四川初中数学联赛初二组决赛试题及答案.doc
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2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：
100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。
某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（）。
（A）2.3元（B）2.6元（C）3元（D）3.5元
答：
书的质量（克），故邮资为：
（元），选A。
2、设关于的分式方程有无穷多个解，则的值有（）．
（A）0个（B）1个（C）2个（D）无穷多个
答：
因为分式方程有解，故，解得，故只有1个，所以选B。
３、实数、、，满足，且，则的值（）。
（A）是正数（B）是负数（C）是零（D）正负不能确定
答：
由，知，中，必有两负一正，不妨设，，，且，所以，故，而，所以，选B。
４、若分别是三角形三边长，且满足，则一定有（）．
（A）（B）（C）或（D）
答：
由分式化简可得，故或，选C。
５、已知如图，长方形ABCD，AB=8，BC=6，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（）。
（A）（B）7（C）8（D）
答：
显然AC与PQ相互垂直平分，于是相似，则，得，故，选A。
６、用三个2，能写出最大的数一定（）。
（A）（B）等于222（C）等于242（D）大于1000
答：
最大的数是，选D。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、是实数，那么的最小值是（）。
答：
当时，取最小值6.
2、已知，则的值是。
答：
因为，故。
故
。
3、右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这个长方形的面积是143。
答：
如图设6个正方形的边长从小到大依次为：
1、、、、、，则由长方形的上下两边相等有：
，得。
于是长方形的长和宽分别为：
、，于是长方形面积为。
4、在的三条中线长为3、4、5，则为。
答：
将GD延长一倍至D’，则四边形BDCD’是平行四边形，则的边长分别是的三条中线长的倍，故它是直角三角形，且面积为；另一方面，的面积与面积相等，而的面积是的，故。
三、（本大题满分20分）
设有m个正n边形，这m个正n边形的内角总和度数能够被8整除，求m+n的最小值。
解：
由题意，这m个正n边形的内角总和度数为
……………………5分
因为能被8整除，故180mn能被8整除；
而180能被4整除，不能被8整除，则必有mn能被2整除，
故m、n中只至少有一偶数。
………………10分
又，，且均为整数。
要使m+n最小，则
取时，则；………………15分
取时，则；
故m+n的最小值为5.………………20分
四、（本大题满分25分）
现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子。
解1：
因为有4种颜色的袜子，故5只袜子必有1双；……………………5分
取出1双袜子，剩下3只，则再增加2只袜子，又可以配成1双；…………10分
以此类推，配成袜子的双数（x）与所需袜子只数（y），就有如下关系：
………………15分
于是要配成10双袜子，所需23只就够了。
………………20分
如果取出22只袜子，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。
因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。
………………25分
解2
单色袜子最多剩下4只；……………………5分
因此，24只袜子一定能够配成10双；…………10分
当取出23只袜子时，一定能够配成9双，此时剩下5只袜子；………………15分
5袜子中，可以配成1双，于是23只袜子，也可以配成10双；………………20分
当取出22只袜子时，一定配成9双袜子，假如剩下4只四种颜色一样一只，那么22只袜子就配不成10双袜子。
因此，至少需要23只袜子就一定可以配成10双袜子。
………………25分
五、（本大题满分25分）
已知如图：
正方形ABCD，BE=BD，CE平行BD，BE交CD于F。
求证：
DE=DF。
证明：
作E关于BC的对称点E’，连接DE’、CE’、BE’。
根据对称性质有：
；；且。
………5分
故绕C点逆时针旋转就得到，…………10分
所以，则是正三角形，故。
于是………………15分
又，故，所以；………………20分
而
故
所以DE=DF。
………………25分
2012年四川初中数学联赛（初二组）决赛
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、若三角形的周长是偶数，其中有两边的长是2和5，则这个三角形形状一定是（B）
A、直角三角形B、等映三角形C、等腰直角三角形D、无法确定
2、小王第一周每小时工资为a元，工作b小时，第二周每小时工资增加10%，工作总时间减少10％，则第二周工资总额与第一周工资总额相比（B）
A、增加1％B、减少1％C、减少l.5％D、不变
3、已知a、b、c为任意实数，则的值一定（D）
A、大于0B、等于0C、小于0D大于或等于0
4、已知x、y都不等于0，若∣x＋y∣=∣∣x∣－∣y∣∣，则（C）
A、x>0,y>0B、x<0,y<0C、xy<0D、任何情况都成立
5、若，则代数式的值的整数部分为（A）
A、6B、8C、10D、12
6、若P为平行四边形ABCD内的一点，且,,则等于（C）
A、2B、2C、3D、4
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、如图，ABCDEI是一个正五边形，DEFGHI是一个正六边形，则∠IAH的大小为24o。
2、若，则等于7。
3、若x－1是的因式，则a的值是-2。
4、如图，正方形纸片ABCD中，E为BC中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后折痕为MN，则梯形ADMN与BCMN面积之比为。
三、（本大题满分20分）
已知，求关于的不等式的解集．
解：
由条件知， ………5分
解得． ………10分
于是，即， ………15分
解得．故所求的解集为． ………20分
四、（本大题满分25分）
设函数与的两个交点为、，其中，
点．求的面积．
解：
联立，消去得，，………5分
即，解得．………10分
所以，,.………15分
因为．所以，为直角三角形，且.
显然………20分
故．………25分
五、（本大题满分25分）
如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，H为的垂心．
求证：
．
证明：
连接EH、HF．
因EH⊥AF，AF⊥CD，故EH∥CD，同理HF∥BC，
故ECFH是平行四边形．………5分
作沿HF平移得，
则在AD上．………10分
则，为直角三角形，且．………15分
又因为AE⊥BC，故为矩形，………20分
故．
所以,．………25分
2013年四川初中数学联赛（初二组）决赛
一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1、设，则的最大值与最小值的和（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
解析：
由条件，可得，当，得最小值-2，当，得最大值2，故选A
2、设，是不超过的最大整数，求=（）
（A）（B）（C）（D）
解析：
易得，代入代数式经分母有理化得，故选B.
D
C
B
A
3、如图，已知在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，则∠CAD=（）
（A）65°（B）70°（C）75°（D）80°
解析：
此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为C.
4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
解析：
是4的倍数必然个位数不能是1，再将124、142、214、412试除以4，便可得答案为B.
5、已知：
为三个非负实数，且满足，设，则的最大值是（）
（A）（B）（C）（D）
解析：
由方程组解出，由非负实数，可解得，
D
P
C
B
A
∵，取代入即可求得，答案为A
6、如图，∠DAP=∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC的长是（）
（A）（B）16（C）（D）
E
D
P
C
B
A
解析：
延长DP交CB延长线于点E，如图，由三角形全等可证PE=DP,AD=BE，由勾股定理可求DP=5，故DE=10，再由△EBP∽△EDC，可得,求得EC=，BC=EC-EB=-3=，答案C
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1、关于的不等式组的解是，则的值是
解析：
解不等式组得，故
2、如果都是质数，则
解析：
考虑到是初二竞赛，试值可求得P=3
3、设为两个不同的非负整数，且，则的最小值是
E
P
B
C
D
A
解析：
∵为两个不同的非负整数，∴，故取0~6的整数，代入再求符合条件的，符合条件的整数解只有三组，故的最小值为5.
4、如图，已知ABCD为正方形，△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D、P、E三点共线，若EA=AP=1，PB=，则DP=
E
P
B
C
D
A
解析：
连结BE，易证△AEB≌△APD，故PD=EB，∠APD=∠AEB。
∵△AEP为等腰直角三角形，∠EAP=90°
∴∠AEP=∠APE=45°∴∠APD=135°故∠AEB=135°
∴∠PEB=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°
可求PE=,再由勾股定理可求得BE=,所以PD=
三、（本大题满分20分）
设实数满足，解关于的分式方程
解∵∴
∴…………………………………………………………5分
∴，又∵∴…………………10分
当时，为增根，原方程无解……………………………15分
O
P
A
F
E
y
x
当且时，原方程的解是………………………20分
四、（本大题满分25分）
已知一次函数的图像与轴的正半轴交于E点，与轴的正半轴交于F点，与一次函数的图像相交于A（m,2），且A点为EF的中点.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若一次函数的图像与轴相交于P点，求三角形APE的面积。
解析：
∵函数过点A（m,2）∴A点坐标………………5分
∵A点为EF的中点.∴E（3,0）F（0,4）…………………………10分
∴一次函数解析式为……………………………………15分
∵一次函数的图像与轴相交于P点，∴P………20分
如图：
所以PE=，PE边上的高为2，
∴…………………………………25分
五、（本大题满分25分）
B
如图，已知AB=AC,∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，F是BE的中点，求证：
FA=FD且FA⊥FD
解析：
连结AF、DF，并延长AF至G，使FG=AF,
连结DG、EG
∵∴△AFB≌△GFE
∴AB=GE,∠B=∠FEG……………………5分
∵ABED为四边形，且∠BAC=∠CDE=90°，
∴∠B+∠FED+∠CAD+∠CDA=180°，
又∵∠C+∠CAD+∠CDA=180°
∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED…………10分
又因为GE=AB=AC,CD=ED
∴△ACD≌△GED…………………………………15分
∴AD=GD，∠ADC=∠GDE
而AF=GF
∴AF⊥DF…………………………………20分
又∵∠GDE+∠GDC=∠CDE=90°
∴∠ADC+∠GDC=90°即∠ADG=90°
∴DF=AF…………………………………25分
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