新人教版九年级上册数学复习资料1.doc
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第21章一元二次方程
知识点1．一元二次方程的判断标准：
（1）方程是整式方程
（2）只有一个未知数——（一元）（3）未知数的最高次数是2——（二次）
三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
1、下面关于x的方程中：
①ax2+bx+c=0；②3x2-2x=1；③x+3=；④x2-y=0；④（x+1）2=x2-1．一元二次方程的个数是.
2、若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
3、若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
4、若方程（m-1）x|m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．
知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成一元二次方程的一般形式
，
是二次项，为二次项系数，bx是一次项，为一次项系数，为常数项。
注意:
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号
1、将一元二次方程化成一般形式为_____________，其中二次项系数=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________
知识点3．完全平方式
1、说明代数式总大于
2、已知,求的值.
3、若x2+mx+9是一个完全平方式，则m=，
若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是。
若是完全平方式，则=。
知识点4．整体运算
1、已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为
2、已知实数x满足则代数式的值为____________
知识点5．方程的解
1、已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是x=-1，则k=___．
2、求以为两根的关于x的一元二次方程。
知识点6．方程的解法⑴方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：
降次
1、直接开方解法方程
2、用配方法解方程
3、用公式法解方程
4、用因式分解法解方程
5、用十字相乘法解方程
知识点7．一元二次方程根的判别式：
1、关于的一元二次方程.求证：
方程有两个不相等的实数根
2、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
3、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是
知识点8．韦达定理
（a≠0,Δ=b2-4ac≥0）
使用的前提：
（1）不是一般式的要先化成一般式；
（2）定理成立的条件
1、已知方程的一个根为x=3,求它的另一个根及m的值。
2、已知的两根是x1,x2，利用根于系数的关系求下列各式的值
3、已知关于x的一元二次方程x2－（m+2）x+m2－2=0．
（1）当m为何值时，这个方程有两个的实数根．
（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．
知识点9．一元二次方程与实际问题
1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题（单循环问题）
4、贺卡问题（双循环问题）5、围栏问题6、几何图形（道路、做水箱）
7、增长率、折旧、降价率问题8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）
9、数字问题10、折扣问题
第22章二次函数
知识点一：
二次函数概念
一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
知识点二：
二次函数的结构特征
1、等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
2、是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
知识点三：
二次函数的基本形式（重点）
1.二次函数基本形式：
的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.的性质：
上加下减
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3.的性质：
左加右减
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4.的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
知识点四：
二次函数图象的平移（难点）
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:
向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：
向左（右）平移个单位，变成（或）
知识点五：
二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
知识点六：
二次函数图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
知识点七：
二次函数的性质（重难点）
1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
二次函数课堂练习
考点一：
二次函数的基本概念
1、下列函数：
①；②；③；④；
⑤，其中是二次函数的是_________，其中________，_______，_______
2、当=_______时，函数（为常数）是关于的二次函数
3、当m=________时，函数是关于的二次函数
4、当m=________时，函数+3x是关于的二次函数
5、若点A（2,）在函数的图像上，则A点的坐标是_______._______
6、已知二次函数当x=1时，y=-1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.
考点二：
函数的图象与性质
1、填空：
（1）抛物线的对称轴是_____（或_________），顶点坐标是________，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小，当x=_______时，该函数有最______值是______；
（2）抛物线的对称轴是_______（或_______），顶点坐标是_______，当x_______时，y随x的增大而增大，当x_____时，y随x的增大而减小，当x=_______时，该函数有最______值是_______；
2、对于函数下列说法：
①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称.其中正确的是_______.
3、抛物线y＝－x2不具有的性质是（ ）
A、开口向下 B、对称轴是y轴 C、与y轴不相交 D、最高点是原点
4、函数与的图象可能是（）
A．B．C．D．
考点三：
函数的图象与性质
1、抛物线的开口_______,对称轴是_______,顶点坐标是_______,当x_______时,y随x的增大而增大,当x_______时,y随x的增大而减小.
2、将抛物线向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为_______,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为_________,并分别写出这两个函数的顶点坐标_______、_______.
3、任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线，当k取0，时，关于这些抛物线有以下判断：
①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是_______.
4、将抛物线向上平移4个单位后，所得的抛物线是_______，当x=_______时，该抛物线有最_____（填大或小）值，是_______.
5、已知函数的图象关于y轴对称，则m＝________；
6、二次函数中，若当x取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于_______.
考点四：
函数的图象与性质
1、抛物线，顶点坐标是______,当x_______时,y随x的增大而减小，函数有
最______值.
考点五的图象与性质
1、请写出一个二次函数以（2,3）为顶点，且开口向上._____________.
2、二次函数y＝（x－1）2＋2，当x＝_______时，y有最小值.
3、函数y＝（x－1）2＋3，当x_______时，函数值y随x的增大而增大.
4、已知函数.
确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
当x=_______时，抛物线有最______值，是_______.
当x_______时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小.
考点六：
的图象和性质
1、抛物线的对称轴是_______.
2、抛物线的开口方向是________，顶点坐标是______________.
3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式______________.
4、将y＝x2－2x＋3化成y＝a（x－h）2＋k的形式，则y＝_______.
5、把二次函数的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是______________
6、抛物线与x轴交点的坐标为_________；
7、函数有最____值，最值为_______；
A、B、C、D、
考点七：
的性质
1、函数的图象是以为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为_______
2、二次函数的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是_______
3、如果抛物线与轴交于点，它的对称轴是，那么______________
4、抛物线与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为______.
5、已知二次函数的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，____0；
6、二次函数的图象如图，则直线的图象不经过第_____象限.
7、已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（）
考点七：
二次函数解析式
1、抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）,B（3,0）,C（0,1）三点，则a=_____,b=_____,c=_____.
2、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为_______.
二次函数有最小值为，当时，，它的图象的对称轴为，则函数的关系式
为______________
考点八：
二次函数与方程和不等式
1、已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是_______.
2、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第_____象限；
3、抛物线与轴交点的个数为（）
A、0B、1C、2D、以上都不对
4、二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（）
A、B、C、D、
5、与的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（）
A、0B、-1C、2D、
第23章旋转
知识点1．旋转：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
旋转三要素：
旋转中心、旋转方向、旋转角度
1、如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，回答下列问题：
（1）旋转中心为，旋转角度为度
（2）△ADD′的形状是。
2、16:
50的时候，时针和分针的夹角是度
知识点2．旋转的性质：
1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；
A
O
B
1、如图，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得到的．若点在上。
（1）求旋转角大小；
（2）判断OB与的位置关系，并说明理由。
A
C
B
2、将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是多少？
3、如图，在△中,.在同一平面内,将△绕点旋转到△的位置,使得,求的度数。
图6
4、如图6，四边形是边长为1的正方形，点、分别在边和上，是由逆时针旋转得到的图形。
（1）旋转中心是点__________；
（2）旋转角是________度，=_________度；
（2）若，求证.并求此时的周长.
5、△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与△ACQ重合，AP＝3.
（1）求△APQ的面积；
（2）判断BQ与CQ的位置关系，并说明理由。
6、如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？
并证明你的结论．
7、如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，证明①△≌△②
8、如图
（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
（1）求∠AEB的大小；
（2）如图
（2），ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
知识点3．旋转对称：
一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度（小于周角）后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。
1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过____________次旋转而得到，每一次旋转_______度．
2、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O旋转______度能与自身重合。
3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是__
知识点4．中心对称和中心对称图形
1、如图，下列4个数字有（）个是中心对称图形．
A．1B．2C．3D．4
2.下列图形中不是中心对称图形的是（）
A、①③B、②④C、②③D、①④
知识点5．作图
1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关于原点对称。
结合直角坐标系写出对称后坐标
2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）
1、已知A（-1，-1），B（-4，-3）C（-4，-1）
（1）作△A1B1C1，使它与△ABC关于原点O中心对称；
写出A1，B1，C1点坐标；
（3）将△ABC绕原点O逆时针旋转90º后得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并写出A3，B3，C3的坐标
2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
（1）请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；
（2）将
（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有条；
这个整体图形至少旋转度与自身重合
知识点6．旋转割补法
如图,四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E，若线段AE=5，求（提示：
将四边形ABCD割补为正方形）
知识点7．关于原点对称
填空：
⑴点A（－2，1）关于x轴的对称点为A′（，）；⑵点B（1，－3）与点B（1，3）关于的对称。
⑶C（－4，－2）关于y轴的对称点为C′（，）；⑷点D（5，0）关于原点的对称点为D′（，）。
第24章圆
【考点1】和圆有关的概念
（1）等弦对等圆心角（）
（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（）
（3）等弧对等弦（）（4）等弦对等弧（）（5）等弧对等圆心角（）（6）直径是圆的对称轴（）
【考点2】垂径定理及其推论
如果一条直线满足
（1）过圆心
（2）垂直弦（3）平分弦（4）平分弧（优弧和劣弧）（5）平分圆心角
知之其中两个条件可以推出三个（知二求三）特别：
当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。
（1）平分弦的直径垂直于弦.（）
（2）垂直于弦的直径平分弦.（）
1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
2、如图，⊙O中，OE⊥弦AB于E，OF⊥弦CD于F，OE=OF，
（1）求证：
AB＝CD
（2）如果AB>CD，则OEOF
3．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
4、已知△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C为圆心，CA为半径画圆交AB于点D，求AD的长
【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系：
（举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角）
1.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．求证：
=
（连接MO,NO,利用全等求证∠MOC=∠NOD,等角等弧）
2、如图15，AB、CD是⊙O的直径，DE、BF是弦，且DE=BF,求证：
∠D=∠B。
3．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，求证：
=3（连接OC、OD，外角，圆心角证弧）
4．AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：
；
（2）若，⊙O的半径为3，求BC的长．
【考点4】：
直径所对的圆90°
1.已知△ABC中，AB=AC，AB为⊙O的直径，BC交⊙O于D，求证：
点D为BC中点
【考点5】知识点（4）圆内接四边形对角互补
1、如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=40º，点P是圆上异的一动点，则∠BPC的度数是
【考点6】外接圆与内切圆相关概念
三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等；
三角形的内心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等
1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是
2、如图，已知⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。
3、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B=50°,∠C=60°，连接OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于
【考点6】与圆有关的位置关系
【考点7】切线的性质
切线性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径
4、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：
AC平分∠DAB。
【考点8】切线的证明（两种方法）
1、已知圆上一点“连半径，证垂直”
2、没告诉圆与直线有交点“作垂直，证半径”。
1、如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC于E，求证：
DE是⊙O的切线。
2、如图，AB=AC，OB=OC，AB切⊙O于D，证明⊙O与AC相切
【考点9】切线长定理切线长相等，平分切线所成的夹角。
图5
1、如图5，、是⊙的切线，点、为切点，AC是⊙的直径，，
（1）求的度数；
（2）若，求的长。
3、如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连结OC并延长OC至P点，并使PC=BC，∠BOC=60o
（1）求证：
PB是⊙O的切线。
（2）若⊙O的半径长为1，且AB、PB的长是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，求b、c的值。
4、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，是点C劣弧AB上任一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E若PA=10，求△PDE的周长
5、如图
（1）所示，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一点，以点C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F。
所示，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r。
【考点10】正多边形的计算
1、正n边形的每内角=
2、2、正n边形的中心角=
3、正n边形的外角=
4、边心距r、半径R、边长a之间的关系：
5、正n边形的周长C=na6、正n边形的面积S=nCr/2
1、如图，正五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，P是上一点，则
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