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初中数学组卷

2015年10月初中数学组卷

一．选择题（共5小题）

1．（2014•凉山州）在实数

，

，0，

，

，﹣1.414，有理数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．对于任一个正整数k，下列四个数中，哪个数一定不是完全平方数（　　）

A．16kB．16k+8C．4k+1D．32k+4

3．（2012秋•温州校级期中）设完全平方数M的个位与十位数码交换后得到另一个完全平方数N（M＞N）．则符合条件的M的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．多于3

4．（2014•台湾）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：

4：

5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？

（　　）

底面积（平方公分）

甲杯

乙杯

丙杯

100

A．5.4B．5.7C．7.2D．7.5

5．（2012•松山区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在CB间往返运动，二点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有（　　）次平行于AB．

A．1B．2C．3D．4

二．填空题（共11小题）

6．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=　　　　　　．

7．（2010•咸宁）惠民新村分给小慧家一套价格为12万元的住房．按要求，需首期（第一年）付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为0.4%，小慧列表推算如下：

第一年

第二年

第三年

…

应还款（万元）

0.5+9×0.4%

0.5+8.5×0.4%

…

剩余房款（万元）

8.5

…

若第n年小慧家仍需还款，则第n年应还款　　　　　　万元（n＞1）．

8．（2010•重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是　　　　　　千克．

9．（2012•河南模拟）已知A=2x+1，B是多项式，在计算B+A时，某同学把B+A看成了B÷A，结果得x2﹣3，则B+A=　　　　　　．

10．（2006•杭州）在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是　　　　　　或　　　　　　或　　　　　　．

11．（2014•重庆模拟）某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20%，B原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是　　　　　　．

12．（2013•济宁）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？

”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有　　　　　　盏灯．

13．（2011•广州）定义新运算“⊗”，

，则12⊗（﹣1）=　　　　　　．

14．（2013•永州）已知

=0，则

的值为　　　　　　．

15．（2005•龙岩）已知m＜0，n＞0，x2﹣px+q=（x﹣m）（x﹣n），且pq＞0，则|m|与|n|的大小关系|m|　　　　　　|n|（填“＜”、“＞”、“=”）．

16．（2002•常州）若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是　　　　　　．

三．解答题（共3小题）

17．已知关于x的方程

x﹣3和3a=3（x+a）﹣2a的解相同，求a的值．

18．（2003•宁夏）列方程（组）解下列应用题：

（1）一种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5%，那么，此商品是按几折销售的？

（2）某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%．从六月起强化管理，产量逐月上升，七月份产量达到648吨．那么该厂六、七两月产量平均增长的百分率是多少？

19．（2003•湖州）“中国竹乡”安吉县有着丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹52.5吨．根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加0.5吨，每吨可获利5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售．为此研究了二种方案：

方案一：

将毛竹全部粗加工后销售，则可获利　　　　　　元．

方案二：

30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利　　　　　　元．

问：

是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？

若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．

2015年10月初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2014•凉山州）在实数

，

，0，

，

，﹣1.414，有理数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

考点：

分析：

根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．

解答：

解：

，0，

，﹣1.414，是有理数，

故选：

D．

点评：

本题考查了有理数，有理数是有限小数或无限循环小数．

2．对于任一个正整数k，下列四个数中，哪个数一定不是完全平方数（　　）

A．16kB．16k+8C．4k+1D．32k+4

考点：

专题：

计算题；开放型．

分析：

根据赋值法赋予k不同的数值，根据A、B、C、D选项中不同的表达式可以计算该表达式是否可以构成完全平方数，即可解题．

解答：

解：

A、当k=1时，16k=16是完全平方数；

B、无论k为何值，16k+8=8（2k+1），2k+1为奇数，不能开方得到根号2，故不是完全平方数；

C、当k=2时，4k+1=9是完全平方数；

D、当k=1时，32k+4=36是完全平方数；

故选B．

点评：

本题考查了完全平方数的构建，考查了赋值法的应用，本题中根据赋值法赋予k特殊值是解题的关键．

3．（2012秋•温州校级期中）设完全平方数M的个位与十位数码交换后得到另一个完全平方数N（M＞N）．则符合条件的M的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．多于3

考点：

分析：

可设原来完全平方数M的个位数码是a，十位数码是b，则交换后得到另一个完全平方数N的个位数码是b，十位数码是a，因为M＞N，所以两个数的差是（10b+a）﹣（10a+b）=9（b﹣a），依此根据平方差公式讨论求解．

解答：

解：

设原来完全平方数M的个位数码是a，十位数码是b，则交换后得到另一个完全平方数N的个位数码是b，十位数码是a，

因为M＞N，

所以两个数的差是（10b+a）﹣（10a+b）=9（b﹣a），

设M=x2，N=y2，

则M﹣N=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=9（b﹣a），

由于完全平方数个位上只能是0（不合题意），1，4，5，6，9，

则b﹣a=1，2，3，4，5，8，9，

则有

（不合题意舍去），

，解得

，即M=196，N=169（符合题意），

（不合题意舍去），

（不合题意舍去）．

只有一组解符合要求，因此符合条件的M是196，个数为1．

故选：

A．

点评：

本题考查了完全平方数与整数的十进制表示法，关键是设出原来完全平方数M的个位数码是a，十位数码是b，然后根据题意列方程求解．

4：

5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？

（　　）

底面积（平方公分）

甲杯

乙杯

丙杯

100

A．5.4B．5.7C．7.2D．7.5

考点：

专题：

应用题．

分析：

根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3：

4：

5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度．

解答：

解：

设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，

根据题意得：

60×10+80×10+100×10=60×3x+80×4x+100×5x，

解得：

x=2.4，

则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2（公分）．

故选：

C．

点评：

此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

A．1B．2C．3D．4

考点：

专题：

几何动点问题；压轴题．

分析：

易得两点运动的时间为12s，PQ∥AB，那么四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，列式可求得一次平行，算出Q在BC上往返运动的次数可得平行的次数．

解答：

解：

∵矩形ABCD，AD=12cm，

∴AD=BC=12cm，

∵PQ∥AB，AP∥BQ，

∴四边形ABQP是平行四边形，

∴AP=BQ，

∴Q走完BC一次就可以得到一次平行，

∵P的速度是1cm/秒，

∴两点运动的时间为12÷1=12s，

∴Q运动的路程为12×4=48cm，

∴在BC上运动的次数为48÷12=4次，

∴线段PQ有4次平行于AB，

故选D．

点评：

解决本题的关键是理解平行的次数就是Q在BC上往返运动的次数．

二．填空题（共11小题）

6．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=　64　．

考点：

专题：

压轴题；新定义．

分析：

将（4，5）•（6，8）中的数字分别替换（x1，y1）•（x2，y2）即可解答．

解答：

解：

∵（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，

∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64，

故答案为64．

点评：

本题考查了新定义和代数式求值，弄清运算法则是解题的关键．

第一年

第二年

第三年

…

应还款（万元）

0.5+9×0.4%

0.5+8.5×0.4%

…

剩余房款（万元）

8.5

…

若第n年小慧家仍需还款，则第n年应还款　0.54﹣0.002n（填0.5+[9﹣（n﹣2）×0.5]×0.4%或其它正确而未化简的式子也给满分）　万元（n＞1）．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

先求出第（n﹣1）年需还的剩余房款，在此基础上乘以0.4%，再加上0.5即可．

解答：

解：

根据题意可知，第（n﹣1）年需还的剩余房款=9﹣0.5（n﹣2），

∴第n年应还款=0.5+[9﹣0.5（n﹣2）]×0.4%=0.54﹣0.002n．

点评：

关键是理解第n年的剩余房款是在第（n﹣1）年的基础上进行计算的．

8．（2010•重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是　24　千克．

考点：

专题：

比例分配问题；压轴题．

分析：

由题意可得现在A种饮料的重量为40千克，B种饮料的重量为60千克，可根据“混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同”来列等量关系．

解答：

解：

设原来A种饮料的浓度为a，原来B种饮料的浓度为b，从每种饮料中倒出的相同的重量是x千克．

由题意，得

，

化简得（5a﹣5b）x=120a﹣120b，即（a﹣b）x=24（a﹣b），

∵a≠b，

∴x=24．

∴从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．

故答案为：

24．

点评：

此题考查的知识点是一元一次方程的应用，当一些必须的量没有时，可设出相应的未知数，只把所求的量当成未知数求解．找到相应的等量关系是解决问题的关键．

9．（2012•河南模拟）已知A=2x+1，B是多项式，在计算B+A时，某同学把B+A看成了B÷A，结果得x2﹣3，则B+A=　2x3+x2﹣4x﹣2　．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

由B除以A商为x2﹣3，且A=2x+1，利用被除数等于商乘以除数，表示出B，利用多项式乘以多项式的法则计算，确定出B，再由B+A列出关系式，去括号合并后即可得到结果．

解答：

解：

根据题意列出B=（2x+1）（x2﹣3）=2x3﹣6x+x2﹣3=2x3+x2﹣6x﹣3，

则B+A=（2x3+x2﹣6x﹣3）+（2x+1）=2x3+x2﹣4x﹣2．

故答案为：

2x3+x2﹣4x﹣2．

点评：

此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：

去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．

10．（2006•杭州）在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是　2　或　3　或　4　．

考点：

分析：

根据多项式乘法法则来解答．

解答：

解：

（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，共两项；

（2）（x+5）（x+4）=x2+9x+20，共三项；

（3）（x+y）（a+b）=xa+ya+xb+yb，共四项．

点评：

要注意：

同类项的概念是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，不是同类项的一定不能合并．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据题意计算出涨价后，原A价格为18元，B上涨10%，变为11元，得出总成本上涨12%，即可得出涨价前每100千克成本以及涨价后每100千克成本，进而得出x的值即可得出答案．

解答：

解：

原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，

涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，

设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100﹣x）千克，

则涨价前每100千克成本为15x+10（100﹣x），

涨价后每100千克成本为18x+11（100﹣x），

18x+11（100﹣x）=[15x+10（100﹣x）]•（1+12%），

18x+11（100﹣x）=1.12[15x+10（100﹣x）]，

7x+1100=5.6x+1120，

1.4x=20，

解得：

千克，

100﹣x=

千克，

即二者的比例是：

A：

B=1：

6，

则涨价前每千克的成本为

元，销售价为

元，

利润为7.5元，

原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%=3元，保证利润为7.5元，

则利润率为：

7.5÷（12+3）=50%．

故答案为：

50%．

点评：

此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出涨价前每100千克成本为15x+10（100﹣x），涨价后每100千克成本为18x+11（100﹣x）是解决问题的关键．

”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有　3　盏灯．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据题意，假设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出等式，解方程，即可得解．

解答：

解：

假设顶层的红灯有x盏，由题意得：

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，

127x=381，

x=3；

答：

塔的顶层是3盏灯．

故答案为：

3．

点评：

此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

13．（2011•广州）定义新运算“⊗”，

，则12⊗（﹣1）=　8　．

考点：

专题：

压轴题；新定义．

分析：

根据已知可将12⊗（﹣1）转换成

a﹣4b的形式，然后将a、b的值代入计算即可．

解答：

解：

12⊗（﹣1）

×12﹣4×（﹣1）

故答案为：

8．

点评：

本题主要考查代数式求值的方法：

直接将已知代入代数式求值．

14．（2013•永州）已知

=0，则

的值为　﹣1　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．

解答：

解：

∵

=0，

∴a、b异号，

∴ab＜0，

∴

=﹣1．

故答案为：

﹣1．

点评：

本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数，判断出a、b异号是解题的关键．

15．（2005•龙岩）已知m＜0，n＞0，x2﹣px+q=（x﹣m）（x﹣n），且pq＞0，则|m|与|n|的大小关系|m|　＞　|n|（填“＜”、“＞”、“=”）．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据公式：

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），及有理数的运算法则求解．

解答：

解：

∵x2﹣px+q=（x﹣m）（x﹣n），

∴m+n=p，mn=q．

又∵m＜0，n＞0，且pq＞0，

∴mn＜0，m+n＜0，

∴m＜﹣n，

∴|m|＞|n|．

答：

|m|与|n|的大小关系|m|＞|n|．

点评：

此题用到了公式：

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），也考查了有理数的加法、乘法法则，有一定难度，培养了学生的推理能力．

16．（2002•常州）若|x|+3=|x﹣3|，则x的取值范围是　x≤0　．

考点：

专题：

压轴题；分类讨论．

分析：

根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析．

解答：

解：

①当x≥3时，原式可化为：

x+3=x﹣3，无解；

②当0＜x＜3时，原式可化为：

x+3=3﹣x，此时x=0；

③当x≤0时，原式可化为：

﹣x+3=3﹣x，等式恒成立．

综上所述，则x≤0．

点评：

此题主要是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断．

三．解答题（共3小题）

17．已知关于x的方程

x﹣3和3a=3（x+a）﹣2a的解相同，求a的值．

考点：

专题：

计算题．

分析：

通过解关于x的方程

x﹣3求得x的值，然后将x的值代入3a=3（x+a）﹣2a列出关于a的新方程，通过解该新方程即可求得a的值．

解答：

解：

由关于x的方程

x﹣3，得

x=9；

∵关于x的方程

x﹣3和3a=3（x+a）﹣2a的解相同，

∴3a=3（9+a）﹣2a，

解得，a=

．

点评：

本题考查了同解方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．

18．（2003•宁夏）列方程（组）解下列应用题：

（1）一种商品的进价是400元，标价为600元，打折销售时的利润率为5%，那么，此商品是按几折销售的？

考点：

专题：

增长率问题；经济问题；压轴题．

分析：

（1）设此商品按x折销售，根据商品进价和标价及利润间关系可得方程；

（2）设该厂六，七两月产量平均增长的百分率为x，根据产量的减少和增加可列方程求解．

解答：

解：

（1）设此商品按x折销售．

600×

=400（1+5%），

可求得x=7．

（2）设该厂六，七两月产量平均增长的百分率为x．

5月产量为500（1﹣10%）=450，则6月是450（1+x），7月为450（1+x）（1+x）=648．则：

（1+x）2=

=1.44，

1+x=1.2，

x=20%．

答：

该厂六、七两月产量平均增长的百分率是为20%．

点评：

本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，

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