学年高中数学人教A版必修1同步课时达标检测 第三章 函数的应用 全套打包Word下载.docx
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f（b）＜0，则一定存在实数c∈（a，b），使f（c）＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f（a）·
f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0，如f（x）＝x2－1，f（－2）·
f
（2）＞0，但f（x）＝x2－1在（－2,2）内有两个零点，故A错，C正确．
4．已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2，并且α，β是函数f（x）的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是（ ）
A．a<
α<
b<
βB．a<
β<
b
C．α<
a<
βD．α<
选C
∵α，β是函数f（x）的两个零点，
∴f（α）＝f（β）＝0.
又∵f（x）＝（x－a）（x－b）－2，
∴f（a）＝f（b）＝－2<
0.
结合二次函数f（x）的图象，如图所示，
可知，a，b必在α，β之间，只有C满足．
5．已知x0是函数f（x）＝2x＋
的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），则（ ）
A．f（x1）<
0，f（x2）<
B．f（x1）<
0，f（x2）>
C．f（x1）>
D．f（x1）>
选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝
的图象，如图所示，由图可知函数y＝2x和函数y＝
的图象只有一个交点，即函数f（x）＝2x＋
只有一个零点x0，且x0>
1.
因为x1∈（1，x0），x2∈（x0，＋∞），所以由函数图象可知，f（x1）<
二、填空题
6．函数f（x）＝lnx－x2＋2x＋5的零点个数为________．
令lnx－x2＋2x＋5＝0得lnx＝x2－2x－5，画图（图略）可得函数y＝lnx与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f（x）的零点个数为2.
答案：
7．已知方程mx2－x－1＝0在（0,1）上恰有一解，则实数m的取值范围是________．
设f（x）＝mx2－x－1，∵方程mx2－x－1＝0在（0,1）内恰有一解，且当m＝0时，方程－x－1＝0在（0,1）内无解，∴m≠0，由f（0）f
（1）＜0，即－1（m－1－1）＜0，解得m＞2.
（2，＋∞）
8．若函数f（x）＝ax－x－a（a>
0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是________．
函数f（x）＝ax－x－a（a>
0，且a≠1）有两个零点，就是函数y＝ax（a>
0且a≠1）与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0<
1时两函数的图象只有一个交点，不符合；
当a>
1时，因为函数y＝ax（a>
1）的图象过点（0,1），当直线y＝x＋a与y轴的交点（0，a）在（0,1）的上方时一定有两个交点．所以a>
（1，＋∞）
三、解答题
9．关于x的方程mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解：
令f（x）＝mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14.
依题意得
或
即
解得－
＜m＜0.
故m的取值范围为
.
10．已知函数f（x）＝4x＋m·
2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
由题意知方程（2x）2＋m·
2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t（t>
0），则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0时，m＝±
2；
当m＝－2时，t＝1；
当m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意．
当Δ>
0，即m>
2或m<
－2时，
设t2＋mt＋1＝0有两个根t1，t2且t1t2＝1.
又∵t>
0，∴t1>
0，t2>
0，则原方程有两个根．
∴这种情况不可能．
综上可知：
m＝－2时，f（x）有唯一零点，该零点为x＝0.
11．已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋
（x＞0）．
（1）若g（x）＝m有零点，求m的取值范围；
（2）试确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．
（1）作出g（x）＝x＋
（x＞0）的图象如图所示：
可知若使g（x）＝m有零点，
则只需m≥2e，
故m的取值范围为[2e，＋∞）．
（2）若g（x）－f（x）＝0有两个相异的实根，即g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点．作出g（x）＝x＋
（x＞0）和f（x）的图象如图所示．
∵f（x）＝－x2＋2ex＋m－1
＝－（x－e）2＋m－1＋e2，
其对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，
∴当m－1＋e2＞2e，
即m＞－e2＋2e＋1时，g（x）与f（x）有两个交点，
即g（x）－f（x）＝0有两个相异实根，
∴m的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞）．
12．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1,0）内，另一根在区间（1,2）内，求m的范围；
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m的范围．
（1）由条件知，抛物线f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间（－1,0）和（1,2）内，如图
（1）所示，得
⇒
即－
<
m<
－
（2）抛物线与x轴交点均落在区间（0,1）内，如图
（2）所示，
列不等式组
m≤1－
课时达标检测（二十二）用二分法求方程的近似解
1．下列关于函数f（x），x∈[a，b]的命题中，正确的是（ ）
A．若x0∈[a，b]且满足f（x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点
B．若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，但f（x）＝0的根不一定是函数f（x）的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
选A 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；
f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点，C不正确；
用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
2．设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在（2,3）内近似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（ ）
A．（2,2.25） B．（2.25,2.5）
C．（2.5,2.75）D．（2.75,3）
选C 因为f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，由零点存在性定理知，在区间（2.25,2.75）内必有根，利用二分法得f（2.5）＜0，由零点存在性定理知，方程的根在区间（2.5,2.75），选C.
3．已知函数f（x）＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈（1,3）内近似解的过程中，取区间中点x0＝2，那么下一个有根区间为（ ）
A．（1,2）B．（2,3）
C．（1,2）或（2,3）D．不能确定
选A ∵f
（1）＝－2＜0，f
（2）＝7＞0，f（3）＝28＞0，
∴f（x）在（1,2）内有解，故选A.
4．若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f
（1）＝－2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）≈－0.984
f（1.375）≈－0.260
f（1.4375）≈0.162
f（1.40625）≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解（精确度0.04）为（ ）
A．1.5B．1.25
C．1.375D．1.4375
选D 由参考数据知，f（1.40625）≈－0.054，
f（1.4375）≈0.162，
即f（1.40625）·
f（1.4375）<
且1.4375－1.40625＝0.03125<
0.04，
所以方程的一个近似解可取为1.4375，故选D.
5．已知曲线y＝
x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D．（1,2）
选A 设f（x）＝
x－x，
则f（0）＝1>
f
＝
f
（1）＝
－1<
0，f
（2）＝
2－2<
显然有f（0）·
6．某方程有一无理根在区间D＝（1,3）内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.
由
0.1，得2n－1>
10，∴n－1≥4，即n≥5.
7．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；
从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；
将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；
从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．
综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
8．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解（精确到0.1）”时，设f（x）＝lgx＋x－2，算得f
（1）<
0，f
（2）>
0；
在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：
方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________________________________________________________________________．
第一次用二分法计算得区间（1.5,2），第二次得区间（1.75,2），第三次得区间（1.75,1.875），第四次得区间（1.75,1.8125）．
1.5,1.75,1.875,1.8125
9．从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？
先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；
然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；
最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点．
10．证明方程6－3x＝2x在区间（1,2）内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确度为0.1）．
设函数f（x）＝2x＋3x－6.
∵f
（1）＝－1<
0，f
（2）＝4>
又∵f（x）是R上的增函数，所以函数f（x）＝2x＋3x－6在区间（1,2）内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间（1,2）内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，
f（1.5）≈1.33>
0，f
（1）·
f（1.5）<
∴x0∈[1,1.5]．
取x2＝1.25，f（1.25）≈0.128>
f
（1）·
f（1.25）<
0，∴x0∈[1,1.25]．
取x3＝1.125，f（1.125）≈－0.44<
f（1.125）·
∴x0∈[1.125,1.25]．
取x4＝1.1875，f（1.1875）≈－0.16<
f（1.1875）·
∴x0∈[1.1875,1.25]．
∵1.25－1.1875＝0.0625<
0.1，
∴可取x0＝1.2，
∴满足要求的方程的实数解为1.2.
11．判断函数f（x）＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值（精确度0.1）．
f（0）＝－1<
0，f
（1）＝1>
0，即f（0）·
f
（1）<
0，f（x）在（0,1）内有零点，
又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
∴f（x）只有一个零点x0∈（0,1）．
取区间（0,1）的中点x1＝0.5，f（0.5）＝－0.75<
∴f（0.5）·
0，即x0∈（0.5,1）．
取区间（0.5,1）的中点x2＝0.75，
f（0.75）＝－0.15625<
∴f（0.75）·
0，即x0∈（0.75,1）．
取区间（0.75,1）的中点x3＝0.875，
f（0.875）≈0.34>
f（0.875）<
0，即x0∈（0.75,0.875）．
取区间（0.75,0.875）的中点x4＝0.8125，
f（0.8125）≈0.073>
f（0.8125）<
0，即x0∈（0.75,0.8125），
而|0.8125－0.75|<
0.1.
所以，f（x）的零点的近似值可取为0.75.
12．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同．用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
第一次，天平左右各4球，有两种情况：
（1）若平，则“坏球”在剩下的4球中．第二次，取剩下的4球中的3球为一边，取3个好球为另一边，放在天平上．
①若仍平，则“坏球”为剩下的4球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平一看，即知“坏球”是偏轻还是偏重；
②若不平，则“坏球”在一边3球之中，且知是轻还是重．任取其中2球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏球”；
（2）若不平，则“坏球”在天平上的8球中，不妨设右边较重．
从右边4球中取出3球，置于一容器内，然后从左边4球中取3球移入右边，再从外面好球中取3个补入左边．看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3球之一且偏重；
②若左边重，“坏球”已从一边换到另一边．因此，“坏球”只能是从左边移入右边的3球之一，并且偏轻；
③若右边重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个（左右各一），“坏球”是其中之一（暂不知是轻还是重）．
显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
课时达标检测（二十三）几类不同增长的函数模型
1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
选D 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.
2．已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<
x<
4时，有（ ）
A．y1>
y2>
y3 B．y2>
y1>
y3
C．y1>
y3>
y2D．y2>
y1
选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2,4）内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>
y3.
3．有一组实验数据如下表所示：
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是（ ）
A．y＝logax（a>
1）
B．y＝ax＋b（a>
C．y＝ax2＋b（a>
0）
D．y＝logax＋b（a>
选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
4．若x∈（0,1），则下列结论正确的是（ ）
A．2x>
>
lgxB．2x>
lgx>
C．x
2x>
lgxD．lgx>
2x
选A 结合y＝2x，y＝x
及y＝lgx的图象易知，当x∈（0,1）时，2x>
lgx.
5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为（ ）
选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），函数为对数函数，所以函数y＝f（x）的图象大致为D中图象，故选D.
6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
8
…
16
32
64
128
256
y2
9
25
36
49
1.585
2.322
2.585
2.807
其中，关于x呈指数函数变化的函数是____________________．
从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
7．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t（单位：
年）的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；
②前三年产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα（0<
1），反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
②③
8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是________．
看时间轴易知①正确；
骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；
两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．
①②③
9．函数f（x）＝1.1x，g（x）＝lnx＋1，h（x）＝x
的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1，a，b，c，d，e为分界点）．
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f（x）＝1.1x，曲线C2对应的函数是h（x）＝x
，曲线C3对应的函数是g（x）＝lnx＋1.
由题图知，当x<
1时，f（x）>
h（x）>
g（x）；
当1<
e时，f（x）>
g（x）>
h（x）；
当e<
a时，g（x）>
f（x）>
当a<
b时，g（x）>
f（x）；
当b<
c时，h（x）>
当c<
d时，h（x）>
当x>
d时，f（x）>
g（x）．
10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y（单位：
亿）．
（1）求y与x的函数关系式y＝f（x）；
（2）求函数y＝f（x）的定义域；
（3）判断函数f（x）是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．
（1）1999年底人口数：
13亿．
经过1年，2000年底人口数：
13＋13×
1%＝13×
（1＋1%）亿．
经过2年，2001年底人口数：
13×
（1＋1%）＋13×
（1＋1%）×
1%
＝13×
（1＋1%）2亿．
经过3年，2002年底人口数：
（1＋1%）2＋13×
（1＋1%）2×
（1＋1%）3亿．
∵经过年数与（1＋1%）的指数相同，
∴经过x年后人口数为13×
（1＋1%）x亿．
∴y＝f（x）＝13×
（1＋1%）x.
（2）∵此问题以年作为单位时间，
∴x∈N*是此函数的定义域．
（3）y＝f（x）＝13×
∵1＋1%>
1,13>
（1＋1%）x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·
bx＋c（a，b，c为常数）．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：
用以上哪个函数作为模拟函数较好？
请说明理由．
设两个函数：
y1＝f（x）＝px2＋qx＋r（p≠0），y2＝g（x）＝a·
bx＋c.
依题意，
解得
∴y1＝f（x）＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f（4）＝1.3（万件）．
依题意，得
∴y2＝g（x）＝－0.8×
0.5x＋1.4.
∴g（4）＝－0.8×
0.54＋1.4＝1.35（万件）．
经比较，g（4）＝1.35（万件）比f（4）＝1.3（万件）更接近于4月份的产量1.37万件．
∴选y2＝g（x）＝－0.8×
0.5x＋1.4作为模拟函数较好．
课时达标检测（二十四）函数模型的应用实例
1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是（ ）
A.
B.
C.
－1D.
－1
选D 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a（1＋x）11＝ma，所以1＋x＝
，即x＝
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