初中数学竞赛题汇编(代数部分1).doc

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初中数学竞赛题汇编

（代数部分1）

江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答

例1若m2＝m＋1，n2＝n＋1，且m≠n，求m5＋n5的值。

解：

由已知条件可知，m、n是方程x2－x－1＝0两个不相等的根。

∴m＋n＝1，mn＝－1

∴m2＋n2＝（m＋n）2－2mn＝3或m2＋n2＝m＋n＋2＝3

又∵m3＋n3＝（m＋n）（m2－mn＋n2）＝4

∴m5＋n5＝（m3＋n3）（m2＋n2）－（mn）2（m＋n）＝11

例2已知

解：

设，则

u＋v＋w＝1……①……②

由②得即 uv＋vw＋wu＝0

将①两边平方得

u2＋v2＋w2＋2（uv＋vw＋wu）＝1所以u2＋v2＋w2＝1

即

例3已知x4+x3+x2+x+1＝0，那么1+x+x2+x3+x4+……x2014＝。

解：

1+x+x2+x3+x4+…x2014＝（1+x+x2+x3+x4）+（x5+x6+x7+x8+x9）+…+（x2010+x2011+x2012+x2013+x2014）＝（1+x+x2+x3+x4）+x5（1+x+x2+x3+x4）+…

+x2010（1+x+x2+x3+x4）＝0

例4：

证明循环小数为有理数。

证明：

设＝x…①

将①两边同乘以100，得

…②

②－①，得99x＝261.54－2.61即x＝。

例5：

证明是无理数。

证明（反证法）：

假设不是无理数，则必为有理数，设

＝（p、q是互质的自然数），两边平方有p2＝2q2…①，

所以p一定是偶数，设p＝2m（m为自然数），代入①整理得q＝2m2，

所以q也是偶数。

p、q均为偶数与p、q是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。

例6：

；；。

解：

例7：

化简

（1）；

（2）

（3）；（4）；

（5）；

（6）。

解：

（1）方法1

方法2设，两边平方得：

由此得

解之得或

所以。

（2）

（3）

（4）设，两边平方得：

由此得解之得

所以＝＋1＋

（5）设则所以

（6）利用（a＋b）3＝a3＋b3＋3ab（a＋b）来解答。

设两边立方得：

即x3－6x－40＝0

将方程左边分解因式得（x－4）（x2＋4x＋10）＝0

因（x2＋4x＋10）＝（x＋2）2＋6＞0所以（x－4）＝0，即x＝4

所以＝4

例8：

解：

用构造方程的方法来解。

设原式为利用根号的层数是无限的特点，有，两边平方得即

继续两边平方得x4－4x2＋4＝2＋x，即x4－4x2－x＋2＝0，

左边分解因式得（x＋1）（x－2）（x2＋x－1）＝0求得x1＝－1，x2＝2，x3＝。

因0＜x＜2，所以x＝－1、x＝2、x＝应舍去，

所以x＝即＝。

例9：

设的整数部分为x，小数部分为y，试求

的值。

解：

而所以x＝2，y＝

因此

＝。

例10：

已知x＋y＋z＝3a（a≠0，且x、y、z不全相等），求

的值。

解：

设x－a＝u，y－a＝v，z－a＝w，则

＝且有已知有u＋v＋w＝0，将u＋v＋w＝0两边平方得u2＋v2＋w2＋2（uv＋vw＋wu）＝0由于x、y、z不全相等，所以u、v、w不全为零，所以u2＋v2＋w2≠0，故

＝＝

例11：

已知x＝求的值。

解：

所以x－4＝－（x－4）2＝3，x2－8x＋13＝0，

所以，原式分子x4－6x3－2x2＋18x＋23

＝（x4－8x3＋13x2）＋（2x3－16x2＋26x）＋（x2－8x＋13）＋10

＝x2（x2－8x＋13）＋2x（x2－8x＋13）＋（x2－8x＋13）＋10＝10，

原式分母x2－8x＋15＝（x2－8x＋13）＋2＝2，

所以＝＝5。

例12：

已知＝＝

求的值

解：

方法1当a＋b＋c≠0时，据等比定理有

＝＝

＝＝1

由此得a＋b－c＝c，b＋c－a＝a，c＋a－b＝b

所以＝＝8。

当a＋b＋c＝0时，＝＝－1。

方法2设＝＝＝k，则

a＋b＝（k＋1）c…①，b＋c＝（k＋1）a…②，c＋a＝（k＋1）b…③，

①＋②＋③得2（a＋b＋c）＝（k＋1）（a＋b＋c），

即（a＋b＋c）（k－1）＝0，

故k＝1或a＋b＋c＝0，以下同上。

例13：

计算…+

解：

…+

＝++…+

＝（）+（）+（）+…

+（）

＝+++…+

＝＝。

例14：

分解因式

（1）x3－9x＋8；

（2）（x2＋x＋1）（x2＋x＋2）－12；。

（3）（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。

解：

（1）方法1：

x3－9x＋8=x3－9x－1＋9=（x3－1）－9x＋9

=（x－1）（x2＋x＋1）－9（x－1）=（x－1）（x2＋x－8）

方法2：

x3－9x＋8=x3－x－8x＋8=（x3－x）+（－8x＋8）

　　　　=x（x＋1）（x－1）－8（x－1）=（x－1）（x2＋x－8）

方法3：

x3－9x＋8=9x3－8x3－9x＋8=（9x3－9x）+（－8x3＋8）

　　=9x（x＋1）（x－1）－8（x－1）（x2＋x＋1）

　　　　=（x－1）（x2＋x－8）

方法4：

x3－9x＋8=x3－x2＋x2－9x＋8

=（x3－x2）＋（x2－9x＋8）=x2（x－1）＋（x－8）（x－1）

=（x－1）（x2＋x－8）

（2）设x2+x=y，则（x2+x+1）（x2+x+2）-12=（y+1）（y+2）-12

=y2+3y-10=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

=（x-1）（x+2）（x2+x+5）

（3）（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）=[（x+y）2-xy]2-4xy[（x+y）2-2xy]．

令x+y=u，xy=v，则

（x2+xy+y2）-4xy（x2+y2）=[（x+y）2-xy]2-4xy[（x+y）2-2xy]

=（u2-v）2-4v（u2-2v）=u4-6u2v+9v2=（u2-3v）2

　=（x2+2xy+y2-3xy）2=（x2-xy+y2）2

（4）方法1：

设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=（x+2y+m）（x+y+n）

　　　　=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn，

　　　比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．

所以原式=（x+2y+3）（x+y+1）．

方法2：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

xy常数

111

123

即=（x+y+1）（x+2y+3）．

例15：

化简

解：

因这个代数式的特性时轮换对称式，只要对其中的一项进行变形，

然后再对其他项进行轮换即可。

所以

＝（－）＋（－）＋（－）＝0。

例16：

已知证明a2＋b2＋c2＝（a＋b－c）2。

证明（分析法）：

因（a＋b－c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ca

所以要证a2＋b2＋c2＝（a＋b－c）2

只要证ab＝ac＋bc只要证c（a＋b）＝ab

只要证（因为也为a、b、c都不为0）

即

最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等

式成立．

例17：

已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：

a=b=c=d．

证明：

由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，

　　（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，

　所以（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0．

　因为（a2-b2）2≥0，（c2-d2）2≥0，（ab-cd）2≥0，

所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，

　所以（a+b）（a-b）=（c+d）（c-d）＝0．

　又因为a，b，c，d都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，

所以a＝b，c=d．

　所以ab-cd=a2-c2=（a+c）（a-c）=0，

　所以a＝c．故a=b＝c=d成立．

例18：

m是什么整数时，方程（m2-1）x2-6（3m-1）x＋72＝0

　有两个不相等的正整数根．

解：

首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36（m-3）2＞0，所以m≠3．

用求根公式可得

由于x1，x2是正整数，

所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，

　解得m=2．这时x1=6，x2=4．

例19：

己知a+，a≠b≠c　求证：

a2b2c2=1。

证明：

由己知得：

a-b=，所以bc=，

同理得ca=，ab=，

所以ab·bc·ca＝××＝1，即a2b2c2=1。

例20：

己知:

ax2+bx+c是一个完全平方式（a、b、c是常数），

求证：

b2－4ac=0

证明：

设ax2+bx+c＝（mx+n）2，m、n是常数，

则ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2

根据恒等式的性质得　

所以b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0