数字谜数阵图幻方小升初系统总复习Word文档下载推荐.docx
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由b×
7结果个位为1，可推知b=3，利用后面介绍的高位分析法可
继续推出a=1，c=9。
2、当结果为偶数，其中一个乘数为奇数时，则另一个乘数为偶数，且只
有一种答案。
9结果个位数为8，可推知b=2，由后面介绍的高位分析法
可继续推知a=4，c=7。
3、当结果为偶数，其中一个乘数也为偶数时，则另一个乘数有两种可能
性，一奇一偶，且相差5。
6结果个位数为4，可推知b=4或9，当b=4时，进而推出
a=8或9，相对应c=0或6。
当b=9时，进而推出a=8或9，相对应c=3或9。
共有四种可能性，再根据
其他条件进行排除。
4、当结果为奇数，其中一个乘数为偶数时，另一个乘数无解，因为根据
奇偶性，偶数乘于任何数都不可能等于奇数。
8结果为7可推知此题无解。
5、当结果为5，则其中一个乘数必须为5，另一个为奇数。
当结果为0，则其中一个乘数为5，另一个为偶数，或者一个乘数为0即可。
当一个乘数为5，则结果为0或5，另一个乘数为偶数时，结果为0；
另一个乘数为奇数时，结果为5。
（2）高位分析法（主要在乘法中运用）
由a×
7结果为四十几，结合进位考虑，可知a=5，6或7，再根
据其他条件进行排除。
（3）数字估算分析法（最大值与最小值的考量，经常要
结合数位考虑）
由
×
4=A，A为三位数，可推知
≥25，由
3=B，B
为二位数，可推知
≤33，由
34=C，C为三位数，可推
知
≤29，综合考虑可知b=2，a=5，6，7，8或9。
再根据其他条件排除。
（4）加减乘法中的进位与借位分析
前面三种分析法都涉及到了进位与借位，这里再次强调进位与借位的重要性，千万不要忽视了（这是同学们非常容易出错的地方。
）
加法进位中，加数有n个，则最多向前进n-1，乘法进位中，乘数是n，则最多
向前进n-1。
由百位可推知十位向百位进2，而个位最多向十位进2，则推知a至
少为9，即就是9，进而继续推知b也只能是9，而c=d=0。
8等于四十几而个位最多向前进7，得知a只能为5或6，而不能是4。
此处也可以利用数字估算分析法得出50≤
≤62，同学们知道为什么吗？
（5）分解质因数分析法
当乘法数字谜中一个积全部已知或者只有一个数字未知而又没有其他办法判断时，
可考虑使用分解质因数。
c=206可将206分解质因数，206=2×
2×
13，根据两个乘数分别
是一位数和两位数可推知两种可能性：
52×
4与26×
8，又根据
3为两位数
可确定
=26。
（6）奇偶性分析（加减乘法）
数字谜中经常可以直接利用奇偶性进行排除选项。
（见乘法个位规律里面的第四点。
复杂数字谜中不能直接确定某一数字时，经常需要使用假设法进行逐一排除，排除的判断一般是通过另外一个数字或者题目中其他条件来进行。
如带汉字的数字谜经常需要符合的条件是“相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字”等。
（二）数阵图的一般解题思路与步骤
数阵图中的数字关系一般比较复杂，同学们注意一定不要一开始就使用尝试的方法，而应该使用一定的技巧求出某些特殊位置的数字后再逐一分组尝试。
由于数阵图中没有填充之前各个数字的位置无法确定，所以从每一个单个数字上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数字和全部相加法进行分析。
一般分为以下几个步骤：
（注意：
建议先学习完几个相关例题再回来进行总结）
1、从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n×
S的形式。
2、从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为（题目所给全部数字和）×
一般位置数字相加次数±
（特殊位置数字和）×
多加或少加次数的形式。
3、根据整体与个体的关系，列出等式即：
n×
S=（题目所给全部数字和）×
多加或少加次数
4、根据数论知识即整除性确定特殊位置数的取值及相对应的S值。
5、根据确定的特殊位置数字及S值进行数字分组及尝试。
三：
幻方
8
1
12
11
7
3
2
13
6
幻方中的各数互不相同，且横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×
3的数阵称作三阶幻方，4×
4的数阵称作四阶幻方，5×
5的称作五阶幻方……
我们这里重点介绍三阶幻方的主要性质，以上图为例，主要有以下几个，希望同学们牢记：
1、能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。
如1，2，3，6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=7×
2，一般为等差数列（不完全是）。
2、幻方的中心数为数列中的中间数，如上一列数中的7必须位于幻方中心。
3、幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数。
如上列数中的1，13与4，10的平均数均为7。
4、幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的三倍。
如幻和为21，等于中心数7的三倍。
5、数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中如果能够遵循这个规律可以很快地得出答案。
6、幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。
如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均。
7、具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等（同学们能不能知道为什么？
）如第一行和第一列中有一个共同数8，则其他两个数1+12=11+2。
综合利用上面7个幻方性质就可以得出很多幻方的解题思路了。
趣题解析：
学习完幻方的性质之后，开篇趣题就很好填了吧，首先根据性质7，可知a+6=10+4，a=8，根据性质3，可知：
d=（4+8）÷
2=6，根据性质4，可知幻和为18，其他就全部根据每行相加等于幻和求出每一项，结果如图所示：
三、经典透析
【例1】
（☆☆☆）右面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的
乘积是。
审题要点：
此题为乘法数字谜，由于其中A中4出现在高位，所以利用高位分析法进行突破。
详解过程：
解：
1、由c×
=A，A百位数为4，可知c=8或9，若c=8，则
c×
a必须向前进8，不可能。
所以c=9。
2、c=9时，a×
9至少向前进4，即a×
9≥40，知a≥5。
3、对a=5，6，7，8，9进行逐一验算，验算的主要方法是通过c
中的4进行，
若a=5，则A=405，f=4，但5×
b末位不可能为4，排除。
若a=6，则A=414，f=3，但6×
b末位不可能为3，排除。
若a=7，则A=423，f=2，7×
b末位为2，则b=6，
所以乘积为3243。
若a=8，则A=432，f=1，但8×
b末位不可能为1，排除。
若a=9，则A=441，f=0，但9×
b末位不可能为0，（因为乘数不能0开头），排除。
专家点评：
此题是乘法数字谜中比较经典的一个题型，用到的分析法依次包括：
高位分析法（步骤1），进位分析法（步骤1），估算分析法（步骤2），个位分析法（步骤3），逐一尝试法（步骤3），及排除法（步骤3），注意寻找数字谜突破口的方法，抓住题目所给的已知数字，从涉及已知数字所有的计算处考虑，首先考虑乘法的关系，因为能够使用的分析法最多。
希望同学也可以自己根据做题体会进行总结。
【例2】
（☆☆☆）已知右面的除法算式中，每个□表示一个数字，
那么被除数应是。
此题属于数字谜中的复杂题型，题目给出已知数字只有两个，不能直接使用个位分析法与高位分析法，可以结合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析。
1、首先比较明显可得出d=0，然后从2个数字的相关计算
进行突破，首先，
，由于B只有两位数，所以可估算
推知
=10，11或12。
2、又
，A为3位数，结合
=10，11或12可知，c=9
且
，将其他各数补充完整即可。
此题是结合数位进行估算的一个典型数字迷，也利用了循环推理的原理。
先是根据数字8×
的乘积，利用数位估算确定
的可能值，再根据c×
为12。
所以在数字迷中，不仅有数字的地方有突破口，没有数字的地方也可能有突破口，一般是利用数位估算，当然也有其他分析方法，例如利用进退位的分析进行突破。
【例3】
（☆☆☆☆☆）在右面的乘法算式中，每一个□中要填一个数字，
不同的中文字代表不同的数字，请问：
“新年”两字代表什么数字？
此题属于乘法数字谜中较难的题型，由于题目中出现的几个数字都为个位数，所以首先考虑运用个位分析法进行突破。
1、A行中末位为1，可推知a×
b有四种可能性，1×
1，3×
7，
7×
3，9×
9，又因为A行中为5位数，所以排除1×
1，若a×
b为
9×
9，则又结合B，C，D行中末位为9，可推出h，f，d为1，与B，
C，D都为5位数矛盾，排除。
3×
7，7×
3暂时不能确定。
2、假设a=7，b=3，由三个末位数是9，可推知h=f=d=7，这样反复利用
乘法和加法的个位分析法，可推知c=6，e=4，g无法满足。
假设排除。
3、假设a=3，b=7，由三个末位数为9，可推知h=f=d=3，同步骤2反
复利用乘法与加法个位分析法，可依次推出
，而且满
足
，所以“新年”代表15。
此题也是乘法数字谜中非常经典的一个题型，综合运用的分析法非常的多，且反复使用，环环相扣，同学可以在练习中好好体会其中的巧妙之处，依次包括：
个位分析法（乘法与加法）（步骤1，2，3），结合数位考虑数字大小估算分析法（步骤1），循环推导（步骤2，3）。
【例4】
（☆☆☆☆）2008年奥运会快要到了，下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把1—9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？
此题属于典型的数阵图，应该利用数字和全部相加的方法进行解答，从整体与个体的角度，同时考察应该填入的数字。
1、首先由于一共5个圆圈的数字和相等，由于填入的数无法确认，将5个数字和全部相加，由于数字和未知，设为S，则5个圆圈全部数字和为5S。
2、考虑全部数字和5S中的各个组成部分：
可知a，b，c，
h，i只加了一次，而d，e，f，g四个加了2次，即可以看
成1至9全部数字均加了一次，d，e，f，g多加了一次，表示
为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g）。
3、整体等于部分之和，列出方程：
5S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g），化简为5S=45+（d+e+f+g），d+e+f+g的最小值为1+2+3+4=10，此时S=11，最大值为6+7+8+9=30，此时S=15，一共5种可能填法。
4、逐一进行试验：
当S=11时，d，e，f，g为1，2，3，4时，可得出答案为：
当S=12时，经过试验无解。
当S=13时，d+e+f+g=20，取2，4，6，8，得出答案：
当S=14时，d+e+f+g=25，取3，6，7，9，得出答案：
当S=15时，经过试验无解。
【例5】
（☆☆☆）小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，
上面写着：
把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段
上3个圆内所填数的和都相等。
如果中心圆内填的数相等，那么就视为同
一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？
此题属于数阵图中的经典题型，同学们一定要利用数字和的规律来做，千万不要直接试，否则会浪费很多时间的。
1、由于5条线段的和均相等，从整体考虑将其全部相加为5S。
2、从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作所有数10至20均加了1次，中间数a多加了四次，表示为（10+11+……+20）+4a，
3、列出等式为5S=（10+11+……+20）+4a，化简为5S=165+4a，要使等式成立，a必须为5的倍数，得出三种答案，a=10时，S=41，a=15时，S=45，a=20时，S=49。
4、将三种答案逐一尝试，得出三种答案分别如图：
此题中个体考虑时中心数字a一共加了5次，在列式当中一定要注意：
加上的是多加的次数，即4a，而不是5a，因为在全部数字里面a已经相加一次。
对a进行取值时的原则是使右边总和能够被5整除，确定a值与S值后进行简单的数字分组即可完成。
有的题目在数字分组时需要同时满足多个条件，需要综合考虑，请看例6。
【例6】
（☆☆☆☆☆）右图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处
的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○
的每条直线上的四数之和也相等。
此题与上题相类似，注意题目要求两组和相等，应该先由一组进行分析满足后，再在此基础上满足另外一组和相等的条件。
前面的分析方法一致，后面尝试部分数字分组时需要多考虑几个部分的和相等即可。
1、先考虑三角形和相等的部分，由于无重复数字，全部数字相加一次，直接列出等式：
3S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9），解出：
S=15
将所有数字分成数字和为15的三组：
（1，5，9）；
（2，6，7）；
（3，4，8）
任意选择其中一组填入最里面三角形，另外两组则不能随便填，需要再满足另一组和相等。
2、考虑三直线和相等。
观察发现内部三角形三数相加两次，其他相加一次，列出等式为：
3K=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（a+b+c）
注意到内部三角形三数之和a+b+c已确定为15，代入解出方程得：
K=20。
先看有5和9的直线，其他两个数和为20–5-9=6，即需要从其他两组数中分别选取两数和为6，可为4，2。
再看有5和1的直线，其他两个数和为20–5-1=14，即需要从其他两组数中分别选取两数和为14，可为8，6。
最后看有9和1的直线，其他两个数和为20–9-1=10，即需要从其他两组数中分别选取两数和为10，可为3，7。
分别填入即得到答案如下左图。
如果一开始使用其他的分组法，还可得出下右图。
1、此题中两组和均需要满足相等，应该首先选择较为简单的一组进行分析，三角形三数和相等由于无重复数字，可以直接求出和为15，对后面另一组分析有用。
2、步骤二的等式分析中，利用了第一组的结论三角形三数和为15，a+b+c=15，此处的利用十分巧妙，大家要注意其特点，还有很多题目中有此类使用。
3、步骤二中的尝试是在第一组分组的基础上进行，注意直线上其他两个数必须分别来自两组数字中，大家可以想一想其中的原因。
4、步骤二中三组数（4，2）（8，6）（3，7）确定后，填入图中时，同时又要考虑步骤一中的分组情况，即须保证（2，6，7），（3，4，8）在同一直线上。
综合考虑，需要全面周到。
【例7】
（☆☆☆）请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条
对角线上的三数之和相等。
此题属于构造简单幻方题型，不能简单的直接尝试，而应该利用幻方的性质，按一定的顺序和步骤进行逐一填入。
A
B
C
9
D
E6
F
4
G
H
10
I
5
1、首先将2，3，4，5，6，7，8，9，10找出中间数6，并把其他数按首尾顺序配好对即（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），根据幻方性质4知道幻和为18。
2、根据幻方性质2将中间数填入幻方中心。
3、根据幻方性质3和5依次将配对填入。
首先（2，10）填入（B，H）（或者（D，F）也可以）。
其次（3，9）可填入（G，C）
（3，9）不能填入（C，G），大家知道为什么吗？
）下面两对就不能随便填入了。
4、根据每行每列三数相加等于幻和18将其他数依次填入。
例如第一行中，A+2+9=18推出A=7，其他依次类推。
5、时间允许的情况下最好能够完全检验所有行列及对角线是否相加等于幻和。
构造幻方有很多的方法，这里介绍的是一种比较常用的方法，推荐使用，因为其构造的过程完全依赖于幻方的性质，掌握此构造过程有利于对幻方性质的更深理解。
【例8】
（☆☆☆☆）在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然
数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都
等于21。
此题也是属于幻方的构造，只不过条件更为复杂，但还是万变不离其宗，利用幻方的基本性质按步骤进行构造。
1、由幻和为21首先确定数列中间数及幻方中心数为7，进而确定C为9。
2、根据数列不大于12的条件将数列按中间数为7依次列出为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，发现有五组可能的配对，所以应该排除一组。
3、采用假设法，设最大最小数组为（3，11），按照幻方的性质5将填入（B，H），进而确定（A，I）为（C,G）为（9，5），（A,I）为（8，6），但是此时第一行三数之和8+3+9=20不等于幻和21。
4、确定最大最小数组为（2，12），填入（B，H），进而根据幻和依次填入其他数组。
满足条件。
E7
此题中根据已知无法直接确定数列，而且幻方中有一组配对已经确定，所以只能采用假设法，按照最大最小数组的选择进行假设，很容易得出结论。
假设法是奥数里面常用的一种方法，希望同学们在几种情况无法确定的时候一定要采用假设法。
【例9】
（☆☆☆☆☆）如图所示，在3×
3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
（1）求x；
（2）如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图。
此题第一问中给出的条件只有两个数字，无法确定中心数，也无法确定幻和，这里需要利用幻方性质中最为复杂的一个即性质6。
第二问相对就简单得多了。
x
E
19
95
1、直接根据幻方性质6：
幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。
可知95即为19与x的平均数，所以可求出x为171。
24
171
105
181
E
100
29
176
2、由中心数为100确定幻和为300，然后由每一行列数相加为幻和依次计算出其他数组。
结果如图所示：
本题中使用的幻方性质6比较偏，同学们可以重点记忆，当然此问也可以用方程法直接解出，但是过程比较复杂，这里就不作深入分析，有兴趣的同学可以自己去试试，得出的答案完全一样。
第二问属于一般的幻方计算，综合利用幻方性质就可以直接得出结论。
四、拓展训练
1.
下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是。
[初级点拨]此题与例2相类似，突破口一样，主要利用大小估值的方法进行分析。
[深度提示]由
。
[全解过程]
2.右面的除法算式
（1）中，每个□表示一个数字，那么商数是。
[初级点拨]此题根据已知数字6，7，1，出现的位置可容易判断需要用到的分析法有高位分析法，个位分析法及根据数位大小估值法。
[深度提示]由a×
=A，而A为三位数，根据高位大小估值法可知a=1。
进而可知d=7，继续考虑B中个位数利用个位分析法。
[全解过程]容易看出B个位数为1，由b×
=B，根据个位分析法知b=3，所以商数为13。
3.
在右面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。
那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是。
[初级点拨]题目中唯一出现的个位数字1，考虑使用个位分析法突破，注意不同的汉字代表不同的数字的限制条件进行排除。
[深度提示]A个位数为1，结合习与争为不同数，可知只有两种可能性：
1，习＝3，争＝7；
2，习＝7，争＝3。
先假设第一种情况，“习”＝3，“争”＝7则A中十位数为学＝学×
7+2（个位数）推知学＝3或8，又习＝3，所以学＝8，这样A百位数8＝8×
7+5（进位）不成立，
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