正弦定理的几种证明方法xWord下载.docx

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B，

故有abcADB

sinAsinBsinC.从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有CDasinCBDasinABC，CDbsinA。

由此，

得ab同理可得cb

sinAsinABC，sinCsinABC

故有abc

sinAsinABCsinC.

C

ba

由

（1）

（2）可知，在abcABD

ABC中，sin

AsinBsinC成立.从而得到：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

abc

sinAsinBsinC.

1'

用知识的最近生长点来证明：

实际应用问题中，我们常遇到问题：

已知点A，点B之间的距｜AB|，可测量角A与角B，

需要定位点C，即：

在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，

求边AC的长b

解：

过C作CDAB交AB于D，则

BDcsinAcsinAcosC

DC

sinCsinC

tanC

ADccosAcosC

bACADDCccosAcsinAcosCc（sinCcosAsinAcosC）csinB

sinCsinCsinC

推论：

bc

sinC

sinB

同理可证：

abc

sinBsinC

sinA

2.利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为则Rt△ADB

中,sinBAD∴AAB

∴S△ABC=1AD1acsinB同理可证△ABC=112absinCbcsinA

222

∴S△ABC=1absinC1bcsinA1acsinB∴CD222

在等式两端同除以ABC,可得sinCsinAsinB即abc.

3.向量法证明正弦定理cabsinAsinBsinC

（1）△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC,则j与AB的夹角为

°

与CB的夹角为°

由向量的加法原则可得ACCBAB

90-A,j90-C

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量

j的数量积运算,得到j（ACCB）jAB

由分配律可得ACjCBjAB

∴|j|AC°

CB°

AB°

j

Cos90+|j|Cos（90-C）=|j|Cos（90-A

∴∴ac

sinAsinC

另外过点

C作与CB垂直的单位向量

j,则

j与AC的夹角为°

与AB的夹

90+C,j

角为90°

+B,可得cb

sinCsinB

（此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提防止误解为

j与AC的夹

角为°

与AB的夹角为°

∴abc

90-C,j90-B

B

sinAsinBsinC

（2）△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°

过点A作与AC垂直的单位向量j,则j

与AB的夹角为°

与CB的夹角为°

C

A-90,j90-C

由ACCBAB,得j·

AC·

·

j

+jCB=jAB

即a·

Cos（90°

-C）=c·

Cos（A-∴asinC=csinAA.∴acABsinAsinC

另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°

+C,j与AB夹

+B.同理,可得bcabc

sinB.∴

simAsinBsinC

sinC

4.外接圆证明正弦定理

在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圆,O为圆

心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到

∠BAB′=90°

，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=sinCc∴csinB2R

2RsinC

同理,可得ab2R∴abc

sinA2R,

sinAsinB2R

sinBsinC

这就是说,对于任意的三角形,我们得到abc