高考数学大二轮总复习与增分策略 专题五 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直练习 理Word格式.docx

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B．若a∥α，b⊂α，则a∥b

C．若a∥α，b∥α，则a∥b

D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．

（2）线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α，故A错；

对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；

平行于同一个平面的两条直线的位置关系：

平行、相交、异面都有可能，故C错；

垂直于同一个平面的两条直线是平行的，故D正确，故选D.

思维升华　解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．

跟踪演练1　设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m∥n，m∥β，则n∥β；

④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.

其中真命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　①因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以①正确；

②当m平行于两个相交平面α，β的交线l时，也有m∥α，m∥β，所以②错误；

③若m∥n，m∥β，则n∥β或n⊂β，所以③错误；

④平面α，β与直线m的关系如图所示，必有α⊥β，故④正确．

热点二　空间平行、垂直关系的证明

空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．

例2　（2015·

广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.

（1）证明：

BC∥平面PDA；

（2）证明：

BC⊥PD；

（3）求点C到平面PDA的距离．

（1）证明　因为四边形ABCD是长方形，

所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，

所以BC∥平面PDA.

（2）证明　因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥平面PDC，

因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.

（3）解　如图，取CD的中点E，连接AE和PE.

因为PD＝PC，所以PE⊥CD，

在Rt△PED中，PE＝

＝

.

因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PDC，

所以PE⊥平面ABCD.

由

（2）知：

BC⊥平面PDC，

由

（1）知：

BC∥AD，

所以AD⊥平面PDC，

因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.

设点C到平面PDA的距离为h，

因为V三棱锥C—PDA＝V三棱锥P—ACD，

所以

S△PDA·

h＝

S△ACD·

PE，

即h＝

，

所以点C到平面PDA的距离是

思维升华　垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

（1）证明线线平行常用的方法：

一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；

二是利用平行四边形进行平行转换；

三是利用三角形的中位线定理证线线平行；

四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

（2）证明线线垂直常用的方法：

①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；

②勾股定理；

③线面垂直的性质：

即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

跟踪演练2　如图，在四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE＝2ED.

（1）求证：

平面PCD⊥平面PBC；

（2）求证：

PB∥平面AEC.

证明　

（1）因为AD⊥CD，AD∥BC，

所以CD⊥BC，又PB⊥CD，PB∩BC＝B，

PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，

所以CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PBC.

（2）连接BD交AC于点O，连接OE.

因为AD∥BC，所以△ADO∽△CBO，

所以DO∶OB＝AD∶BC＝1∶2，又PE＝2ED，

所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

热点三　平面图形的折叠问题

平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．

例3　如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°

，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥P—ABFED，且PB＝

BD⊥PA；

（2）求四棱锥P—BFED的体积．

（1）证明　∵点E，F分别是边CD，CE的中点，

∴BD∥EF.

∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC.

∴EF⊥AC.∴EF⊥AO，EF⊥PO，

∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO＝O，

∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA，

又PA⊂平面POA，∴BD⊥PA.

（2）解　设AO∩BD＝H.连接BO，∵∠DAB＝60°

∴△ABD为等边三角形，

∴BD＝4，BH＝2，HA＝2

，HO＝PO＝

在Rt△BHO中，BO＝

在△PBO中，BO2＋PO2＝10＝PB2，∴PO⊥BO.

∵PO⊥EF，EF∩BO＝O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，

∴PO⊥平面BFED，

梯形BFED的面积S＝

（EF＋BD）·

HO＝3

∴四棱锥P—BFED的体积

V＝

S·

PO＝

×

3

＝3.

思维升华　

（1）折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；

（2）存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．

跟踪演练3　如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°

，∠BAC＝90°

，AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60°

的二面角B—AD—C，如图2.

平面ABD⊥平面BCD；

（2）设点E为BC的中点，BD＝2，求异面直线AE和BD所成的角的大小．

（1）证明　

（1）因为折起前AD是BC边上的高，

则当△ABD折起后，AD⊥CD，AD⊥BD，

又CD∩BD＝D，则AD⊥平面BCD.

因为AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.

（2）解　如图，取CD的中点F，连接EF，则EF∥BD，

所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角．

连接AF，DE，由BD＝2，则EF＝1，AD＝2

，CD＝6，DF＝3.

在Rt△ADF中，AF＝

在△BCD中，由题设∠BDC＝60°

则BC2＝BD2＋CD2－2BD·

CD·

cos∠BDC＝28，

即BC＝2

，从而BE＝

BC＝

cos∠CBD＝

＝－

在△BDE中，

DE2＝BD2＋BE2－2BD·

BE·

cos∠CBD＝13，

在Rt△ADE中，AE＝

＝5.

在△AEF中，cos∠AEF＝

因为两条异面直线所成的角为锐角或直角，

所以异面直线AE与BD所成的角的大小为60°

1．不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是（　　）

A．m⊥n⇒m⊥βB．m⊥n⇒α⊥β

C．α∥β⇒m∥βD．m∥n⇒α∥β

押题依据　空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点．此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力．

答案　C

解析　构造长方体，如图所示．

因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直．所以选项A，B都是假命题．

CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题．

“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.

2．如图1，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示．

A1E⊥FP；

（2）若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；

若不存在，请说明理由．

押题依据　以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式．

（1）证明　在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.

图1

因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°

，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.

所以在图2中A1E⊥EF，

BE⊥EF.

故∠A1EB为二面角A1—EF—B的一个平面角．

因为平面A1EF⊥平面BEFC，

所以∠A1EB＝90°

，即A1E⊥EB.

因为EF∩EB＝E，

所以A1E⊥平面BEFC.

因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.

（2）解　在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．

理由如下：

如图1，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，

所以FP∥BE.

如图2，取A1P的中点M，连接MK，

图2

因为点K为棱A1F的中点，

所以MK∥FP.

因为FP∥BE，所以MK∥BE.

因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，

所以MK∥平面A1BE.

故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．

A组　专题通关

1．（2015·

湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：

l1，l2是异面直线，q：

l1，l2不相交，则（　　）

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

答案　A

解析　由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以p⇒q；

由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q⇏p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件．故选A.

2．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（　　）

A．充要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

解析　若a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，a∥b，则l可以与平面α斜交，推不出l⊥α.若l⊥α，a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则l⊥a，l⊥b.∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件，故选C.

3．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（　　）

A．若m⊂α，n∥α，则n∥m

B．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β

C．若n⊥α，n⊥β，则α∥β

D．若m⊂α，n⊥α，则m⊥n

解析　A中，若m⊂α，n∥α，则n∥m或m，n异面．故不正确；

B，C，D均正确．故选A.

4．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（　　）

A．平行B．垂直

C．相交成60°

角D．异面且成60°

角

答案　D

解析　如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠ECD即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°

5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC

解析　因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，所以BD⊥CD，

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，

所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，

又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC，

又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D.

6．如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若

，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．

答案　平行

解析　由

，得MN∥BD.

而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，

所以MN∥平面BDC.

7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．（填序号）

①AC⊥BE；

②B1E∥平面ABCD；

③三棱锥E－ABC的体积为定值；

④直线B1E⊥直线BC1.

答案　①②③

解析　因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；

因B1D1∥平面ABCD，故②正确；

记正方体的体积为V，则VE－ABC＝

V，为定值，故③正确；

B1E与BC1不垂直，故④错误．

8．下列四个正方体图形中，点A，B为正方体的两个顶点，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________（写出所有符合要求的图形序号）．

答案　①③

解析　对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；

对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；

对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；

对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.

9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．

（1）AP∥平面C1MN；

（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN.

证明　

（1）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，

所以AM＝PC1.

又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，

所以四边形AMC1P为平行四边形．

从而AP∥C1M，

又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，

所以AP∥平面C1MN.

（2）连接AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD.

又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MN∥AC.

所以MN⊥BD.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，

又MN⊂平面ABCD，

所以DD1⊥MN，

而DD1∩DB＝D，

DD1，DB⊂平面B1BDD1，

所以MN⊥平面B1BDD1，

又MN⊂平面C1MN，

所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.

10．（2015·

四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；

（3）证明：

直线DF⊥平面BEG.

（1）解　点F，G，H的位置如图所示．

（2）解　平面BEG∥平面ACH，

证明如下：

因为ABCD—EFGH为正方体，

所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，

所以BC∥EH，BC＝EH，

于是BCHE为平行四边形．

所以BE∥CH，

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH.

同理BG∥平面ACH，

又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH.

（3）证明　连接FH，BD.

所以DH⊥平面EFGH.

因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.

又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD.

又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，

同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，

所以DF⊥平面BEG.

B组　能力提高

11．设a，b，c是空间中的三条直线，α，β是空间中的两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（　　）

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

解析　B中命题的逆命题为：

当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，是假命题．而A、C、D中命题的逆命题均为真命题，故选B.

12.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

答案　a或2a

解析　由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．

令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.

易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，

得

，即

整理得x2－3ax＋2a2＝0，

解得x＝a或x＝2a.

13．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝

BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：

①AB与DE所成角的正切值是

；

②AB∥CE；

③VB—ACE是

a3；

④平面ABC⊥平面ADC.

其中正确的是________．（填写你认为正确的序号）

答案　①③④

解析　作出折叠后的几何体的直观图如图所示：

∵AB＝

a，BE＝a，∴AE＝

a.

∴AD＝

＝a，∴AC＝

在△ABC中，cos∠ABC＝

∴sin∠ABC＝

∴tan∠ABC＝

∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．

连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，

∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，

AD⊂平面ABD，

∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，

∴CE⊥AB.故②错误．

三棱锥B—ACE的体积

S△BCE·

AD＝

a2×

a＝

，故③正确．

∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，

∴BC⊥AD，又BC⊥CD，AD∩CD＝D，

∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ACD.故答案为①③④.

14.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°

，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上．

BC⊥平面ACEF；

（2）当FM为何值时，AM∥平面BDE？

证明你的结论．

（1）证明　∵在等腰梯形ABCD中，

AB∥CD，AD＝DC＝a，∠ABC＝60°

∴△ADC是等腰三角形，且∠BCD＝∠ADC＝120°

∴∠DCA＝∠DAC＝30°

，∴∠ACB＝90°

，即BC⊥AC.

又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面ACEF.

（2）解　当FM＝

a时，AM∥平面BDE.

设AC∩BD＝N，连接EN，如图．

∵∠ACB＝90°

，∠ABC＝60°

，BC＝a，

∴AC＝

a，AB＝2a，∴CN∶NA＝1∶2，

∵四边形ACEF是平行四边形，∴EF＝AC＝

∵AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝NE，

∴AM∥NE，∴四边形ANEM为平行四边形，

∴FM∶ME＝1∶2，

∴FM＝

FE＝

AC＝

∴当FM＝