圆锥曲线定点、定直线、定值问题.doc

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定点、定直线、定值专题

1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标．

【标准答案】（I）由题意设椭圆的标准方程为

，

（II）设，由得，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，，

（最好是用向量点乘来），

，

，解得，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

2、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。

试问：

当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？

若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

解法一：

（Ⅰ）设椭圆的方程为。

………………… 1分

∵，，∴，。

……………… 4分

∴椭圆的方程为。

……………………………………… 5分

（Ⅱ）取得，直线的方程是

直线的方程是交点为 …………7分,

若，由对称性可知交点为

若点在同一条直线上，则直线只能为。

…………………8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由得即，

记，则。

………… 9分

设与交于点由得

设与交于点由得……… 10

，……12分

∴，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。

13分

解法二：

（Ⅱ）取得，直线的方程是直线的方程是交点为 ………………………………………… 7分

取得，直线的方程是直线的方程是交点为∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。

……………8分

以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。

事实上，由得即，记，则。

………………9分

的方程是的方程是消去得… ①以下用分析法证明时，①式恒成立。

要证明①式恒成立，只需证明即证即证……………… ②∵∴②式恒成立。

这说明，当变化时，点恒在定直线上。

解法三：

（Ⅱ）由得即。

记，则。

…………… 6分

的方程是的方程是 …… 7分

由得 ………………… 9分

即

……………………………… 12分

这说明，当变化时，点恒在定直线上。

……………… 13分

3、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值

为，离心率为﹒

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作直线交于、两点，试问：

在轴上是否存在一个定点，为定值？

若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒

解：

（I）设椭圆E的方程为,由已知得：

。

。

。

。

。

2分

椭圆E的方程为。

。

。

。

3分

（Ⅱ）法一：

假设存在符合条件的点，又设，则：

。

。

。

。

。

5分

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：

，则

由得

7分

所以 9分

对于任意的值，为定值，所以，得，

所以； 11分

②当直线的斜率不存在时，直线

由得

综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为﹒ 13分

法二：

假设存在点，又设则：

=…. 5分

①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

由得 7分

9分

设则

11分

②当直线的斜率为0时，直线，由得：

综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为 。

。

。

。

13分

4、已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。

（I）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；

（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、

三点共线？

若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。

解法一：

（I）设椭圆方程为，由题意知

故椭圆方程为

（Ⅱ）由（I）得，所以，设的方程为（）

代入，得设

则,

由，

当时，有成立。

（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。

依题意知，直线BC的方程为，令，则

的方程为、在直线上，

在轴上存在定点，使得三点共线。

解法二：

（Ⅱ）由（I）得，所以。

设的方程为

代入，得设则

当时，有成立。

（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线。

设存在使得、、三点共线，则，

，

即

，存在，使得三点共线。

6、（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段

AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

解：

（I）圆过点O、F，M在直线上。

设则圆半径

由得 解得

所求圆的方程为

（II）设直线AB的方程为

代入整理得

直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

记中点 则

的垂直平分线NG的方程为令得

点G横坐标的取值范围为

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