快速口算法补数Word格式.docx

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因此，在直接加减法的同时，有补五加法，算盘相邻两档，本档满10要向前档进1，因此，珠算是十进制加法。

（一）一位数加法

一位数加（减）法是最基本的运算，因为，计算多位数加（减）时，都要分解为一位数的加（减），所以，只要能熟练地掌握一位数的加（减），就能计算多位数的加（减）。

珠算一位数加法，分为外珠够加和外珠不够加两类：

1、外珠够加类

3+1，2+3，4+5，2+6。

先分别在算盘上拨3、2、4、2靠梁，再分别把加数1、3、5、6在同档上拨入，得数分别为4、5、9、8。

它们相加有一个共同的特点是：

外珠（靠上下两边的珠）都比加数大，这叫同档相加看外珠，外珠够加直接加入加数。

2、外珠不够加类

外珠不够加，就是外珠比加数小，直接加不进加数。

这种情况就需要利用补数参与运算。

4＋7、8＋5、9＋6、3＋8。

先分别在算盘上拨被加数靠梁，它们的外珠都比加数小，无法拨入加数，于是就采取“加原数=进1减补数”这一规律来解决。

这些加数的变码分别是：

7＝10－3，5＝10－5，6＝10－4，8＝10－2。

用这些加数的变码分别换出原式中的加数，其形式变为：

4＋7＝4＋10－3，8＋5＝8＋10－5，9＋6＝9＋10－4，3＋8＝3＋10－2。

在算盘上计算时，先分别拨被加数4、8、9、3入盘，然后，分别拨加数7、5、6、8入盘时，因外珠小于加数，直接加不进加数，只好用十位进1，本位减加数的补数，即“进1减补数”加数入盘，得数分别为：

11、13、15、11。

再如：

7＋7，5＋9，6＋8，7＋6。

这些也是外珠小于加数，直接加不进加数，只好“进1减补数”。

变码为7＋7＝7＋10－3，5＋9＝5＋10－1，6＋8＝6＋10－2，7＋6＝7＋10－4。

在算盘上计算时，先分别拨被加数7、5、6、7入盘。

先分别用“进1减补数”，拨加数7、9、8、6入盘，其和分别是14、14、14、13。

这四道题的拨珠形式与上面四道题的拨珠形式有所不同，在减补数时，都需要“减5加凑”来减，要反复练习，熟练掌握。

凑即凑数，是指若两个一位数的和是5，（只有三对，1与4，2与3，0与5）这两个数互为凑数。

如2与3凑成5，2是3的凑数，3也是2的凑数。

利用补数作加法，是先进1后减补数，这样合乎珠算由左而右的拨珠方向，指路不迂回，能提高运算效率。

上述加法运算的法则概括地说就是：

同位相加看外珠，外珠够加加加数，外珠不够加进1减补数。

（二）多位数加法

多位数加法是利用补数进行运算，即逐位单独用这一位原数（加数）的补数去合10。

如4972的各位补数分别是6、1、3、8（每位补数上下不能联合，是逐位单独动用）。

因此，在多位数加法的运算过程中，逐位分别采用如同一位数的“进1减补数”。

运算方法仍是“同位相加看外珠，外珠够加加加数，外珠不够加进1减补数。

”

如5729＋3816＝9545

在算盘上先拨被加数5729入盘，再依次拨加数3816入盘，得数为9545。

5、7、2、9同位相加看外珠：

+3，……千位外珠4，加3够加，加3；

+10，……百位外珠2，加8不够加；

-2，……前位进1，本位减补数2；

+1，……十位外珠7，加1够加，加1；

+10，……个位外珠0，加6不够加；

-4，……前位进1，本位减补数4。

得数为9545。

二、减法

减法是加法的逆运算。

加法的特点是：

“补五进一”，减法的特点是“破五退一”。

它们在一切方面都是正反关系。

（一）一位数减法

一位数减法，分内珠够减和内珠不够减两类：

1、内珠够减类

4－3、5－2、8－6、9－7，在算盘上先分别拨被减数4、5、8、9入盘，再分别在同档拨去减数3、2、6、7，得数分别是1、3、2、2。

它们相减有一个共同特点是：

内珠都比减数大，这叫同档相减看内珠，内珠够减直接减去减数。

2、内珠不够减类

内珠不够减，就是内珠比减数小，直接减不掉减数，于是就采取“减原数=退1加补数”这一规律来解决。

这些减数的变码分别是：

-7＝-10＋3，-8＝-10＋2，-9＝-10＋1，-6＝-10＋4。

用这些减数的变码分别换出原式中的减数，变码式为：

10－7＝10－10＋3，12－8＝12－10＋2，14－9＝14－10＋1，13－6＝13－10＋4。

在算盘上先分别拨被减数10、12、14、13入盘，然后拨去减数7、8、9、6时，因同档内珠小于减数，直接减不掉减数，只好用十位退1，本位加减数的补数，即“退1加补数”，拨去减数，得数分别是3、4、5、7。

后二题和前二题拨珠形式有所不同，在加补数时都需用“加5减凑”来加，要反复练习，熟练掌握。

上述减法运算的法则概括地说：

同位相减看内珠，内珠够减减减数，内珠不够减退1加补数。

（二）多位数减法

在多位数减法的运算过程中，逐位分别采用如同一位数的“退1加补数”。

运算法则仍是“同位相减看内珠，内珠够减减减数，内珠不够减退1加补数”。

如9545－3816＝5729，在算盘上先拨被减数9545入盘，再依次拨去减数3816，得数为5729。

9545同位相减看内珠：

－3，……千位内珠9，减3够减，减3；

－10，……百位内珠为5，减8不够，前位退1；

+2，……本位加补数2；

－1，……十位内珠为4，减1够减，减1；

－10，……个位内珠为5，减6不够减，前位退1；

+4，……本位加补数4。

第二节：

脑珠结合加减法

脑珠结合加减法，既能增强脑力，又能简化运算程序，减少大量的拨珠动作，提高运算速度。

（一）简捷加法

1、加1减补法

口诀：

“前加1，和必余，减补数，定无疑”。

（此法适用于位数相同的加法）。

例：

3456+9989=13445（减少拨珠6次）

算法：

（1）3456前加1，得13456；

（2）13456减去9989的补数0011，得13445。

2、加齐减补法

“齐先加，和必大，减补数，不会差”。

（此法适用于多位数字相加）

19002+998=20000（减少拨珠5次）

（1）19002先加998的齐数1000得20002；

（2）20002减去补数002得20000。

3、取强减填法

“先凑强，后减填”（此法适用于首位数字大于1的加数）。

884+896=1780（少拨珠3次）

（1）取896的强数900加上884，得1784；

（2）1784减去896的填数4，得1780。

4、一目三行连加弃九法

先研究一目三行加法的进位规律。

三行数字相加的进位规律有三种情况：

一是有进2的，如6+8+9=23；

二是有进1的，如5+3+7=15；

三是有不进位的，如2+1+4=7。

据研究得出，三行数字组合有165种，其中111种是进1的（占总数的67%），有31种是进2的，有23种是不进位的。

所以三行数字组合进1的可能性最大。

为了省略各位上的和进1，减少拨珠量，我们可以利用补数原理，作一次性的进一，即先在首位加1个10的整数次幂，然后，再用中间各位减去9，末位减去10的方法。

如三行六位数相加，首位加1，即增加100000，中间各位都减9，即减少了99990，末位减10，即增减相抵，正好轧平，原来的和不变。

为了将竖列三个同位数之和计算方便一些，可假设有竖列三个同位数之和都进位一。

这样就得出“首位进1”的普遍规律。

若某竖列三个同位数之和大于或小于10，可分别通过加减来调整。

计算中间各位时，因已提前进位一，本应先减去10，然后，再加上大于10的数，但后边的各位还要进位一，所以中间各位减去9，就等于减去10，这样就得出“中间各位减去9”的结论。

若中间各位和大于或小于9，也通过加减来调整。

计算末位时，因提前进位一，后边不再进位，应从末位和中减去10，余几加几。

根据上述推理，得出弃九法的运算方法是：

1、计算首位时，三个数字相加之和再加1，就是提前进位1。

如和数是6拨入7，和数是14就拨入15，和数是23就拨入24。

2、计算中间各位时，三个数字相加之和等于或大于9的，将9弃去，只加和数弃9后的余数。

如和数是14就加5，和数是23就加14，若三个数字之和小于9的，则减去它与9的差数。

如和数是6就减3。

在实际运算时，中间各位的同位三个数中有一个是9或两个之和是9，可以把这个9舍去，余几就在本位上加几。

如同位三个数8、9、6，可直接加上14；

4、5、7可直接加上7。

3、在计算末位时，三个数相加之和等于或大于10的，将10弃去，只加弃10后的余数。

如和数是13即加3，和数是24即加14，若三个数字相加之和小于10的，则减它与10的差额。

如和数是7即减3。

把上述弃九法的运算法则概括地说就是：

首和进1拨入，中和弃九加余，末和弃十加余，欠弃拨去差数。

1259.63

615.49

2940.13

850.14

304.70

＋613.03

------------------

6583.12

在算盘上计算形式：

＋2940.13

-------------------------

+4…………首位（千位）和是3，后位进1，加4；

+8………百位弃九余8，加8；

+1…………十位弃九余1，加1；

+5…………个位数弃九余5，加5；

+2…………十分位弃九余2，加2；

+5…………末位（百分位）弃十余5，加5。

三行之和为4815.25。

613.03

-----------------------

+18…………首位和是17，后位进1，加18；

-3…………十位欠弃九，减差数3；

-2…………个位欠充九，减差数2；

-1…………十分位欠弃九，减差数1；

-3…………末位欠弃十，减差数3，累加和为6583.12。

上述弃九法也适应于一目二行连加。

一目四行、五行连加，用“弃双九法”。

其运算法则可概括为：

首和进二拨入，中弃双九加余，末弃双十加余，欠弃拨去差数。

举例略。

（二）简捷减法

1、减齐加补法

口诀“齐先减，差必短。

补再加，理当然”。

3832－994=2838（少拨4次）

（1）3832先减去1000得2832；

（2）2832加上994的补数006，得2838。

2、倒减变向法

“小减大不难，空借首位前。

借那要还那，随借要随还。

借债没还清，补数变答案。

如还清所借，梁珠为答案。

”（此法适用于加减算法中，开始或中途发生减数小于被减数的混合运算）。

9998－19999＋10011＋1638－8879－1658＋1889＝3000

（1）9998－19999＝－10001（十万位借1，－20000加上1，借债没还补数变答案，梁珠为89999）；

（2）＋10011＝10（借债还清，梁珠为答案）；

（3）＋1638＝1648；

（4）－8879＝－7231（万位借1，－9000加121，补数变答案，梁珠为2769）；

（5）－1658＝－8889（同上）；

（6）+11889＝3000（万位借1还清，梁珠为答案）。

上述六笔混合运算的倒减法，减少了4次清盘和4次重新布数，提高了效率一倍。

3、一目三行连减弃九法

一目三行也可以应用弃九法，只要三行合并后将加改作减或减改作加就行。

首和进一拨去，中和弃九减余，欠弃拨入差数。

49135

－3472

－9506

－6394

－2160

－1403

－4235

--------------

21965

在盘上计算形式，拨被减数49135入盘。

－9506第一组（够弃减余）

－19…………首位和18，后位进1，减去19；

－3…………百位弃九余3，减去3；

－7…………十位弃九余7，减去7；

－2…………末位弃十余2，减去2。

得数为29763。

－1403第二组（欠弃加差）

------------

－8…………首位和7，后位进1减去8；

+2…………百位弃九欠2，加差数2；

0…………十位弃九，为0；

+2…………末位弃十欠2，加差数2。

得数为21965。

第三章：

补数乘法

一、运算原理

我们用9作乘数，研究以下1~9乘以9的内在关系。

9的补数是1，齐数是10。

1×

9＝1×

（10－1）＝10－1×

1，1作被乘数可看作减乘数补数1倍；

2×

9＝2×

（10－1）＝20－2×

1，2作被乘数可看作减乘数补数2倍；

3×

9＝3×

（10－1）＝30－3×

1，3作被乘数可看作减乘数补数3倍；

4×

9＝4×

（10－1）＝40－4×

1，4作被乘数可看作减乘数补数4倍；

5×

9＝5×

（10－1）＝50－5×

1，5作被乘数可看作减乘数补数5倍；

6×

9＝6×

（10－1）＝60－6×

1，6作被乘数可看作减乘数补数6倍；

7×

9＝7×

（10－1）＝70－7×

1，7作被乘数可看作减乘数补数7倍；

8×

9＝8×

（10－1）＝80－8×

1，8作被乘数可看作减乘数补数8倍；

9×

9＝9×

（10－1）＝90－9×

1，9作被乘数可看作减乘数补数9倍。

二、基本算规

（一）口诀法

从上一小节中，我们看出，被乘数1、2、3、4、5、6、7、8、9的运算规律，列表如下，作为口诀（注：

学“一口清法”的人，应用此口诀法）。

表1：

小数组中数组大数组

1由下位减乘数补数的1倍4由下位减乘数补数的4倍7由下位减乘数补数的7倍

2由下位减乘数补数的2倍5由下位减乘数补数的5倍8由下位减乘数补数的8倍

3由下位减乘数补数的3倍6由下位减乘数补数的6倍9由下位减乘数补数的9倍

假若会“1、2、5法”口算的人，可运用1、2、5加几遍；

4、5、6折半看，7、8、9当十算的人，可采用下表，进行计算：

表2：

1由下位减乘数补数1次4本位减补数半数

下位加补数一次7本位减补数一次

下位加补数三次

2由下位减乘数补数2次5本位减补数一半8本位减补数一次

下位加补数二次

3由下位减乘数补数3次6本位减补数一半

下位减补数一次9本位减补数一次

下位加补数一次

以上9个算规，由下列例题详解（本教材中口诀用表1法。

）

例1：

123×

889＝109347（补数111）

图一：

111123

直拨乘数补数111在算盘左边，被乘数123在右边

图二：

111122667

个位3，在下位减3×

111成为12.2667

图三：

111120447

十位2，在下位减2×

111成为1.20447

图四：

111109347

百位1，在下位减1×

111成为109347，即为积

例2：

456×

889＝405384

111456

直拨乘数补数111在左边，456在右边

111455334

个位6在下位减6×

111成为45.5334

111448784

十位5，在下位减5×

111成为4.48784

111405384

百位4，在下位减4×

111成为405384即积

例3：

789×

889＝701421

111789

直拨乘数补数111在算盘左边，被乘数789在右边

111788001

个位9，下位减去9×

111成为78.8001

111779121

十位8，下位减去8×

111成为7.79121

111701421

百位7，下位减去7×

111成为701421

注：

1，图式可改成珠算图式；

2，凡被乘数乘以乘数的补数，无进位从被乘数本位的下位减，有进位从本位减。

以上是补数算法中算规的基本方法——口诀法，用此方法可以算对任何题，我把它称作补数算法的第1种方法。

（二）逐位减补数法

逐位减补数法是否正确，下面我们用例题来加以证明：

889＝789×

（1000－111）＝789000－789×

111

即789000－789×

111（减9×

111，即减999；

减80×

111，即减8880；

减700×

111即减77700）可看作在789000中减去999，再减8880，再减77700，得数即701421。

这和我们在盘式中（个位9，下位减999，十位8，下位减888，百位7，下位减777）得数完全一致，证明此口诀法准确无误。

然而，虽无误，亦有缺陷，对于一般例题，可用此法，但对于特殊例题：

如99999×

99999，1998×

778，27×

964等，还有没有更快更完善的方法呢？

答案是肯定的，从以下几节中，我们再共同探讨快速法。

首先，再从以上例题中，往下演变，引申出两种补数方法：

加补减齐法和加填减强法。

789000－789×

111＝789000－（1000－211）×

111＝789000－1000×

111＋211×

111＝789000＋211×

111－111000，即789000＋211×

111（在盘式上9的下位加1×

111，8的下位加1×

111，7的下位加2×

111）后再在首位减111000得数＝701421，得数也是正确的，即加补减齐法。

111＝789000－（800－11）×

111＝789000－88800＋11×

111＝789000＋11×

111（9的下位加1×

111，7的下位减<

7＋1>

×

111，即－88800）＝701421，得数也是正确的,即加填减强法。

从而得出逐位减补数法中的加补减齐法和加填减强法，应用到乘法例题中，都是适用的，用那种方法参与运算要由具体数据来定，总之要做到化繁为简，达到“快”和“准”的目的，不要适得其反，这是我们科学速算的原则。

（三）一般公式法

前面提到，如：

27×

964、1998×

778、999992应怎样计算，才会更为快捷、方便。

根据以上原理，笔者研究出补数乘法的一般公式法，暂定为魏氏公式法：

（1）设被乘数的最末一位数的补数为a，乘数的补数为b，那么在被乘数的末位的下位加a×

b（a×

b有进位者，要进到本位）；

（2）设被乘数去掉尾数后的数为n，那么应从被乘数首位的下位减去（n＋1）×

b。

注意（n＋1）×

b有进位，从首位减，b前有0位，有几个零应移档向后几位再减，就是：

先从尾后加a×

b，再在次档减（n＋1）×

b，这就是补数乘法的一般公式法。

利用此公式可以解决以下类别的数乘以任意数的快速计算问题：

1、被乘数是两位数的例题；

2、被乘数是两位以上的数时，n＋1等于齐数或强数的例题。

964＝26028（补数036）

（1）先在被乘数个位7的下位加上（a×

b），即3×

036＝108，得27.108；

（2）再从被乘数的次高档7的本位减去（n＋1）×

b，即（2＋1）×

036，得26028，即是积数。

19998×

778＝15558444（补数222）

（1）先在被乘数个位8的下位加上（a×

b）即2×

222，得19998.444；

（2）再从被乘数的次高档减去（n＋1）×

b即（1999＋1）×

222，得15558444，即得积。

实际上，（n＋1）×

b比原数少了10倍，把（n＋1）再扩大10倍后，就是实际需要减的数。

如例2：

第1步尾下加上444后，可看作19998444；

达到千万位；

（1999＋1）×

222×

10＝4440000，达到百万位；

从19998444中减去4440000＝15558444。

以上2例为加填减强法。

999992＝9999800001（补数为00001）

（1）先在99999的尾数后加00001，得99999.00001；

（2）再在99999的首位减00001；

得9999800001；

即积。

因（n＋1）×

b有进位，所以从首位减。

本例为加补减齐法。

利用此一般公式，可以套用任何一道乘法算题，本公式都是正确的。

但我们可以从中看出，对于（n＋1）等于齐数或强数的例题，实在是简单而又简单，但对于一般的例题，它并不完全显示优越性，实在是一般公式，却适用于特殊情况。

那么，在一般情况下呢？

（四）、补满法

补满法就是把被乘数联成一个整体，被乘数的个位按（10－x）补加补数，中间几位一律按（9－x）补加补数，差几就补几个补数。

补到首位时，首位数是x，就从次高位减去（x＋1）×

b的乘积，分两种情况，如下例：

1、加补减齐法

9897965×

778＝7700616770。

（补数222）

（1）被乘数个位5加补数半数222的一半111成为：

989796.611；

（2）十位6在6的下位加三次补数666成为98979.7277；

（3）百位9不补；

（4）千位7下位加两次补数444，成为989.841677；

（5）万位9不补；

（6）十万位8下位加一次补数222成为9.92061677；

（7）百万位9不补；

（8）从百万位减一次补数222得积:

7700616770。

2、加填减强法：

789＝622521（补数211）

（1）个位9在下位加上（10－9）×

211成为78.9211；

（2）十位8,在下位加上（9－8）×

211成为7.91321；

（3）百位7,在7的本位减去（7＋1）×

211＝1688（有进位，从本位减）成为622521，即积。

以上介绍的三种方法：

口诀法、公式法、补满法都是通用的，套任何一道算题，得数都是一样，归纳起来，也只有两类：

口诀法：

即逐位减补数法，从个位到首位逐位减去；

公式法：

即补满法，先补后减法，从个位按10补满，中间按9补满，补完后，从首位（x＋1）×

b，一次性减