141 整式的乘法讲义 教师版.docx

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141整式的乘法讲义教师版

14.1整式的乘除

教学目标：

整式的乘除是建立在有理数的运算、运算律以及整式加减法的基础上，通过引入同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、积的乘方法则给出整式的乘除运算。

教学重难点：

教学重点：

多项式的乘除法和乘法公式

教学难点：

多项式的乘除法以及有关“数”的表示形式的教学。

学习多项式的乘除法要归结为学好单项式的乘除，而单项式的运算又要以幂的运算为基础，所以幂的运算时本章的教学关键。

知识点一：

同底数幂的乘法（重点）

（1）同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

am•an=am+n（m，n是正整数）

（2）推广：

am•an•ap=am+n+p（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：

①底数必须相同，如23与25，（a2b2）²与

（a2b2）³，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：

同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

【例题】计算（x﹣y）3•（y﹣x）=（　　）

A．（x﹣y）4B．（y﹣x）4C．﹣（x﹣y）4D．（x+y）4

【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算．

【解答】解：

（x﹣y）3•（y﹣x）

=﹣（x﹣y）3•（x﹣y）

=﹣（x﹣y）3+1

=﹣（x﹣y）4．

故选：

C．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质．解题时，要先转化为同底数的幂后，再相乘．

【变式1】5x=8，5y=6，则5x+y=　　．

【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算把5x+y化为5x×5y，即可求得答案．

【解答】解：

∵5x=8，5y=6，

∴5x+y=5x×5y=8×6=48，

故答案为：

48．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．

【变式2】阅读理解：

乘方的定义可知：

an=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：

32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）

42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）

52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）

（1）20172×20175=　　；

（2）m2×m5=　　；

（3）计算：

（﹣2）2016×（﹣2）2017．

【分析】

（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；

（2）根据同底数幂的乘法可以解答本题；

（3）根据同底数幂的乘法可以解答本题．

【解答】解：

（1）20172×20175=20177，

故答案为：

20177；

（2）m2×m5=m7，

故答案为：

m7；

（3）（﹣2）2016×（﹣2）2017

=（﹣2）2016+2017

=（﹣2）4033

=﹣24033

【点评】本题考查同底数幂的乘法，解答本题的关键是明确同底数幂乘法的计算方法．

知识点二：

幂的乘方（重点）

幂的乘方法则：

底数不变，指数相乘．

（am）n=amn（m，n是正整数）

注意：

①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别。

【例题】下列计算正确的是（　　）

A．a+a=a2B．a•a=a2C．（a3）2=a5D．a2•a3=a6

【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可

【解答】解：

A、结果是2a，故本选项错误；

B、结果是a2，故本选项正确；

C、结果是a6，故本选项错误；

D、结果是a5，故本选项错误；

故选：

B．

【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法的应用，能正确运用法则进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度不是很大　

【变式1】已知2a=3，2b=6，2c=12，则a，b，c的关系为①b=a+1②c=a+2③a+c=2b④b+c=2a+3，其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】分别利用同底数幂的乘除法运算法则得出a，b，c直接的关系即可．÷

【解答】解：

∵2a=3，2b=6，2c=12，

∴2b÷2a=2，

∴b﹣a=1，

∴b=a+1，故①正确；

2c÷2a=22，

则c﹣a=2，故②正确；

2a×2c=（2b）2，

则a+c=2b，故③正确；

∵2b×2c=（2a）2×23，

∴b+c=2a+3，故④正确．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘除运算法则，正确应用运算法则是解题关键

【变式2】下列运算结果是a6的式子是（　　）

A．a2•a3B．（﹣a）6C．（a3）3D．a12﹣a6

【分析】先将选项中的式子进行化简算出正确的结果，然后进行对照即可解答本题．

【解答】解：

∵a2•a3=a5，（﹣a）6=a6，（a3）3=a9，a12﹣a6无法合并，

故选：

B．

【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，解题的关键是明确它们各自的计算方法．

知识点三：

积的乘方（重点）

积的乘方法则：

把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n=anbn（n是正整数）

注意：

①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

【例题】计算（﹣a2b）3的结果是（　　）

A．﹣a6b3B．a6bC．3a6b3D．﹣3a6b3

【分析】利用积的乘方性质：

（ab）n=an•bn，幂的乘方性质：

（am）n=amn，直接计算．

【解答】解：

（﹣a2b）3=﹣a6b【变式2】

故选：

A．

【点评】本题考查了幂运算的性质，注意结果的符号确定，比较简单，需要熟练掌握．　

【变式1】化简（2x）2的结果是（　　）

A．x4B．2x2C．4x2D．4x

【分析】利用积的乘方法则：

把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

【解答】解：

（2x）2=4x2，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．　

【变式2】计算结果不可能m8的是（　　）

A．m4•m4B．（m4）2C．（m2）4D．m4+m4

【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．

【解答】解：

A、m4•m4=m8，本选项错误；

B、（m4）2=m8，本选项错误；

C、（m2）4=m8，本选项错误；

D、m4+m4=2m4≠m8，本选项正确．

故选：

D．

【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．

知识点四：

单项式乘单项式（重点）

运算性质：

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

注意：

①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．

【例题】3x2可以表示为（　　）

A．x2+x2+x2B．x2•x2•x2C．3x•3xD．9x

【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案．

【解答】解：

A、x2+x2+x2=3x2，故此选项正确；

B、x2•x2•x2=x6，故此选项错误；

C、3x•3x=9x2，故此选项错误；

D、9x≠3x2，故此选项错误；

故选：

A．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、单项式乘以单项式等知识，正确掌握运算法则是解题关键．　

【变式1】下列运算正确的是（　　）

A．x2•x3=x6B．2a+3b=5ab

C．（﹣2x）2=﹣4x2D．（﹣2x2）（﹣3x3）=6x5

【分析】根据单项式的乘法、合并同类项以及单项式的除法法则得出．

【解答】解：

A、x2•x3=x2+3=x5，故本选项错误；

B、2a与3b不是同类项，故本选项错误；

C、（﹣2x）2=4x2，故本选项错误；

D、利用单项式的乘法的法则，系数和系数相乘，字母与字母相乘，本选项正确．

故选：

D．

【点评】本题主要考查单项式的乘法、合并同类项以及单项式的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．

合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变．

单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．　

【变式2】计算（﹣

x）•（﹣2x2）（﹣4x4）的结果为（　　）

A．﹣4x6B．﹣4x7C．4x8D．﹣4x8

【分析】根据单项式乘以单项式法则进行计算即可．

【解答】解：

（﹣

x）•（﹣2x2）（﹣4x4）=﹣4x7，

故选：

B．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式法则的应用，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．

知识点五：

单项式乘多项式（重点）

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．

【例题】一个长方体的长、宽、高分别3a﹣4，2a，a，它的体积等于（　　）

A．3a3﹣4a2B．a2C．6a3﹣8a2D．6a2﹣8a

【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．

【解答】解：

由题意知，V长方体=（3a﹣4）•2a•a=6a3﹣8a²故选：

C．

【点评】本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式．

【变式1】化简x（2x﹣1）﹣x2（2﹣x）的结果是（　　）

A．﹣x3﹣xB．x3﹣xC．﹣x2﹣1D．x3﹣1

【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．

【解答】解：

原式=2x2﹣x﹣2x2+x3=x3﹣x，

故选：

B．

【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式2】要使（x2+ax+5）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a应等于（　　）

A．1B．﹣1C．

D．0

【分析】先展开，再根据题意得出x4项的系数为0即可．

【解答】解：

（x2+ax+5）（﹣6x3）=﹣6x5﹣6ax4﹣30x3，

∵（x2+ax+5）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，

∴﹣6a=0，

∴a=0，

故选：

D．

【点评】本题考查了单项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键．

知识点六：

多项式乘多项式（重点）

（1）多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．

【例题】使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q的值是（　　）

A．p=0，q=0B．p=3，q=1C．p=﹣3，q=﹣9D．p=﹣3，q=1

【分析】把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．

【解答】解：

∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q），

=x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q，

=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q．

∵乘积中不含x2与x3项，

∴p﹣3=0，q﹣3p+8=0，

∴p=3，q=1

故选：

B．

【点评】灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．

【变式1】下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3=a6B．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b2

C．（ab3）2=a2b6D．5a﹣2a=3

【分析】根据同底数幂的乘法法则：

底数不变，指数相加；多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn；积的乘方：

等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；合并同类项：

只把系数相加，字母部分完全不变，一个个计算筛选，即可得到答案．

【解答】解：

A、a2•a3=a2+3=a5，故此选项错误；

B、（a+b）（a﹣2b）=a•a﹣a•2b+b•a﹣b•2b=a2﹣2ab+ab﹣2b2=a2﹣ab﹣2b²故此选项错误；

C、（ab3）2=a2•（b3）2=a2b6，故此选项正确；

D、5a﹣2a=（5﹣2）a=3a，故此选项错误．

故选：

C．

【点评】本题主要考查多项式乘以多项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项的法则，注意正确把握每一种运算的法则，不要混淆．　

【变式2】若x+y=3且xy=1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（　　）

A．5B．﹣5C．3D．﹣3

【分析】将x+y=3、xy=1代入原式=1+x+y+xy，据此可得．

【解答】解：

当x+y=3、xy=1时，

原式=1+y+x+xy

=1+3+1

=5，

故选：

A．

【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及整体代入思想的运用．

知识点七：

同底数幂的除法（重点）

同底数幂的除法法则：

底数不变，指数相减．

am÷an=am-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）

①底数a≠0，因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；

③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

【例题】若3x=15，3y=5，则3x﹣y等于（　　）

A．5B．3C．15D．10

【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案．

【解答】解：

3x﹣y=3x÷3y=15÷5=3，

故选：

B．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变，指数相减．

【变式1】下列计算正确的是（　　）

A．a2•a4=a8B．a3÷a2=a

C．2x2+x2=2x4D．（﹣2a2b）3=﹣6a5b3

【分析】分别根据合并同类项的法则：

把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：

底数不变，指数相减；幂的乘方法则：

底数不变，指数相乘；积的乘方法则：

把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．

【解答】解：

A、a2•a4=a6，故原题计算错误；

B、a3÷a2=a，故原题计算正确；

C、2x2+x2=3x2，故原题计算错误；

D、（﹣2a2b）3=﹣8a6b3，故原题计算错误；

故选：

B．

【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．

【变式2】若4m×8÷2m的值为16，则m=　　．

【分析】根据幂的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．

【解答】解：

4m×8÷2m=22m•23÷2m=22m+3﹣m=24，

解得m=1，

故答案为：

1

【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

知识点八：

零指数幂的性质（难点）

零指数幂：

a0=1（a≠0）

由am÷am=1，am÷am=am-m=a0可推出a0=1（a≠0）

注意：

00≠1

【例题】计算：

﹣12014﹣（﹣1）0的结果正确的是（　　）

A．0B．1C．﹣2D．﹣1

【分析】利用零指数幂的定义求解即可．

【解答】解：

﹣12014﹣（﹣1）0

=﹣1﹣1

=﹣2

故选：

C．

【点评】本题主要考查了零指数幂，解题的关键是熟记零指数幂的定义．

【变式1】若（n+3）2n的值为1，则n的值为　　．

【分析】分别讨论，①底数为±1，②底数不为零，指数为0的情况，得出n的值即可．

【解答】解：

①当n+3=1时，n=﹣2，此时12n=1﹣4=1；

②当n+3=﹣1时，n=﹣4，此时（﹣1）﹣8=（﹣1）﹣8=1；

③当n+3≠0，2n=0时，n=0，此时30=1；

故可得n的值为﹣2，﹣4，0．

故答案为：

﹣2，﹣4，0．

【点评】本题考查了零指数幂的知识，需要分情况讨论，注意不要漏解．

【变式2】如果等式（2a﹣1）a+2=1成立，则a的值为　　．

【分析】根据零指数幂：

a0=1（a≠0）可得a+2=0，且2a﹣1≠0，1的任何次方都是1可得2a﹣1=1，再解即可．

【解答】解：

由题意得：

①2a﹣1=1，

解得：

a=1，

②a+2=0，且2a﹣1≠0，

解得：

a=﹣2，

③当a=0时，原式=1

故答案为：

0或1或﹣2

【点评】此题主要考查了零指数幂和有理数的乘方，关键是要分类讨论．

知识点九：

单项式除以单项式（重点）

单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．

注意：

从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：

①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．

【例题】下列运算正确的是（　　）

A．（2a2）2=2a4B．6a8÷3a2=2a4C．2a2•a=2a3D．3a2﹣2a2=1

【分析】根据积的乘方法则判断A；根据单项式除以单项式的法则判断B；根据单项式乘以单项式的法则判断C；根据合并同类项的法则判断D．

【解答】解：

A、（2a2）2=4a4，错误，故本选项不符合题意；

B、6a8÷3a2=2a6，错误，故本选项不符合题意；

C、2a2•a=2a3，正确，故本选项符合题意；

D、3a2﹣2a2=a2，错误，故本选项不符合题意；

故选：

C．

【点评】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握各运算法则是解题的关键．

【变式1】计算：

6a2b÷2a=　　．

【分析】根据单项式除单项式的法则计算，再根据系数相等，相同字母的次数相同列式求解即可．

【解答】解：

原式=3ab．

故答案是：

3ab．

【点评】本题考查了单项式的除法法则，正确理解法则是关键．

【变式2】自编一个两个单项式相除的式子，使结果为2a2，你所编的式子为　　．

【分析】根据单项式除以单项式法则即可得．

【解答】解：

6a3÷3a=2a2，

故答案为：

6a3÷3a．

【点评】本题主要考查整式的除法，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．　

知识点十：

多项式除以单项式（重点）

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

说明：

多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．

【例题】计算（25x2+15x3y﹣5x）÷5x（　　）

A．5x+3x2yB．．5x+3x2y+1C．5x+3x2y﹣1D．5x+3x2﹣1

【分析】直接利用整式除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：

（25x2+15x3y﹣5x）÷5x

=5x+3x2y﹣1

故选：

C．

【点评】此题主要考查了整式除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

【变式1】若矩形的面积为a2+ab，宽为a，则长为　　．

【分析】根据多项式除以多项式的运算法则计算即可．

【解答】解：

矩形的宽=（a2+ab）÷a

=a+b

故答案为：

a+b．

【点评】本题考查的是整式的除法，掌握多项式除以多项式的运算法则、因式分解是解题的关键．

【变式2】如果一长方形的面积为2x2+x，它的一条边长为x，则它的周长为（　　）

A．2x+1B．3x+1C．6x+1D．6x+2

【分析】根据整式的除法，可得另一边长，根据整式的加法，可得答案．

【解答】解：

另一边长为（2x2+x）÷x=2x+1，

周长为2[x+（2x+1）]=2（x+2x+1）=6x+2，

故选：

D．

【点评】本题考查了整式的除法，熟记整式的除法整式的加减是解题关键．

拓展点一：

整式的混合运算

（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．

【例题】计算：

（﹣2）2+（

﹣1）0﹣

tan30°﹣（

）﹣1；

【分析】按照实数的有关运算法则依次计算．

（2）去括号，合并同类项．代值计算．

【解答】解：

原式=4+1﹣

×

﹣3

=5﹣1﹣3

=1；

【点评】考查了实数的有关运算及整式的化简求值，是中考中常考题型．

【变式1】已知被除式是x3+2x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，则除式是（　　）

A．x2+3x﹣1B．x2+2xC．x2﹣1D．x2﹣3x+1

【分析】根据除式=

进行计算即可．

【解答】解：

∵被除式是x3+2x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，

∴除式=

=x2+2x．

故选：

B．

【点评】本题考查的是整式的混合运算，熟知除式=

是解答此题的关键．

【变式2】观察下列关于自然数的等式：

（1）32﹣4×12=5　　　

（1）

（2）52﹣4×22=9　　　

（2）

（3）72﹣4×32=13　　（3）

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第五个等式：

112﹣4×　5　2=　21　；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

【分析】

（1）根据前三个找出规律，写出第五个等式；

（2）用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明．

【解答】解：

（1）112﹣4×52=21，

故答案为：

5；21；

（2）第n个等式为：

（2n+1）2﹣4n2=4n+1，

证明：

（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1

【点评】本题考查的是整式的混合运算、数字的变化，掌握整式的混合运算法则、正确找出数字的变化规律是解题的关键．

拓展点二：

整式乘法的应用

【例题】定义

为二阶行列式．规定它的运算法则为

=ad﹣bc．那么当x=1时，二阶行列式

的值为　　．

【分析】根据题目中的新运算，可以求得题目中的二阶行列式的值．

【解答】解：

∵

=ad﹣bc，

∴

=（x+1）（x﹣1）﹣1×0

=x2﹣1﹣0

=x2﹣1，

当x=1时，原式=12﹣1=0，

故答案为：

0．

【点评】本题考查整式的混合运算、新运算，解题的关键是明确行列式的计算方法．

【变式1】四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，连接BD，BF和DF后得到三角形BDF，请用含字母a和b的代数式表示三角形BDF的面积可表示为（　　）

A．abB．

abC．

b2D．

a2

【分析】可利用S△BDF=S△BCD+S梯形EFDC﹣S△BFE，把a、b代入，化简即可求出△BDF的面积．

【解答】解：

如图，

如图，S△BFD=S△BCD+S梯形CEFD﹣S△BEF

=

a2+

（a