中考数学专题复习等腰三角形通用doc.docx
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中考数学专题复习等腰三角形通用doc
中考数学专题复习——等腰三角形
一．选择题
1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50o，则这个等腰三角形的顶角的度数为
（）
A．50oB．80oC．65o或50oD．50o或80o
2．（大庆市）如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点
F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：
①△BDF是等腰三角形；②
DFECFE；③DE是△ABC的中位线，成立的有（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
A
DE
BC
F
3．（大庆市）如图，在△ABC中，AC
BCAB，点P为△ABC所在平面内一点，
且点
P
与
△ABC
的任意两个顶点构成
均是等腰三角形，则满
△PAB，△PBC，△PAC．．
足上述条件的所有点P的个数为（）
C
AB
A．3B．4C．6D．7
4．（2020四川内江）如图，在Rt△ABC中，∠C
90o，三边分别为a，b，c，
则cosA等于（
）
B
c
a
A
C
A．a
B．a
C．b
D．b
b
c
b
a
c
5．（2020台湾）如图，ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，CD=DE。
若A=40，ABD：
DBC=3：
4，则BDE=？
（）
A
D
BC
E
（A）25（B）30（C）35（D）40
6．（2020湖北黄石）．如图，在等腰三角形ABC中，ABC
120o，点P是底
边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，若
PM
PN的最小值为2，则△ABC的周长是（
）
B
M
N
A
P
C
A．2
B．23
C．4
D．423
7.（2020安徽）如图，在△ABC中，ABAC5，BC6，点M为BC的中点，
MN
AC于点N
，则MN等于（
）
A．6
B．9
C．12
D．16
5
5
5
5
8．（2020新疆乌鲁木齐市）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长
为（）
A．9cmB．12cmC．15cmD．12cm或15cm
9．（2020云南省）已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等
腰三角形的周长是（
）
A．9
B．12
C．15
D．12或15
10．（2020山东济宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点
A逆时针旋转后，能与△ACP重合，如果AP
3，那么PP的长等于（
）
A．3
2
B．2
3
C．4
2
D．3
3
二．填空题
1．（08山东省日照市）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧
分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于
点Q，连结PQ．以下五个结论：
AD
F
E
BC
①AD=BE；
②PQ∥AE；
③AP=BQ；
④DE=DP；
⑤∠AOB=60°．
恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）．
2．（山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角
三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形
A1BB1，，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝
________。
B2
A1
A
OB
B1
３．（2020湖北孝感）如图，AB=AC，BAC1200，AB的垂直平分
线交
BC于点D，那么ADC。
４．（2020浙江湖州）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角
为度.
5．（08山东省日照市）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
B
OD
PQ
ACE
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；
④DE=DP；
⑤∠AOB=60°．
恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）（答案）．
6．（2020江苏南京）若等腰三角形的一个外角为
70°，则它的底角为
▲度.
7．（2020江苏宿迁）等腰三角形的两边长分别是
3和7，则其周长为
______．
8.（2020江西）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度
数是．
35°
9．（湖南省邵阳市）如图（十一），已知△ABC中，
AB
AC，AD平分
BAC，点
E为
AC的中点，请你写出一个正确的结论：
．
A
E
B
C
D
图（十一）
10.（2020湖南益阳市）如图5，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F
2
是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm，则图中阴影部分的面积是
2
cm.
A
E
F
BC
D
图5
11．（2020广东肇庆市）如图3，P是∠AOB的角平分线上的一点，
PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一
PC⊥OA于点
C，
对即可）
.
三．简答题
1.（08浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一
命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线
描述如下：
文文：
“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；
彬彬：
“作△ABC的角平分线AD”．
数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：
“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”
（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．
（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．
2.（08浙江宁波）
（1）如图1，△ABC中，∠C90o，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC
分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的两个三角形如图2、图3所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？
若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
已知：
如图，在△ABC
中，BC．
求证：
ABAC．
A
BC
D
3.（沈阳市）已知：
如图①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，
BACDAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
（1）求证：
①BECD；②△AMN是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，
得到图②所示的图形．请直接写出
（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在
（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：
△PBD∽△AMN．
C
C
N
N
E
D
A
B
M
M
B
A
D
E
图①
图②
4.（2020广东）
（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结
BC．
求∠AEB的大小；
C
B
B
C
E
D
O
A
O
A
图7
D
图8
（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O
旋转（OAB和OCD不能重叠），求∠AEB的大小.
5.（2020湖南益阳）如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
（1）求∠EDB的度数；
A
（2）求DE的长.
ED
BC
6.（2020新疆乌鲁木齐市）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四
个等式：
①ABDC，②BECE，③B
C，④BAE
CDE．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出
△AED是等腰三角形．请你试着
完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）A
D
E
已知：
求证：
△AED是等腰三角形．
BC
7.（2020湖北宜昌市）如图，某种雨伞的伞面可以看成由12块完全相同的等腰三
角形布料缝合而成.量得其中一个三角形OAB的边OA=OB=56cm.
（1）求∠AOB的度数；
（2）求△OAB的面积.（不计缝合时重叠部分的面积）
等腰三角形答案
一．选择题
1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.C8.C9.C10.A
二.填空题
1.①②③⑤．2.2n2
3.600
4.405.
①②③⑤6.110°或35°7.178.
125o9.答案不唯一．例如：
B
C10.611.PC=PD
三.
解答题
1.
解：
（1）只要合理即可．
（2）证明：
作△ABC的角平分线AD，则BAD
CAD，
又Q
BC，ADAD，
△ABD≌△ACD，ABAC．
2.解：
（1）如图，直线CM即为所求3分（作图正确，不写结论不扣分）
（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，
4分
分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132o和84o．
5分
图3不能分割成两个等腰三角形．
6分
3.证明：
（1）①QBACDAEBAECAD
QABAC，ADAE
△ABE≌△ACD
BECD···························
3分
②由△ABE≌△ACD得ABE
ACD，BE
CD
QM，N分别是BE，CD的中点，
BM
CN
············
4分
又QAB
AC
△ABM≌△ACN
AM
AN，即△AMN为等腰三角形
···············
6分
（2）
（1）中的两个结论仍然成立．·················
8分
（3）在图②中正确画出线段PD
由
（1）同理可证△ABM≌△ACN
CAN
BAM
BAC
MAN
又QBACDAE
MAN
DAE
BAC
△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形
·······10分
PBD
AMN，
PDBADE
ANM
△PBD∽△AMN12分
C
B
4.解：
（1）如图7.
E
5
∵△BOC和△ABO都是等边三角形，
3
1
且点O是线段AD的中点，
D
4
2
6
O
A
图7
∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,
∴∠4=∠
5.
又∵∠4+∠5=∠2=60°,
∴∠4=30°
同理，∠6=30°.
∵∠AEB=∠4+∠6,
∴∠AEB=60°.
（2）如图8.
∵△BOC和△ABO都是等边三角形，
∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°，又∵OD=OA,
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴∠4=∠5，∠6=∠7.
∵∠DOB=∠1+∠3,
∠AOC=∠2+∠3,
B
C
5
7
E
8
3
2
6
1
O
A
4
图8
D
∴∠DOB=∠AOC.
∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°,
∴2∠5=2∠6,
∴∠5=∠6.
又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，
∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，
∴∠AEB＝60°.
5.
解：
（1）∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝
1
2
ABC40
（2）∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点
∵DE∥BC，∴E为AB的中点，
∴DE＝1AB6cm2
6.证明：
在△ABE和△DCE中，
B
C
QAEB
DEC
，△ABE≌△DCE
AB
DC
AE
DE，即△AED是等腰三角形
7.解：
（1）∠AOB=360°÷12=30°
（2）在Rt△BOD中，∠AOB=30°，∴BD=1OB=28.
1
1
2
2
∴S=
×OA×BD=
×56×28=784（cm）
△OAB
2
2
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