初二数学圆精选.doc

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一.教学内容：

圆中计算问题中考题选讲

二.教学重点：

1.求阴影部分的面积。

2.解决实际问题。

【典型例题】

一、阴影部分面积求解的几种方法：

例1.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求图中阴影部分的面积。

分析：

图中阴影部分可看作弓形BC面积与三角形ABC面积的和，而△ABC不是Rt△，所以考虑借助OA∥BC将△ABC移形，连接OC、OB，则S△OCB＝S△ACB。

则阴影部分面积为扇形AOB面积。

解：

连接OB、OC，因为BC∥OA

所以△ABC与△OBC在BC上的高相等

所以

所以

又∵AB是⊙O的切线

所以OB⊥AB，而OB＝2，OA＝4

所以∠AOB＝60°，

由BC∥OA得∠OBC＝60°

所以△OBC为等边三角形，∠BOC＝60°

例2.如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。

分析：

图中阴影部分面积为：

以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB面积；

而弓形面积等于扇形AOB面积减去△AOB面积。

解：

∵OA＝4cm，∠O＝90°，OB＝4cm

∴

又

所以

而

故

例3.如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？

分析：

五个扇形的圆心角分别为

而

解：

设这个五个扇形的圆心角的度数分别为

∵五边形ABCDE内和角等于540°

则

五个扇形面积之和等于

例4.已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆⊙M，过M引MP∥AO交于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分的面积S阴。

分析：

此阴影部分不是一个规则图形，不能用公式直接求解。

所以考虑将它分割为可求图形的面积求解。

解：

连接OP

∵OA⊥OB，又∵MP∥OA

∴MP⊥OB，又∵OM＝BM＝1

OP＝OA＝2

∴∠1＝60°，∠2＝30°

∴

∴

设PM与半圆⊙M交于Q

∴

∴

例5.如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点D，MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半径，求阴影部分的面积。

分析：

所以关键是求⊙O半径OB或OM或ON

⊙C半径AC或CO或CD

而MN为⊙C切线，CD⊥MN且CD为⊙C半径

解：

过O作OE⊥MN于E，则OE平分MN

∵MN∥AB可得四边形EOCD为矩形

所以OE＝CD，连接ON

在Rt△EON中

ON＝4

二、实际问题

例1.一个小孩荡秋千，如图所示，秋千的链子的长为OA＝2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，并且两边摆动角度相同。

求：

（1）秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。

（2）秋千从B点摆动到D点所走过的路程（结果精确到0.01m）

分析：

抽象出几何图形

OB＝OD＝OA为秋千的链子长

OA为秋千摆至最低位置

OB与OD为秋千摆至最高位置

AC为这两个位置的差

为摆动的路程。

解：

连接BD交OA与C，则OA⊥BD于C

，∠BOD＝60°

则∠BOC＝∠COD＝30°

Rt△OCD中，

米

（2）的长l＝米

答：

（1）略。

（2）略。

例2.某燃料公司的院内堆放10个外径为1米的空油桶，为了防雨，防雷，需搭建简易防雨棚，这个防雨棚的高度最低应为多少米？

分析：

实际问题抽象成几何模形，用几何图形解决。

解：

△ABC为等边三角形

AB＝6个半径＝3米

米

则防雨棚高度等于米。

答：

高至少为米。

例3.新疆哈萨克民族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布，已知圆锥的底面直径是5.7m，母线长是3.2m，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m2）（）

A. B. C. D.

分析：

求圆锥侧面积

解：

∵

选B。

例4.如图，有一直径是米的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是90°的一个最大扇形ABC，求

（1）被剪掉阴影部分的面积。

（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？

（结果可用根号表示）。

（3）求圆锥的全面积。

分析：

阴影部分面积是圆的面积减去一个圆心角为90°的扇形面积，其关键是要求出扇形的半径，由弧长等于底面周长可求出半径。

解：

（1）连接BC

因为∠A＝90°，所以BC为⊙O的直径，BC

在Rt△ABC中，

又

（2）设圆锥底面半径为r，则长为

所以

（3）

例5.如图，这是圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线，照射桌面后，在地面上形成阴影（图形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积是多少？

分析：

灯泡的光线射在地面上，形成的阴影可体会成一个圆锥，要求阴影的面积，即求底面圆的半径即可。

解：

由已知可作轴截面

其中

从而OC＝2m，BC＝0.6

由BC∥OA得：

所以

【模拟试题】（答题时间：

40分钟）

一.选择题。

1.在半径为3的⊙O中，弦MN＝3，则的长为（）

A. B. C. D.

2.扇形的周长为16，圆心角为，则扇形的面积为（）

A.16 B.32 C.64 D.

3.如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的，那么这个圆柱的侧面积是（）

A. B.

C. D.

4.已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的侧面展开图的面积是（）

A. B. C. D.

5.如图，ABCD是正方形，边长为a，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为（）

A. B.

C. D.

二.填空题。

1.直径为12cm的圆，60°圆周角所对的弧的弧长为___________厘米。

2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D点，若AC＝6cm，则的长为___________厘米。

3.一个扇形的弧长为厘米，面积为cm2，则该扇形的圆心角为___________度。

4.已知圆柱母线与底面圆的直径相等，且底面积为，则圆柱的侧面积为_________。

5.若圆锥的母线长为6cm，侧面展开图是圆心角为300°的扇形，则圆锥底面半径为___________cm。

6.圆锥底面半径为4cm，母线长为24cm，则侧面展开图中扇形的圆心角为__________。

7.若用半径为15cm，圆心角为216°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为___________cm。

三.解答题。

1.已知的长为厘米，所对的圆周角∠ACB＝60°，求弦AB的长。

2.如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，∠B＝45°，，AD⊥BC，垂足为D，以A为圆心，AD为半径画弧，求图中阴影部分的面积。

3.如图，中，∠C＝90°，AC＝BC＝cm，分别以A、B、C为圆心画弧，使所在的圆两两外切。

求：

（1）的长；

（2）阴影部分的面积。

4.如图，圆柱的高为12cm，底面直径为10cm，求图中圆锥的全面积。

【试题答案】

一.选择题。

1.B 2.A 3.B 4.B 5.D

二.填空题。

1. 2.

3.150 4.

5.5 6.60°

7.12

三.解答题。

1.解：

连结OB，OA，并过O作OM⊥AB于M

∴AM＝BM＝

∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°

∵

在Rt△BOM中

∠AOM＝60°

∴

2.解：

∵△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC，

∠BAC＝105°

∴∠BAD＝45°，∠DAC＝60°

∴BD＝AD＝2，

∴BC＝2＋

3.解：

（1）设BF＝x，CF＝y，AE＝z

∵∠C＝90°，AC＝BC＝∴AB＝2

则有

∴

∴

（2）

4.解：

连结，

∵BC＝10，∴O1C＝5

又∵O1O2＝12

∴Rt中

∴