届高考数学二轮复习专题二第2讲解三角形学案.docx

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届高考数学二轮复习专题二第2讲解三角形学案

第2讲解三角形

正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题．

正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．

（1）正弦定理

在△ABC中，＝＝＝2R（R为△ABC的外接圆半径）；

变形：

a＝2RsinA，sinA＝，

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．

（2）余弦定理

在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；

变形：

b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝．

（3）三角形面积公式

S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB．

热点一　利用正（余）弦定理进行边角计算

【例1】（2018·株洲质检）在中，角、、的对边分别是、、，已知，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若角为锐角，求的值及的面积．

解（Ⅰ）由得，

因为，∴，

由，，

由正弦定理得．

（Ⅱ）角为锐角，则，

由余弦定理得即，或（舍去），

所以的面积．

探究提高　1．高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形．

2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．

【训练1】（2017·全国Ⅱ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin2．

（1）求cosB；

（2）若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b．

解　

（1）由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2，故sinB＝4（1－cosB）．

上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，

解得cosB＝1（舍去），cosB＝．

（2）由cosB＝，得sinB＝，

故S△ABC＝acsinB＝ac．

又S△ABC＝2，则ac＝．

由余弦定理及a＋c＝6得

b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－2ac（1＋cosB）＝36－2××＝4．

所以b＝2．

热点二　应用正、余弦定理解决实际问题

【例2】（2017·衡水质检）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：

在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为（）

A．210（＋）米B．140米

C．210米D．20（－）米

解析　由题意，设AC＝x米，则BC＝（x－40）米，

在△ABC内，由余弦定理：

BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，

即（x－40）2＝x2＋10000－100x，解得x＝420米．

在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，

由正弦定理：

＝．

可得CH＝AC·＝140（米）．

答案　B

探究提高　1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解．

【训练2】（2018·衡水中学）如图，一山顶有一信号塔

（

所在的直线与地平面垂直），在山脚

处测得塔尖

的仰角为

，沿倾斜角为

的山坡向上前进

米后到达

处，测得

的仰角为

．

（1）求

的长；

（2）若

，

，

，

，求信号塔

的高度．

解

（1）在

中，

，

，

．由正弦定理，

．

（2）由

（1）及条件知，

，

，

，

．

由正弦定理得

．

热点三　解三角形与三角函数的交汇问题

【例3】（2017·长沙质检）已知函数f（x）＝2sinxcosx－2cos2x－1，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期和最小值；

（2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，f（C）＝0，sinB＝2sinA，求a，b的值．

解　

（1）f（x）＝sin2x－2cos2x－1

＝sin2x－（cos2x＋1）－1＝sin2x－cos2x－2＝2sin－2，

所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，最小值为－4．

（2）因为f（C）＝2sin－2＝0，

所以sin＝1，又C∈（0，π），

知－<2C－<π，所以2C－＝，得C＝．

因为sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，

由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝，所以a＝1，b＝2．

探究提高　1．解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．

2．求解该类问题，易忽视C为三角形内角，未注明C的限制条件导致产生错解．

【训练3】（2018·聊城一中）已知，其中向量，（）．

（1）求的最小正周期和最小值；

（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若

，

，

，求边长的值．

解

（1）f（x）=（sin2x，2cosx）·（，cosx）-1=sin2x+cos2x=2sin（2x＋），

∴f（x）的最小正周期为π，最小值为-2．

（2）f（）=2sin（＋）=∴sin（＋）＝，

∴＋＝∴A＝或（舍去），

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即13＝16＋c2-4c，即c2-4c+3=0，

从而c=1或c=3．

1．（2018·全国II卷）在中，，BC=1，AC=5，则AB=（）

A．B．C．D．

2．（2017·全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinB＋sinA（sinC－cosC）＝0，a＝2，c＝，则C＝（　　）

A．B．C．D．

3．（2018·全国III卷）的内角的对边分别为，，，若的面积为，

则（）

A．B．C．D．

4．（2018·全国I卷）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．

5．（2018·全国I卷）在平面四边形中，，，，．

（1）求；

（2）若，求．

1．（2019·郴州质检）在中，三内角的对边分别为，且，，则角的大小是（）

A．或B．C．D．

2．（2017·山东卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1＋2cosC）＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是（）

A．a＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A

3．（2017·全国Ⅱ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________．

4．（2019·开封一模）在中，内角所对的边分别为，且．

（1）求角；

（2）若，的周长为6，求的面积．

1．（2019·昆明诊断）在平面四边形中，，，，，，则（）

A．B．C．D．

2．（2017·郑州二模）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则角B＝________．

3．（2018·重庆一中）已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求△ABC面积．

4．（2017·衡水中学调研）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若（a－c）sinA－bsinB＋（a＋b－c）sinC＝0．

（1）求角A；

（2）当sinB＋sinC取得最大值时，判断△ABC的形状．

参考答案

1．【解题思路】先根据二倍角余弦公式求cosC，再根据余弦定理求AB．

【答案】因为

所以，选A．

点睛：

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．

2．【解题思路】由

消去角

，再化简即可得到

，再利用正弦定理求

．

【答案】　由题意得sin（A＋C）＋sinA（sinC－cosC）＝0，

∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，

则sinC（sinA＋cosA）＝sinCsin＝0，

因为sinC≠0，所以sin＝0，

又因为A∈（0，π），所以A＋＝π，所以A＝．

由正弦定理＝，得＝，

则sinC＝，得C＝．故选B．

3．【解题思路】利用面积公式和余弦定理进行计算可得．

【答案】由题可知，所以，

由余弦定理，所以，

，，故选C．

点睛：

本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．

4．【解题思路】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果．

【答案】因为，

结合正弦定理可得，

可得，因为，

结合余弦定理，可得，

所以A为锐角，且，从而求得，

所以△的面积为，故答案是．

5．【解题思路】

（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；

（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果．

【答案】

（1）在中，由正弦定理得．

由题设知，，所以．

由题设知，，所以．

（2）由题设及

（1）知，．

在中，由余弦定理得

．

所以．

1．【解题思路】由可得cosA，进而利用可得sinBsinC=结合内角和定理可得C值．

【答案】∵，

∴cosA，

由0＜A＜π，可得A，

∵，∴sinBsinC=，

∴，即，

解得tan2C=，又，

∴2C=或，即C=或，故选A．

2．【解题思路】注意等式两边的形式，利用和差角公式以及

朝能约的方向进行化简．

【答案】　等式右边＝2sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋sin（A＋C）＝sinAcosC＋sinB．

等式左边＝2sinBcosC＋sinB，

则2sinBcosC＋sinB＝sinAcosC＋sinB，

因为角C为锐角三角形的内角，所以cosC不为0．

所以2sinB＝sinA，根据正弦定理，得a＝2b．故选A．

3．【解题思路】边化角再利用和差角公式即可．

【答案】由正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin（A＋C）＝sinB．

∴2sinBcosB＝sinB，

又sinB≠0，∴cosB＝，故B＝．故填．

4．【解题思路】

（1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得的大小．

（2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得的值，并求得三角形的面积．

【答案】

（1）由已知及正弦定理得：

，

∵，∴，

∵∴，∵∴．

（2）∵，的周长，∴，

由余弦定理得，∴，，

∴的面积．

1．【解题思路】在Rt中，由，，得，，所以，

由余弦定理得BC的长度．

【答案】在平面四边形中，如图．

在Rt中，，，，所以，，所以，

在中，，由余弦定理得，所以BC=．

故选C．

2．【解题思路】角化边即可得．

【答案】由＝及正弦定理，

得＝，则a2＋c2－b2＝ac，

∴cosB＝＝，从而B＝．故填．

3．【解题思路】

（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数f（x）进行化简，然后利用正弦函数图像的性质可得周期和单调区间；

（2）由f（C）=1，得角C，由正弦定理得b=2a，然后利用余弦定理可得a和b的值，代入面积公式即可得到答案．

【答案】=2sin（2x+）

（1）最小正周期为，

因为，

所以，

所以函数的单递减区间为．

（2）因为，所以，

所以，①

又因为sinB=2sinA，所以b=2a②

由①，②可得a=1，b=2，．

4．【解题思路】

（1）角化边．

（2）由B＋C＝π，消元留一个未知量，再化

形式，进而根据角度范围确定其值域．

【答案】解　

（1）由正弦定理＝＝＝2R，

可得sinA＝，sinB＝，sinC＝．

代入（a－c）sinA－bsinB＋（a＋b－c）sinC＝0化简整理得：

b2＋c2－a2＝bc，

则＝，所以cosA＝．

又因为A为三角形内角，所以A＝．

（2）由

（1）得B＋C＝π，

所以sinB＋sinC＝sinB＋sin＝sinB＋sinπcosB－cosπsinB

＝sinB＋cosB＝sin．

因为0

所以当B＝时，B＋＝，sinB＋sinC取得最大值，

因此C＝π－（A＋B）＝，所以△ABC为等边三角形．