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亿元
全社会固定资产投资总额
运营公交车辆数
辆
公交营运总数
亿人次
城市交通干线噪音均值
公交车营运总里程
万公里
道路总长（公里）
公里
居民人均可支配收入
居民储蓄款余额
汽油（93号）年均价
元/升
存款准备金率
一年期存款基准利率
n1
欧II标准标准的私家车的数量
n2
欧III标准的私家车的数量
m1
欧II标准标准的公家车的数量
m2
欧III标准的公家车的数量
t
时间年号
s1
单位私家车年运行总数
s2
单位公家车年运行总数
a0b0c0
分别为国标II私家车的三种污染物排放标准
a1b1c1
分别为国标III私家车的三种污染物排放标准
a2b2c2
分别为国标II公家车的三种污染物排放标准
a3b3c3
分别为国标III公家车的三种污染物排放标准
五、模型的建立及求解
问题一的模型建立及求解：
主成分分析预测模型：
主成分分析是利用降维的思想,通过构造原始指标的适当的线性组合,以产生一系列互不相关的综合性指标,从中选出少数几个综合指标,并使它们含有尽可能多的原始指标所反映的信息,进而用这较少的几项综合性指标来刻画个体。
由于该方法具有消除指标之间的相关性而降维,以及指标权重确定的客观性（以各主成分方差贡献率作为指标的权重值）的特点,因而独具特色，并且特别适用于本问题的研究。
题中所给的历史数据并没有明确的指出影响该地区的私人汽车保有量的因素，因此，基于主成分分析法是建立在各个变量相关的基础上，本文通过对题目中所给的十一个变量的相关性分析，我们可以看到：
除去城市交通干线噪音均值这一因素与其它相关性为负外，其余的都有很强的相关性。
所以在这一模型中忽略这一因素对私家车保有量的影响。
即假定影响私家车保有量的只有十个因素。
模型的求解：
求解预处理：
首先对影响因素标准化，我们选择2007年的各项因素指标单位为1，其它年份的因素指标参照2007年均分别进行标准化，得到无量纲的各因素的标准比值如表所示。
表1.标准化结果
年份
人均国内生产总值（元）
全社会消费品零售总额（亿元）
全社会固定资产投资总额（亿元
运营公交车辆数（辆
公交营运总数（亿人次）
公交车营运总里程（万公里）
居民人均可支配收入（元）
居民储蓄款余额（亿元）
汽油（93号）年均价（元/升）
私人汽车保有量（万辆）
1996
0.3409
0.1561
0.2435
0.3246
0.3392
0.2267
0.2544
0.5427
0.154
0.3847
0.0274
1997
0.3865
0.1706
0.2903
0.3374
0.3731
0.2724
0.6187
0.1866
0.4475
0.0319
1998
0.4202
0.222
0.3529
0.3421
0.3081
0.254
0.3086
0.6615
0.2273
0.4553
0.0372
1999
0.4253
0.2454
0.4235
0.3526
0.4172
0.2695
0.3504
0.6736
0.2484
0.4671
0.0425
2000
0.5179
0.2825
0.4582
0.3566
0.4425
0.2799
0.4135
0.7194
0.2855
0.5358
0.0593
2001
0.5472
0.4368
0.5103
0.4268
0.4769
0.3478
0.4698
0.7832
0.3621
0.5672
0.0805
2002
0.5811
0.4944
0.586
0.5145
0.3527
0.5903
0.8296
0.4631
0.5535
0.115
2003
0.6803
0.5749
0.7205
0.5966
0.5188
0.5139
0.7249
0.8627
0.5799
0.6045
0.1673
2004
0.7483
0.6565
0.8123
0.6566
0.5435
0.6114
0.7988
0.8847
0.6922
0.6987
0.2566
2005
0.8144
0.7547
0.8744
0.7439
0.8091
0.7384
0.863
0.9478
0.8515
0.7812
0.4522
2006
0.8913
0.8773
0.947
0.8922
0.9038
0.9346
0.9023
0.9855
0.9874
0.9774
0.692
2007
1
通过matlab软件编程求解，得到：
特征值、特征向量以及方差贡献率。
表2.特征值及方差贡献率
主成分
特征值
方差贡献率
累积贡献率
10
9.69594
0.970
9
0.197832
0.020
0.990
8
0.0542041
0.005
0.995
7
0.0243657
0.002
0.997
6
0.0129806
0.001
0.998
5
0.00835554
0.999
4
0.00339498
3
0.00241619
2
0.000506459
6.5151e-006
方差贡献率是衡量各因子相对重要程度的指标，方差贡献率的大小，表示各个主成分的相对重要程度。
在统计学中，一般认为主成分的累积贡献率达到85%即可保留有效信息。
由表可知，第一，第二，第三主成分的累计贡献率已高达99.5%，说明前三个主成分提供了原始数据的足够信息，通过检验，提取前三个主成分。
故只需求出第一、第二、第三主成分
即可。
模型求解：
计算出三个特征值的特征向量
，再求出各个变量
，
在主成分
上的载荷。
根据表的数据，各个变量
上的载荷如下表所示：
表3.各变量在主成分上的载荷
0.9362
0.0036
-0.1495
1.0497
0.0152
-0.1812
1.1218
0.1030
-0.1409
1.2227
0.0874
-0.1962
1.3552
0.1132
-0.2120
1.5569
0.1400
-0.2037
1.7038
0.2329
-0.2225
2.0163
0.2587
-0.0679
2.2465
0.2559
-0.0103
2.5857
0.1349
-0.1072
2.9402
0.0018
-0.0343
3.1621
-0.0102
-0.0204
在matlab软件中分别作出各个变量
上的载荷与私有汽车保有量y的关系图：
主成分上的载荷与私有汽车保有量关系图
从图中的趋势大致可以看出，y与
大致呈二次关系，y与
大致呈线性关系。
于是，我们可以利用主成分分析建立多元线性回归模型：
式右端的
称为回归变量（自变量），
称为回归系数。
我们利用matlab数学软件包编程求解，得到回归模型为：
1996—2007年预测值（标准）
预测值
0.029308
0.085344
0.046481
0.16725
0.0021556
0.2585
0.039802
0.50207
0.057729
0.76906
0.096571
0.90599
利用matlab编程进行求解2010年该地区私人汽车保有量的预测值。
（程序见附录）
实际的私人汽车保有量和预测值标准化的比较如表6所示
私人汽车保有量和预测值标准化的比较
y标准
0.0293
0.0465
0.0022
0.0398
0.0577
0.0966
0.0853
0.1672
0.5021
0.7691
0.906
对该地区私人汽车保有量的预测
为了预测2010年的汽车保有量。
我们有两种处理方式：
①需要2010年人均国内生产总值、全社会消费品零售总额等因素的预测值。
②直接通过拟合对2010年的z1、z2、z3值进行预测。
我们采用第二种方式，得到的结果如下：
2010年时z1为4.3430，z2为6.478，z3为-1.701，则代入方程中，得到：
2010年y值为-2.2159;
最后得到2010年私车保有量用标准化前数据为250.3967，单位：
万辆。
问题二的模型及求解：
模型的分析：
根据问题分析可以建立：
居民人均可支配收入与人均国内生产总值之间的如下关系
由人均国内生产总值与利息对居民储蓄的关系可知人均国内生产总值和利息都对居民储蓄款余额有直接影响，因此根据分析可以建立以下关系
根据题目已知信息，2007年我国政府5次升息，9次上调存款准备金率。
通过对问题二的分析，我们知道这两项措施对私人汽车保有量均有影响。
因此，我们通过对存款准备金率进行查询，得到表7如下所示
1996年～2007年各年份的存款准备金率
p
13
6.5
7.25
7.5
8.25
11.55
通过Matlab工具箱作图分析存款准备金率与人均国内生产总值对人均可支配收入的影响
存款准备金率与人均可支配收入关系人均国内生产总值与人均可支配收入关系
通过对图进行分析，可以知道存款准备金率与人均可支配收入大致成二次关系，人均国内生产总值与人均可支配收入成二次关系。
同理地，我们对存款的年利率进行查询，得到如下所示
1996年～2007年各年份的存款利率
q
9.21
6.57
4.86
3.02
2.25
2.12
1.98
2.39
3.33
通过Matlab工具箱分析人均国内生产总值和利息都对居民储蓄款余额的直接影响如下所示
年存款利率与储蓄余额关系人均生产总值与存款余额关系
通过作图分析，我们可以发现一年的存款利率与居民储蓄款余额成反比例关系，人均国内生产总值与居民储蓄款余额成一次线性关系。
模型的建立：
根据模型的分析，建立人均可支配收入与人均国内生产总值及存款准备金率的多元线性回归模型为
通过Matlab软件进行求解可得到该模型的表达式为
：
0.9817；
F检验值：
241
问题三的模型及求解：
模型分析：
考虑到环境因素（即汽车排污量）对私人汽车保有量的约束，且以后一段时间内相关因素变量都是未知的，可以考虑通过统计分析模拟，得到以后一段时间内其预测值，然后以此为以知条件，以排污量最小为目标函数，通过建立一个线性优化模型，来到到对未来一段时间该地区公交车及私人小汽车保有量的一个合理调控方案。
模型假设：
假设在2007年第二季度到2010年这个期间该地区的车辆数无报废及损坏情况，且执行欧III标准以前所有汽车都是欧II标准，执行以后所有新增的汽车都到达欧III标准。
由于问题三很多数据都是未知的，我们在一二问的基础上，通过SPASS软件与matlab软件进行统计分析，，得到一个对未来一段时间相关因素变量的预测表达式，从而得到相关因素变量的值。
在将其当已知量进行运用，到达在符合环境条件下对未来一段时间公交车与小汽车的合理调配。
由已知数据利用matlab回归分析得到未来一段时间相关变量的预测值。
1）未来一段时间公家车的总数表达式：
2）未来公家车运营总数与相对应时间公家车总数的关系式：
3）未来一段时间城市干道噪音均值与公家车总数的关系：
根据以上相关函数可得到2010年的公家车辆总数的预测值：
8372辆
因为是根据该地区的污染排放情况来调控公家车与私家车保有量的，所以我们可建立总排放污染最小的目标函数：
a）目标函数的建立
目标函数因由两种汽车对三种污染物的排放总值：
即由两种汽车对CO、HC+NOX、PM的排放总和，分析如下：
两种汽车对CO的排放总量为：
两种汽车对HC+NOX的排放总量为
两种汽车对PM的排放总量为：
所以目标函数可表达为：
b）约束条件的建立：
约束一根据调控前后总数不变原理，有
约束二：
运营总人数约束，2010年的公家车运营总数因大于2008年的，有
X5>
20.52
约束三：
2010年的城市噪音均值应小于2008年的，有
X6<
69.3
约束四：
固有约束，公家车与私家车的总里程数关系及它们的污染排放关系：
路程约束:
5s1=s2,
污染约束：
[a0,b0,c0]/10=[a2,b2,c2];
[a1,b1,c1]/10=[a3,b3,c3]
综合汇总得：
目标函数：
Min=
约束条件：
模型求解：
利用所需的相关因素及其预测值，用lingo软件求解2010年的优化模型，得最
结果如下表所示:
排污标准
符合欧II标准的公交车
符合欧III标准的公交车
符合欧II标准的私人小汽车
符合欧III标准的私人小汽车
数量（单位：
辆）
8328
368
1035000
1360399
从2010年所排放污染量最小值为
所以最终优化结果为调控（调控的是用回归分析算出的预测值）后的公家车的数目为:
8696辆，私家车的数目为:
239.5399万辆。
如果想继续求以后的私家车保有量调控数据，可根据以上算法求出相关量的预测值，进行优化模型，做一个简单的预测。
六、模型的评价
模型的评价：
主成份分析中综合考虑各种因素，既有降低无关因子即某一些不是很重要的
成分去除，留下较为重要的成分，使我们能够较正确的预测未来的值，但也有一些不足那就是计算过程较为繁琐，精密度也有些欠佳，此方法本来是用来分类的，对分类是较好的首选，此次本人尝试做预测问题，效果感觉也不错。
在问题三中，我们结合回归模型和优化模型结合到一起。
首先利用回归模型得到了一个对未来相关量的可靠预测截获，再利用优化模型对其进行优化求解，从而求得了合理的结果。
但该模型在一定程度的精度可能还不是很高，存在一定的误差，还可以通过多次迭代进行减小误差减，从而求得较精确结果。
七、参考文献
[1]姜启源等编，数学模型（第3版），北京：
高等教育出版社，2003.8。
[2]韩中庚编，数学建模方法及其应用，北京：
高等教育出版社，2005，6.
[3]龚华炜等，基于计量经济学模型的汽车保有量预测，交通运输系统工程与信息，第5卷第2期：
74—78，2005。
[4]何明等，BP神经网络主成分分析法在汽车保有量预测中的应用，交通与计算机，第25卷第4期：
96—99，2007。
附录：
附表1.1996—2008年某地区相关的数据统计
1996-2008年某地区相关的统计数据
全社会固定资产投资总额（亿元）
运营公交车辆数（辆）
城市交通干线噪音均值（分贝）
汽油（93号）年均价（元/升）
27000
297.35
327.53
2658
6.31
68.3
15948
737
16316
583.89
1.96
3.1
30619
325.00
390.51
2763
6.94
69.6
17130
789
18600
707.67
2.28
3.6
33282
423.00
474.63
2801
5.73
69.7
17866
894
19886
861.88
2.32
4.2
33689
467.57
569.55
2887
7.76
69.8
18961
1015
20249
941.99
2.38
4.8
41020
538.17
616.25
2920
8.23
19688
1198
21626
1082.6
2.73
6.7
43344
832.04
686.37
349
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