第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用Word文档格式.doc
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（2）由y≥0.25，得或
解得≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝（小时）．
[点石成金] 求解已给函数模型解决实际问题的关注点
（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
（3）利用该模型求解实际问题．
[提醒] 解决实际问题时要注意自变量的取值范围.
里氏震级M的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000.此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；
9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．
答案：
6'
10000
解析：
根据题意，由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．
考点3 构建函数模型解决实际问题
1.几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函
数模型
f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
反比例函
f（x）＝＋b（k，b为常数且k≠0）
二次函
f（x）＝ax2＋bx＋c
（a，b，c为常数，a≠0）
指数函
f（x）＝bax＋c
（a，b，c为常数，b≠0，a>
0且a≠1）
对数函
f（x）＝blogax＋c
幂函数
模型
f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
2．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax（a>
1）
y＝logax（a>
y＝xn（n>
0）
在（0，＋∞）上
的增减性
单调______
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与________平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>
x0时，有logax<
xn<
ax
递增 递增 y轴 x轴
求解实际问题的两个误区：
忽略自变量的取值范围；
忽略数学结果的实际合理性．
（1）据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________．
y＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000，x∈N）
y＝0.2x＋（4000－x）×
0.3＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000，x∈N），这里不能忽略x的取值范围，否则函数解析式失去意义．
（2）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水，假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则最少需安装喷水龙头________个．
4
可以将正方形分割成4个全等的正方形，每个小正方形的对角线长为8<
12，所以安装4个喷水龙头就可以满足题意．由于是实际问题，不可以这样理解：
每个喷水龙头可喷洒的面积为36π平方米，3个喷水龙头即可喷洒的面积为108π平方米，又108π>
162，最后得出安装3个就可以，这是错误的．
复利公式．
（1）某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和（本金加利息）为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．
y＝a（1＋r）x
（2）人口的增长、细胞分裂的个数以及存款利率（复利）的计算等问题都可以用________函数模型解决．
指数
[考情聚焦] 高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
二次函数模型
[典题3] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：
y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？
如果获利，求出最大利润；
如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
[解] 设该单位每月获利为S，
则S＝100x－y＝100x－
＝－x2＋300x－80000＝－（x－300）2－35000，
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．
[点石成金] 二次函数模型问题的三个注意点
（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
（2）确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
（3）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
角度二
构造分段函数模型
[典题4] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；
若每团人数多于30，则给予优惠：
每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．
（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；
（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解]
（1）设旅行团人数为x，由题得0<
x≤75（x∈N*），飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝
（2）设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15000在区间（0,30]上为单调增函数，故当x＝30时，S取最大值12000元，
又S＝－10（x－60）2＋21000在区间（30,75]上，
当x＝60时，取得最大值21000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．
[点石成金] 解决分段函数模型问题的三个注意点
（1）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；
（2）构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；
（3）分段函数的最值是各段的最大（或最小）值的最大者（最小者）．
角度三
构建“对勾”函数f（x）＝x＋（a>
0）模型
[典题5] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：
万元）与隔热层厚度x（单位：
cm）满足关系C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
[解]
（1）由已知条件得C（0）＝8，则k＝40，
因此f（x）＝6x＋20C（x）
＝6x＋（0≤x≤10）．
（2）f（x）＝6x＋10＋－10
≥2－10
＝70（万元），
当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．
[点石成金] 应用函数模型y＝x＋的关键点
（1）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝叠加而成的．
（2）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋的形式．
（3）利用模型f（x）＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
角度四
构建指、对函数或复杂的分式结构函数模型
[典题6] 已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<
PA<
5.5（注：
lg2≈0.3）．
则正确的说法为________．（写出所有正确说法的序号）
[答案] ③
[解析] 当nA＝1时，PA＝0，故①错误；
若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；
B菌的个数为nB＝5×
104，
∴nA＝＝2×
105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.
又∵lg2≈0.3，∴5<
5.5，故③正确．
[点石成金] 一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.
[方法技巧] 解函数应用问题的四步骤
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
（3）解模：
求解函数模型，得出数学结论；
（4）还原：
将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：
[易错防范] 1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼（如“几年后”与“第几年后”）．
2．在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系．
3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
真题演练集训
1．[2016·
四川卷]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
B
根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×
1.12n－1.由130×
1.12n－1>
200，两边同时取对数，得n－1>
，又≈＝3.8，则n>
4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
2．[2015·
北京卷]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条
件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D
根据图象所给数据，逐个验证选项．
根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；
以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；
甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；
最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
3．[2014·
湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A. B．
C. D．－1
设年平均增长率为x，原生产总值为a，
则（p＋1）（q＋1）a＝a（1＋x）2，解得x＝－1，故选D.
4．[2015·
四川卷]某食品的保鲜时间y（单位：
h）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.
24
由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192（e11k）2，
∴e11k＝＝＝.设该食品在33℃的保鲜时间是th，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192（e11k）3＝192×
3＝24.
课外拓展阅读
利用函数模型巧解抽象函数问题
函数部分有一类抽象函数问题，这类问题给定函数f（x）的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程．这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个函数模型，结合这个函数模型的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解．
[典例1] 已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>
0时有f（x）>
0，f（－1）＝－2，求f（x）在[－2,1]上的值域．
[思路分析]
―→
[解] 因为对任意实数x，y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），
令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），故f（0）＝0；
再令y＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x），即f（x）为奇函数．
设x1<
x2，则x2－x1>
0.
因为当x>
0时，f（x）>
0，所以f（x2－x1）>
所以f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1）>
0，所以f（x）为R上的增函数．
又f（－2）＝f（－1－1）＝2f（－1）＝－4，
f
（1）＝－f（－1）＝2，
所以当x∈[－2,1]时，f（x）∈[－4,2]．
[典例2] 设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·
f（n），且当x>
0时，0<
f（x）<
1.
（1）求证：
f（0）＝1，且当x<
0时，有f（x）>
1；
（2）判断f（x）在R上的单调性．
（1）[证明] 因为对任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·
f（n），
令m＝1，n＝0，则f
（1）＝f
（1）·
f（0）．
1，所以f（0）＝1.
设m＝x<
0，n＝－x>
0，所以f（0）＝f（x）·
f（－x），
所以f（x）＝＝>
即当x<
（2）[解] 设x1<
0，
所以0<
f（x2－x1）<
1，
由
（1）知，f（x1）>
所以f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）·
f（x1）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<
即f（x2）<
f（x1），所以f（x）在R上单调递减．
[典例3] 设函数f（x）满足f＝f（x）－f（y）．
f
（1）＝0；
（2）求证：
f（xn）＝nf（x）（n∈N）．
[证明]
（1）令x＝y＝1，则f＝f
（1）－f
（1）＝0，从而f
（1）＝0.
（2）因为f（xy）＝f＝f（x）－f＝f（x）－f
（1）＋f（y）＝f（x）＋f（y），
所以f（xn）＝f（x·
x·
…·
x）＝nf（x）（n∈N）．
n个x
归纳总结
利用函数模型解决抽象函数问题时，可以先从题设条件及欲证结论入手，多方面猜想函数模型，然后以此函数模型为桥梁，找出证明抽象函数其他性质的方法．常见的抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表如下：
抽象函数的性质
特殊函数模型
①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）（x>
0，y>
0）；
②f（x－y）＝f（x）－f（y）（x>
正比例函数
f（x）＝kx（k≠0）
①f（x）f（y）＝f（x＋y）（x，y∈R）；
②＝f（x－y）（x，y∈R，f（y）≠0）
指数函数
f（x）＝ax
（a>
0，a≠1）
①f（xy）＝f（x）＋f（y）（x>
②f＝f（x）－f（y）（x>
对数函数
f（x）＝logax
①f（xy）＝f（x）f（y）（x，y∈R）；
②f＝（x，y∈R，y≠0）
f（x）＝xn
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