浙江省中考《第17讲线段角相交线和平行线》复习讲解Word文档下载推荐.docx
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点到直线的距离
直线外一点到这条直线的____________________的长度，叫做点到直线的距离．
4.角的平分线与线段的垂直平分线
角的平分线
线段的垂直平分线
性
质
角的平分线上的点到角两边的距离．
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离．
判定
角的内部到角的两边距离相等的点在_上．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．
5.平行线
平行线的概念
在同一平面内，的两条直线叫做平行线．
平行公理
经过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行．
c
平行公理的推论
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也．
平行线的判定
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行．
平行线的性质
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补．
平行线间的距离
过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，__________的长度叫做两条平行线间的距离．
两条平行线间的距离处处____________________．
6.命题
命题的概念
判断一件事情的句子叫做命题．
a
命题的分类
命题分为命题和命题．
命题的组成
命题由和两个部分组成．
基本
思想
方程思想：
在解答有关线段或角的计算问题时，找出线段之间的关系或角之间的关系，列方程来解答．
方法
“两点之间线段最短”、“垂线段最短”在求几何问题最值时经常用到．
1．（2017·
宁波）已知直线m∥n，将一块含30°
角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°
），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°
，则∠2的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．45°
D．50°
2．（2015·
金华）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．展开后测得∠1＝∠2
B．展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．测得∠1＝∠2
D．展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
3．（2017·
台州）如图，已知直线a∥b，∠1＝70°
，则∠2＝____________________.
第3题图第4题图
4．（2016·
金华）如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°
，∠C＝120°
，则∠AED的度数是____________________．
【问题】下列图形中，AB∥CD.
（1）能使∠1＝∠2成立的是________．
（2）若∠1＝45°
，你能求出各图形中∠2的度数吗？
若能，直接写出答案．
（3）把“AB∥CD”改为“∠1＝∠2”，那么各图形中AB∥CD还成立吗？
（4）请你结合
（1）、
（2）、（3）的解答，回答该题用了哪些知识？
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理角、相交线和平行线的相关知识．
类型一 线段、角的计算
（1）已知E、F两点把线段AB分成2∶3∶4三部分，D是线段AB的中点，FB＝12，求DF的长及AE∶AD；
（2）在同一平面上，若∠AOB＝71°
，∠BOC＝15°
，OE是∠AOC的平分线，则∠AOE的度数是____________________．
【解后感悟】在解答有关线段、角的计算问题时，一般要注意以下几个方面：
①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；
②学会观察图形，找出线段或角之间的关系，列算式或方程来解答．
1．
（1）在直线l上，线段AB＝7cm，BC＝3cm，D是AC的中点，求DB的长度．
（2）如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，2∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°
，求∠EOC的度数．
类型二 相交线
（1）（2017·
嵊州模拟）如图所示的仪器中，OD＝OE，CD＝CE.小州把这个仪器往直线l上一放，使点D、E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，他这样判断的理由是（ ）
A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
（2）（2017·
苏州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是________．
【解后感悟】
（1）思考问题要全面是正确解答本题的关键；
（2）角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
2．
（1）（2015·
黄冈）如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，∠B＝30°
，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为（ ）
A．6B．6
C．9D．3
（2）（2016·
湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8B．6C．4D．2
（3）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①∠1＝∠3；
②如果∠2＝30°
，则有AC∥DE；
③如果∠2＝30°
，则有BC∥AD；
④如果∠2＝30°
，必有∠4＝∠C.其中正确的有____________________（只填序号）；
（4）（2017·
深圳市罗湖区模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于
BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连结CD.
若CD＝AC，∠A＝50°
，则∠ACB的度数为____________________．
类型三 平行线
（1）如图，下列条件中：
①∠B＋∠BCD＝180°
；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有________（填写所有正确的序号）．
启东模拟）如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°
，则∠α的度数是________．
（3）（2015·
泰州）如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°
，则∠2＝________°
.
（1）根据图形联想平行线的判定；
（2）解题的关键：
若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用；
（3）平行线的性质和判定的互逆运用，两条直线平行时，只有被第三条直线所截时才能揭示图形中的数量关系，故延长AE进行角的等量转换．
3．
（1）如图所示，将含有30°
角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1＝35°
A．10°
B．20°
C．25°
D．30°
（2）（2017·
温州模拟）如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°
，则∠2的度数是（ ）
A．50°
B．45°
C．35°
（3）（2017·
河南模拟）如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝120°
，∠3＝40°
，那么∠2的度数为____________________．
类型四 命题与逆命题
（1）（2017·
奉化模拟）对于命题“如果∠1＋∠2＝90°
，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°
，∠2＝40°
B．∠1＝50°
，∠2＝50°
C．∠1＝40°
D．∠1＝45°
，∠2＝45°
（2）对于同一平面的三条直线，给出下列5个论断：
①a∥b；
②b∥c；
③a⊥b；
④a∥c；
⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题，并说明理由．
已知：
________，结论_______________________________________________________．
（1）理解满足已知条件，但不满足结论的例子是解决本题的关键；
（2）本题是命题的叙述形式，利用平行线的判定方法解题．
4．
（1）（2017·
福建）下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ）
A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形
B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形
D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
杭州模拟）选择用反证法证明“已知：
在△ABC中，∠C＝90°
，求证：
∠A，∠B中至少有一个角不大于45°
”时，应先假设（ ）
A．∠A≤45°
，∠B≤45°
B．∠A≥45°
，∠B≥45°
C．∠A＜45°
，∠B＜45°
D．∠A＞45°
，∠B＞45°
类型五 综合与应用
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝3∠BOD＋20°
（1）求∠BOD的度数；
（2）以O为端点引射线OE、OF，射线OE平分∠BOD，且∠EOF＝90°
，求∠BOF的度数，并画图加以说明．
（1）本题利用邻补角得出关于∠BOD的方程是解题关键；
（2）OE⊥OF有两种情况，以防遗漏．
5．
（1）（2017·
杭州市江干区模拟）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含45°
角的三角尺ADE固定不动，将含30°
角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：
当∠BAD＝15°
时，BC∥DE.则∠BAD（0°
＜∠BAD＜180°
）其他所有可能符合条件的度数为____________________．
嘉兴模拟）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1＋∠2＝90°
①试说明：
AB∥CD；
②若∠2＝25°
，求∠BFC的度数．
【课本改变题】教材母题－－浙教版七下，第29页第13题
小明在做课本“目标与评定”中的一道题：
如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？
（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；
②说出该画法依据的定理．
（2）小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：
①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a、b的交点构成等腰三角形（其中交点为顶角的顶点），画出该等腰三角形在画板内的部分．
②在图3的画板内，作出“直线a、b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（在画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．
请你帮小明完成上面两个操作过程．（必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内）
【方法与对策】本题是借助实际问题场景的几何基本作图题．由于题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．涉及到的几何基本作图包括：
（1）过直线外一点作直线的平行线，
（2）作线段的垂直平分线；
涉及到的考点包括：
（1）平行线的性质，
（2）等腰三角形的性质，（3）三角形内角和定理，（4）垂直平分线的性质等．课本改变题是当前中考命题的一种趋势，学习中要重视课本例题和习题．
【忽视平行线的性质的前提条件】
如图，已知直线a、b被直线c所截，则①∠1＝∠2；
②∠1＝∠3；
③∠2＝∠3；
④∠3＋∠4＝180°
中，正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案
【考点概要】
1．一 短 长度 2.射线 射线 90°
相等 180°
相等 3.一 垂线段 垂线段 4.相等 相等 角的平分线 垂直平分线 5.不相交 一 平行 垂线段相等 6.真 假 题设 结论
【考题体验】
1．D 2.C 3.110°
4.80°
【知识引擎】
【解析】
（1）根据平行线的性质对各选项分析判断．①由AB∥CD可得∠1＋∠2＝180°
，故错误；
②∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，又∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2，故正确；
③由AC∥BD得到∠1＝∠2，由AB∥CD不能得到，故错误；
④∵AB∥CD，∴∠1＝∠A，只有AD∥BC才可以有∠1＝∠2，故错误．
（2）①由AB∥CD可得∠1＋∠2＝180°
，∴∠2＝135°
②∠2＝45°
.（3）②仍可以成立．（4）本题主要用到了“对顶角相等”，“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”的知识．
【例题精析】
例1
（1）设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x.∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x.∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3.又∵AF＝2x＋3x＝5x，∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×
3＝1.5.∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9.
（2）如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝56°
，∠AOE＝
∠AOC＝28°
，如果射线OC在∠AOB的外部，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝86°
∠AOC＝43°
.故答案为：
28°
或43°
.
例2
（1）C；
（2）过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°
，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，∴△BDC的面积是
×
DE×
BC＝
3×
10＝15.故答案为：
15.
例3
（1）①③④；
（2）18°
或126°
（3）如图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°
，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°
，∴∠2＝180°
－∠3＝180°
－40°
＝140°
例4
（1）D；
（2）本题答案不唯一，已知：
a∥b，b∥c，结论a∥c；
b∥c，a⊥b，结论a⊥c；
a∥b，a∥c，结论b∥c；
b∥c，a∥c，结论a∥b；
b∥c，a⊥c，结论a⊥b；
a⊥b，a⊥c，结论b∥c.
例5
（1）由邻补角互补，得∠AOD＋∠BOD＝180°
，即3∠BOD＋20°
＋∠BOD＝180°
，解得∠BOD＝40°
（2）如图：
由射线OE平分∠BOD，得∠BOE＝
∠BOD＝
40°
＝20°
，由角的和差，得∠BOF′＝∠EOF′＋∠BOE＝90°
＋20°
＝110°
，∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝90°
－20°
＝70°
【变式拓展】
1．
（1）①当点C在线段AB延长线上，如图1：
有AC＝AB＋BC＝7＋3＝10.∵D是AC的中点，∴AD＝
AC＝5.∴DB＝AB－AD＝7－5＝2（cm）．
②当点C在线段AB上，如图2：
有AC＝AB－BC＝7－3＝4.∵D是AC的中点，∴AD＝CD＝
AC＝2.∴DB＝DC＋CB＝2＋3＝5（cm）．综上，DB的长度为2cm或5cm.
（2）设∠AOB为x，则∠BOC为（180°
－x），∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝
∠AOB，则可得∠DOB＝
x，∵2∠BOE＝∠EOC，∴∠BOE＝
∠BOC＝
（180°
－x），∵∠DOE＝∠DOB＋∠BOE＝70°
，则可得：
x＋
－x）＝70°
，解得x＝60°
，∴∠BOC＝180°
－60°
＝120°
，∴∠EOC＝
120°
＝80°
. 2.
（1）C
（2）C （3）①②④ （4）105°
3.
（1）C
（2）D（3）80°
4.
（1）A
（2）D 5.
（1）45°
，60°
，105°
，135°
（2）①略；
②115°
【热点题型】
【分析与解】
（1）方法一：
利用平行线的性质．①如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即为直线a，b所成角的度数；
②依据：
两直线平行，同位角相等；
方法二：
利用三角形内角和定理．①如图2，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，则180°
－∠1－∠2即为直线a，b所成角的度数；
三角形内角和为180°
（2）①如图3，以P为圆心，任意长为半径画弧，分别交直线b，PC于点B，D，连结BD并延长交直线a于点A，则ABPQ就是所求作的图形；
②如图3，作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，则EF就是所求作的线．
【错误警示】∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2.直线a、b不一定平行，∴②③④不一定成立．故答案为A.
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