梯形中常见的辅助线Word文档下载推荐.docx

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5－4<

BC<

5＋4，即1<

9。

2、平移两腰：

例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°

，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得

∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°

则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点

所以

3、平移对角线：

例4、已知：

梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．

∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形

∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4

∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5

∴∠BDE=90°

．

作DH⊥BC于H，则

例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=

，求证：

AC⊥BD。

过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，

易得四边形BCED是平行四边形，

则DE=BC，CE=BD=

，

所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。

在等腰梯形ABCD中，AC=BD=

所以在△ACE中，

从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，

则四边形ACED是平行四边形，

即

。

由勾股定理得

（cm）

，即梯形ABCD的面积是150cm2。

二、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°

，∠C=80°

，AD=2，BC=5，求CD的长。

延长BA、CD交于点E。

在△BCE中，∠B=50°

所以∠E=50°

，从而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC－ED=5－2=3

例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

四边形ABCD是等腰梯形.

证明：

延长AD、BC相交于点E，如图所示.

∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，

∴△DAB≌△CBA.

∴∠DAB＝∠CBA.

∴EA＝EB.

又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.

而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°

∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.

又AD不平行于BC，

∴四边形ABCD是等腰梯形.

三、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：

AD=DE。

连结BD，

由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；

由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。

所以∠ADB=∠BDE。

又∠BAD=∠DEB=90°

，BD=BD，

所以Rt△BAD≌Rt△BED，

得AD=DE。

四、作梯形的高

1、作一条高

例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°

，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：

四边形ABFE是等腰梯形。

证：

过点D作DG⊥AB于点G，

则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高

例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°

，AD=3cm，BC=5cm，

求：

（1）腰AB的长；

（2）梯形ABCD的面积．

作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，

又∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是矩形，

EF=AD=3cm

∵AB=DC

∵在Rt△ABE中，∠B=60°

，BE=1cm

∴AB=2BE=2cm，

∴

例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>

CD，求证：

BD>

AC。

作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，

则易知AE=DF。

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

因为AB>

CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>

CF。

即BF>

CE。

在Rt△BDF和Rt△CAE中

由勾股定理得BD>

AC

五、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°

AB＋CD=AD。

取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=

（AB＋CD）①

在△AOD中，∠AOD=90°

，AE=DE

②

由①、②得AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：

（1）EF//AD；

（2）

连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG

则AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线

从而EF//BG，且

因为AD//BG，

所以EF//AD，EF

3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

分别延长AE与BC，并交于F点

∵∠BAD=900且AD∥BC

∴∠FBA=1800－∠BAD=900

又∵AD∥BC

∴∠DAE=∠F（两直线平行内错角相等）

∠AED=∠FEC（对顶角相等）

DE=EC（E点是CD的中点）

∴△ADE≌△FCE（AAS）

∴AE=FE

在△ABF中∠FBA=900且AE=FE

∴BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∴在△FEB中∠EBF=∠FEB

∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE

例16、已知：

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：

线段AE和BE之间有怎样的大小关系？

AE=BE，理由如下：

延长AE，与BC延长线交于点F．

∵DE=CE，∠AED=∠CEF，

∠DAE=∠F

∴△ADE≌△FCE

∴AE=EF

∵AB⊥BC，∴BE=AE．

例17、已知：

梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．

如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点．

∵DE=EC，AD∥BC

∴△DEM≌△CNE

四边形ABNM是平行四边形

∵EF⊥AB，

∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×

EF=15cm2．

【模拟试题】

（答题时间：

40分钟）

1.若等腰梯形的锐角是60°

，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.

2.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°

，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）

A.19B.20C.21D.22

**3.如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）

A.130B.140C.150D.160

*4.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.

5.如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°

，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

6.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.

7.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.

**8.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，

（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？

（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？