P（x,y）和q（x,y）同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。

=・竺丄2三f（x.y）,由p,q为m次齐次函数推illf（x,y）为0次齐次函数故（lxq仇y）

y=f（x,y）为齐次方程。

12.求解齐次方椁经常用变换y=zx.用因数乘枳导数的公氏得

dydz,

—=x—+z

dxdx

13.迪是齐次方程。

令y=zx,罕二x^+z,将方棺化为

dxax

Z+X—=丄r，并即X—=二1分离变量得（―1必=_竺枳分得dx1一旷dx1-Z"z（zr+1）x

ln|n|+ln（z+2）-ln|z|=ln|C|,或=Cfflz=y\x代人得原来的变量。

x2+y2=Cy.

z

注意y=o方程的解。

14.

（1）当xhO时，方gftft—=1+2-令y=ux,则原方程化为x—=1+u,当1+uhOdxxdx

时，可分离变量得u+1=cx:

;通解为y=cx2+x

（2）作变换y=uxjl|®方程化为2udu=^Tgu2=ln|x|+C,代回原变量，得通枳分:

y2=x2（ln|x|+C）

15.IS是齐次方程。

令戶zx原方程化为

・上二dx竺两边枳分得丄・ln|z|=ln|cx|

Z?

X1Z2

用z=t代人得

2v一u

2u一v

就为齐次方程,

令战，经简单讪話芒晋,讪占存C

X

原方样通枳分为y=x+c（x+y+1）+3

-19

18-

9.方程变形为字=±±鱼二仝它的分子、分母两条直线交点为（1,2）

axx+，-2

x=m+1dv-2^+4v

作变换4、干是得到—=,它己经是齐次方程。

y=y+2dllU+V

10.令z=入十歹十1，则竺=1+—?

干是—=1+/（Z）?

dxdxdx

只妾1+了⑵丸，可分离变童得x二L巳+C・

」1十了

（2）

2027

答案:

1.⑴分离变量，得竺^朋二竺里伽.

COS&cos（p

两边积分，彳早-lncos&二-Incos

・

孚松+卑込Q

sec/9?

sec^9

sec少sec&

Jsin#cosg^g>+Jsin&cos&7&=“.

1.21.2_

-sinw+-sin0=C\

22

nn

sin9>+sin8=2cj=c.

（3）变量分离方程，设x+^=u,对乳求导数有1+”=豉，所以y'w'-l,

把上面两式代入所给的方程，得1=1?

.

空41.

（A

~耳_£

/+1

两边积分,

下面是通积分：

arctgu=x+c,或mg（x+c）,

通解为勿4尹=2呂（兀+0—兀

两边积分，得

变形

积分得

所以

所以

XP

-y

rxx2i

—=

-1+

y_

IJ

x2

@）两边同除咲得2

注意到

故设—=^•经变换后'得2u—=（1+u2）cigx.>xdx.

对它分离变童，得丄亍迦=少如

1+u2‘

两边积分弓得ln（l+w2）=lnsinx+ln£：

，

所以1+u2=tsinx?

通积分为a2+y2=C7?

sinx.

z十丄得贝努里方程

x

2•此方程为黎卡梶方程，『=丄是它的一解，令『=

x

2

z'+（A2+—）z十Z2=0

令"'得线性方程

u*-（x2+-）u=l

所以

u=e

d7.

Jr

=r2eT

“4严矗

X2

从而原方程的通积分为

2•此方程为贝播里方程,

4•此方程为黎卡提方程,

再令仅=£，得线性方程

xeT（xy-l）^c4-J-^-e_T*c/A-1.

Ldz2A

令z=]y＞得线性方程—--z=-从而原方程的解为

axx厶

y=X4（c+|h|x|）2.

y=为一解,令y=z-x,得贝努里方程n牛2&=z

1

夕-2価］

5・由得通解y=a2+c＞由

=2、即

du

—-2xw=-1

所以

从而原方程的通积分为

£（x2+c）dx=2>得^=亍,

从而定解问题的蚪为

25

y“+亍

6•此方程为线性方程,

从而方程的通解为

丸一炉（力［£+#（"律）-諮刃］

=十少⑴一1.

7.证明；由y=c^x）十如知。

=口也，将此代入上方程，吩）

得尹二。

炭劝十讥兀）所满足的微分方程

空七叫3十心）

dx於）

它是线性方程戈由线性非齐次方程的表达式可见，线性方程的通解形如尹=吶）琢小证毕。

8•证明：

对Riccaii方程

”+月（和+今（Mb=/（R

作变换龙=—1—,得线性非齐次方程

y-yiM

字-[2g（R儿0）+p（x）]u=-处）.

ax

而一是上面方程的一个解，由线性非齐次方程的通解等干其一特娠与对应齐次主程通解

旳0）—》1（劝

之和知，对黎卡提方程的通解，此时只须由一次求积得出线性齐次方程

〒一[2$（力儿（兀）+p（^]u=0

d.x

的通解[或通积分〕即可。

证毕。

2837

•O十ErI

寸•宅号=啥紂-IHKS^n^^JMxj^q令・「二=、丫負丄蒼"计“勺剖£品■「剖<二<"2&

FSQO述HfO+J—UH

'3目q

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■u

+

+

E7

&寸IE

6.由施得y'=±y,这是两个线性齐次帯寻齢之严.

7.由方程得

当为H±18^分离超禾只分彳寻=x+C,

即y2+（x+c）2=1.

显然尹=±1也是原方程的解。

8.

a=—十In尹・

1,

x二—4-Inp.

P

丄__丄空+丄空pp2dypdydy=（\-丄）如

方程变形为

令尹'二p,则

两端对7求导

y=/?

-Inp十U・

1,

x=—+lnp,

4P

y=t>-Int>+C.

积分得

参数形式通解为

9.方程变形为°T）2="/，即y'=y（l土巧.通解为

y=（也习必=c-ezp（x±

10.令y=pp则y=ln（l+』2）对x求导2=上务笔•或-^--=^.

1+p2dx1+^2

积分得2arctgp=x+<7

参数形式通解为F警中y

U=ln（l+p）•

3844

1.方程去（兀=0的1个特解上每1点处解的惟1性被破坏，该特解就昱奇解。

2.如果丁二哄对，xsZ是方程的奇解，它必须满足如下方程组：

*（兀尹,y）=o

殆（“*'）=0由该方程组决定的曲线，謊是所谓0今||别曲线。

3.单参数曲线族①（心啓）=0的包络是这样一条曲线，它本身不包舍在这曲线族中，但过该曲线上每一点，都有曲线族中一条曲线和它在此点处相切。

a•方程尸（心必”）=o的通积分①（兀jQ=0（即积分曲线族的包络由

JG（xjc）=0

消去0而决定。

称为C-判别曲线。

5.

4消去去得两条去一判别曲线y=x；y=兀一齐°

⑵我们有（y-^）2=

（3）将卩一判别曲尹二X代入原方程z

48

左=Q,右=?

—所以丿=兀不是方程的解，更不是奇解孑另一条去别别曲线

44o,

y=A-=代入原方程，知它是解令又y=z-—上每一点，均与通解3-<7尸=仗-，2^72^7

4

的一支相切，即解的惟一性被破坏，故y=A-—是奇解。

27

6・

从

通解易求得，丁二.

4

V4

2（x-c）=0

消去c得j/=0就是所求亡-判别曲线。

它是通解的包络，即它是奇解。

7.⑴解法一、去一判别曲线

9奸+4=0

i^yp=0

此方程组无解，从而方程无奇解

解法二*令y'=p为参数，有

关干乳求导,

8dp

从而方程師通解为

A4-C=

4

y一一

得方程隐式通琳十（兀十c）2=0,

方程的—判别曲线为

y3十（兀十u）'=o

2（z+c）=0

得y=0,但y=（J不是原方程的解，从而不是原方程的奇解。

（2）卩一判别曲线

Zap3=21y

2Aap^=0

得p=o,从而有尸=0。

显见它是原方程的解，又由解2ay3=27y,即y*=-a"vys,得p=么一^亠占,即方程的通琳为ay2=（x+

2

通解ay1=（x+c）3与卩=0的交点・由

=（x+c）3

y=o

决定，为（弋,0）,在〔一°0）处，曲线今2=（“刃的切线斜率恰为s所以尸=0是微分方程的奇解。

（3）尹一判别曲线

y=5驴-护2

5x_2p=025三25o

消去参数0得y=—而y=—^2不是方程的解，从而方程无奇解。

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（少方程为克菜洛方程，奇解由

⑺方程写成”=于仗,刃时，fs=：

y从而变=一，可见当y=^9y时，刍无界。

歹二0不是方程的解，从而不可能是奇解芋

丁=立是方程的解，需进一步判断是否是奇解。

求_卩的通解，由分离变量、积分得通解対y

显见，其与》=士7相切。

从而尹=立昱奇解。

（