中考数学通用复习专题学案数学思想方法Word文档下载推荐.docx
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A.2B.3C.4D.5
【解析】如图所示:
将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,
则n可以为3,4,5,
故n≠2.
【全解】A.
【技法梳理】利用矩形的性质以及正方形的性质,结合勾股定理得出分割方法即可.
3.（2015·
宁夏）实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是（）.
（第3题）
A.a+b=0B.b<
a
C.ab>
0D.|b|<
|a|
【小结】利用数形结合的思想求解更形象直观.数形结合的思想方法是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.本题通过图形语言,发现问题结论,实现数与形的完美结合.
类型三方程与函数的思想方法
典例3（2015·
安徽）如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是（）.
【全解】①点P在AB上时,点D到AP的距离为AD的长度,②点P在BC上时,根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD,再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的表达式,从而得解.具体过程如下:
①点P在AB上时,0≤x≤3,点D到AP的距离为AD的长度,是定值4.
②点P在BC上时,3<
x≤5,
∵∠APB+∠BAP=90°
∠PAD+∠BAP=90°
∴∠APB=∠PAD.
又∠B=∠DEA=90°
∴△ABP∽△DEA.
纵观各选项,只有B选项图形符合.
故选B.
4.（2015·
山东德州）如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF=2
.
以上结论中,你认为正确的有（）个.
（第4题）
A.1B.2C.3D.4
【小结】本类题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的判定与性质,难点在于根据点的位置分情况讨论.对于一些需要用运动、变化的观点,分析研究问题中的数量关系的问题,我们可以通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究,从而使问题获得解决.这些都体现了方程与函数的思想方法.
类型四分类讨论的思想方法
典例4（2015·
江苏无锡）如图
（1）,已知点A（2,0）,B（0,4）,∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P,Q关于直线OC的对称点M,N.设P运动的时间为t（0<
t<
2）秒.
（1）求C点的坐标,并直接写出点M,N的坐标（用含t的代数式表示）;
（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.
①试求S关于t的函数表达式;
②在图
（2）的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回故S是否有最大值?
若有,写出S的最大值;
若没有,请说明理由.
（1）
（2）
【全解】
（1）如图
（1）,过点C作CF⊥x轴于点F,CE⊥y轴于点E,
由题意,易知四边形OECF为正方形,设正方形边长为x.
∵CE∥x轴,
∴OP=2OQ.
∵P（0,2t）,
∴Q（t,0）.
∵对称轴OC为第一象限的角平分线,
∴对称点坐标为:
M（2t,0）,N（0,t）.
（2）①当0<
t≤1时,如图
（2）所示,点M在线段OA上,重叠部分面积为S△CMN.
当1<
2时,如图（3）所示,点M在OA的延长线上,设MN与AB交于点D,则重叠部分面积为S△CDN.
（3）
设直线MN的表达式为y=kx+b,将M（2t,0）,N（0,t）代入得
②画出函数图象,如图（4）所示:
（4）
观察图象,可知当t=1时,S有最大值,最大值为1.
【技法梳理】
（1）如图
（1）,作辅助线,由比例式求出点C的坐标;
（2）①所求函数表达式为分段函数,需要分类讨论.
图
（2）,图（3）表示出运动过程中重叠部分（阴影）的变化,分别求解;
②画出函数图象,由两段抛物线构成.观察图象,可知当t=1时,S有最大值.
5.（2015·
四川泸州）已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根.
（1）若（x1-1）（x2-1）=28,求m的值;
（2）已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
【小结】分类讨论是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点,然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法.分类讨论能克服思维的片面性,防止漏解.
类型一
江苏连云港）若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是.
山东东营）
【探究发现】如图
（1）,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°
EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立;
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE,EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上（B,C除外）任意一点时（其它条件不变）,结论AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;
“点E时线段BC延长线上的任意一点”;
“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在图
（2）中画出图形,并证明AE=EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在图（3）中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC∶S△AEF的值.
类型二
（第6题）
A.y1>
y2B.y1=y2
C.y1<
y2D.以上说法都不对
（第7题）
A.x>
2B.x<
-2
C.-2<
x<
0或0<
2D.-2<
0或x>
2
8.（2015·
黑龙江黑河）如图,在在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形AOB,∠OAB=90°
直角边AO在x轴上,且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°
得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°
得到等腰三角形A2OB2,且A2O=2A1O,…,依此规律,得到等腰直角三角形A2015OB2015,则点A2015的坐标为.
（第8题）
9.（2015·
四川遂宁）如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:
（第9题）
sin2A1+sin2B1=;
sin2A2+sin2B2=;
sin2A3+sin2B3=.
（1）观察上述等式,猜想:
在Rt△ABC中,∠C=90°
都有sin2A+sin2B=.
（2）如图（4）,在Rt△ABC中,∠C=90°
∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.
类型三
10.（2015·
安徽）如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°
将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为（）.
（第10题）
11.（2015·
湖北孝感）正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图的方式放置.点A1,A2,A3,…,和点C1,C2,C3,…,分别在直线y=x+1和x轴上,则点B6的坐标是.
（第11题）
（第12题）
13.（2015·
四川广安）如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,☉O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6.若☉O2绕点P按顺时针方向旋转360°
在旋转过程中,☉O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）.
（第13题）
A.3次B.4次
C.5次D.6次
类型四
14.（2015·
甘肃兰州）如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是边长为4的正方形,平行于对角线BD的直线l从O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线l与正方形没有交点为止.设直线l扫过正方形OBCD的面积为S,直线l运动的时间为t（秒）,下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）.
（第14题）
15.（2015·
湖北襄阳）如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C（3,0）,D（3,4）,E（0,4）.点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒.
（1）填空:
点A坐标为;
抛物线的表达式为
.
（2）在图
（1）中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?
（3）在图
（2）中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?
最大值是多少?
（第15题）
参考答案
【真题精讲】
1.A解析:
要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.如图.
把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度.
∵圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,
∴AB=2dm,BC=BC'
=2dm.
∴AC2=22+22=4+4=8.
∴AC=2
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4cm.
2.-1.5解析:
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
方程两边都乘以（x+2）（x-2）,
得x（x+2）-1=（x+2）（x-2）,解这个方程,得x=-1.5.
经检验,x=-1.5是原方程的解.
3.D解析:
根据数轴,a<
0,b>
0,且|a|>
|b|.
A.∵a<
|b|,
∴a+b<
0,故本选项错误.
B.应为a<
b,故本选项错误.
C.∵a<
0,
∴ab<
0.故本选项错误.
4.C解析:
∵FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD,BC的一部分,
∴FH∥CG,EH∥CF.
∴四边形CFHE是平行四边形.
由翻折的性质得,CF=FH,
∴四边形CFHE是菱形,故①正确.
∴∠BCH=∠ECH.
∴只有∠DCE=30°
时EC平分∠DCH,故②错误.
点H与点A重合时,设BF=x,则AF=FC=8-x.
在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,
即42+x2=（8-x）2,
解得x=3,
点G与点D重合时,CF=CD=4,
∴BF=4.
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确.
过点F作FM⊥AD于M,则ME=（8-3）-3=2,
由勾股定理得,EF=
=
=2
故④正确.
综上所述,结论正确的有①③④共3个.
5.
（1）6
（2）17
解析:
（1）∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根,
∴x1+x2=2（m+1）,x1·
x2=m2+5.
∴（x1-1）（x2-1）=x1·
x2-（x1+x2）+1=m2+5-2（m+1）+1=28,
解得m=-4或m=6.
当m=-4时原方程无解,
∴m=6.
（2）当7为底边时,此时方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根,
∴Δ=4（m+1）2-4（m2+5）=0,
解得m=2.
∴方程变为x2-6x+9=0,
解得:
x1=x2=3.
∵3+3<
7,
∴不能构成三角形.
当7为腰时,设x1=7,
代入方程,得49-14（m+1）+m2+5=0,
解得m=10或4,
当m=10时方程变为x2-22x+105=0,
解得x=7或15.
∵7+7<
15,不能组成三角形.
当m=4时方程变为x2-10x+21=0,
解得x=3或7,
此时三角形的周长为7+7+3=17.
【课后精练】
1.152.-3
3.
设x=0.
则x=0.4545…,①
根据等式性质得100x=45.4545…,②
由②-①得100x-x=45.4545…-0.4545…,
即100x-x=45,
解方程,得x=
4.【数学思考】
如图
（1）,在AB上截取AG,使AG=EC,连接EG,
（第4题
（1））
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°
∵AG=EC,
∴BG=BE.
∴△BEG是等边三角形,∠BGE=60°
∴∠AGE=120°
∵FC是外角的平分线,
∠ECF=120°
=∠AGE.
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°
+∠GAE.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°
+∠FEC,
∴∠GAE=∠FEC.
在△AGE和△ECF中,
∴△AGE≌△ECF（ASA）.
∴AE=EF;
【拓展应用】
如图
（2）:
作CH⊥AE于点H,
（第4题
（2））
∴∠AHC=90°
由【数学思考】,得AE=EF,
又∠AEF=60°
∴△AEF是等边三角形.
∴△ABC∽△AEF.
∵CE=BC=AC,△ABC是等边三角形,
∴∠CAH=30°
AH=EH.
5.A6.A7.D
8.（-22015,0）
9.111
（1）1
（2）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
10.C解析:
设BN=x,由折叠的性质可得
DN=AN=9-x,
∵D是BC的中点,
∴BD=3.
在Rt△ABC中,x2+32=（9-x）2,
解得x=4.
故线段BN的长为4.
11.（63,32）解析:
∵直线y=x+1,x=0时,y=1,
∴A1B1=1,点B2的坐标为（3,2）.
∴A1的纵坐标是:
1=20,A1的横坐标为0=20-1.
∴A2的纵坐标为1+1=21,A2的横坐标为1=21-1.
∴A3的纵坐标为2+2=4=22,A3的横坐标为1+2=3=22-1.
∴A4的纵坐标为4+4=8=23,A4的横坐标为1+2+4=7=23-1.
即点A4的坐标为（7,8）.
据此可以得到An的纵坐标为2n-1,横坐标为2n-1-1.
即点An的坐标为（2n-1-1,2n-1）.
∴点A6的坐标为（25-1,25）.
∴点B6的坐标为（26-1,25）即（63,32）.
解得k=-1,b=1.
∴直线AC的表达式为y=-x+1.
13.B解析:
如图,☉O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次.
14.D
15.
（1）∵抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C（3,0）,D（3,4）,E（0,4）,点A在DE上,
∴点A坐标为（1,4）.
设抛物线的表达式为y=a（x-1）2+4,
把C（3,0）代入抛物线的表达式,
可得a（3-1）2+4=0,解得a=-1.
故抛物线的表达式为y=-（x-1）2+4,
即y=-x2+2x+3;
（2）依题意,有OC=3,OE=4,
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