湖南省衡阳市中考数学试卷.doc

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2016年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）（2016•衡阳）﹣4的相反数是（　　）

A．﹣B．C．﹣4D．4

2．（3分）（2016•衡阳）如果分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．全体实数B．x≠1C．x=1D．x＞1

3．（3分）（2016•衡阳）如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（　　）

A．70°B．80°C．90°D．100°

4．（3分）（2016•衡阳）下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（　　）

A．

球体B．

圆柱体C．

四棱锥D．

圆锥

5．（3分）（2016•衡阳）下列各式中，计算正确的是（　　）

A．3x+5y=8xyB．x3•x5=x8C．x6÷x3=x2D．（﹣x3）3=x6

6．（3分）（2016•衡阳）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（　　）

A．0.36×107B．3.6×106C．3.6×107D．36×105

7．（3分）（2016•衡阳）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（　　）

A．平均数B．中位数C．众数D．方差

8．（3分）（2016•衡阳）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（　　）

A．10B．11C．12D．13

9．（3分）（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　）

A．10（1+x）2=16.9B．10（1+2x）=16.9C．10（1﹣x）2=16.9D．10（1﹣2x）=16.9

10．（3分）（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（　　）

A．k=﹣4B．k=4C．k≥﹣4D．k≥4

11．（3分）（2016•衡阳）下列命题是假命题的是（　　）

A．经过两点有且只有一条直线

B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半

C．平行四边形的对角线相等

D．圆的切线垂直于经过切点的半径

12．（3分）（2016•衡阳）如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（　　）

A．B．C．D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2016•衡阳）因式分解：

a2+ab=　　　　　　．

14．（3分）（2016•衡阳）计算：

﹣=　　　　　　．

15．（3分）（2016•衡阳）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是　　　　　　．

16．（3分）（2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：

16，则△ABC与△DEF的周长之比为　　　　　　．

17．（3分）（2016•衡阳）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为　　　　　　．

18．（3分）（2016•衡阳）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为　　　　　　．

三、解答题（共8小题，满分66分）

19．（6分）（2016•衡阳）先化简，再求值：

（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．

20．（6分）（2016•衡阳）为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为　　　　　　；

（2）请将图②补充完整；

（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？

（要有解答过程）

21．（6分）（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：

DE=CF．

22．（8分）（2016•衡阳）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．

（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；

（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

23．（8分）（2016•衡阳）为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：

港口

运费（元/台）

甲库

乙库

A港

B港

（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．

24．（10分）（2016•衡阳）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）

（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？

（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？

（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？

25．（10分）（2016•衡阳）在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．

（3）以

（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

26．（12分）（2016•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将

（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？

若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

2016年湖南省衡阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）（2016•衡阳）﹣4的相反数是（　　）

A．﹣B．C．﹣4D．4

【分析】直接利用相反数的概念：

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．

【解答】解：

﹣4的相反数是：

4．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．

2．（3分）（2016•衡阳）如果分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．全体实数B．x≠1C．x=1D．x＞1

【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值．

【解答】解：

∵分式有意义，

∴x﹣1≠0，

解得：

x≠1．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确得出分母不能为零是解题关键．

3．（3分）（2016•衡阳）如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（　　）

A．70°B．80°C．90°D．100°

【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴∠1=∠B=50°，

∵∠C=40°，

∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°，

故选C．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，注意：

两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．

4．（3分）（2016•衡阳）下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（　　）

A．

球体B．

圆柱体C．

四棱锥D．

圆锥

【分析】根据各个几何体的三视图的图形易求解．

【解答】解：

A、球体的三视图都是圆，故此选项正确；

B、圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，故此选项错误；

C、四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，故此选项错误；

D、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故此选项错误．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，本题只要清楚了解各个几何体的三视图即可求解．

5．（3分）（2016•衡阳）下列各式中，计算正确的是（　　）

A．3x+5y=8xyB．x3•x5=x8C．x6÷x3=x2D．（﹣x3）3=x6

【分析】分别利用同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：

A、3x+5y，无法计算，故此选项错误；

B、x3•x5=x8，故此选项正确；

C、x6÷x3=x3，故此选项错误；

D、（﹣x3）3=﹣x9，故此选项错误；

故选：

B．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确把握相关定义是解题关键．

6．（3分）（2016•衡阳）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（　　）

A．0.36×107B．3.6×106C．3.6×107D．36×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：

3600000=3.6×106，

故选：

B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7．（3分）（2016•衡阳）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（　　）

A．平均数B．中位数C．众数D．方差

【分析】根据方差的意义：

方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差．

【解答】解：

方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．

故选：

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

8．（3分）（2016•衡阳）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（　　）

A．10B．11C．12D．13

【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．

【解答】解：

外角是：

180°﹣150°=30°，

360°÷30°=12．

则这个正多边形是正十二边形．

故选：

C．

【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．

A．10（1+x）2=16.9B．10（1+2x）=16.9C．10（1﹣x）2=16.9D．10（1﹣2x）=16.9

【分析】根据题意可得：

2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：

设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，

根据题意，可列方程：

10（1+x）2=16.9，

故选：

A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

10．（3分）（2016•衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（　　）

A．k=﹣4B．k=4C．k≥﹣4D．k≥4

【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可．

【解答】解：

∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，

∴△=42﹣4k=0，

解得：

k=4，

故选：

B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

11．（3分）（2016•衡阳）下列命题是假命题的是（　　）

A．经过两点有且只有一条直线

B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半

C．平行四边形的对角线相等

D．圆的切线垂直于经过切点的半径

【分析】根据直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断A、B、D正确．

【解答】解：

A、经过两点有且只有一条直线，正确．

B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确．

C、平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．

D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．

故选C．

【点评】本题考查命题与定理、直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理等知识，解题的关键是灵活应用直线知识解决问题，属于中考常考题型．

A．B．C．D．

【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．

【解答】解：

设∠AOM=α，点P运动的速度为a，

当点P从点O运动到点A的过程中，S==a2•cosα•sinα•t2，

由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；

当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，

故本段图象应为与横轴平行的线段；

当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，

故本段图象应该为一段下降的线段；

故选：

A．

【点评】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2016•衡阳）因式分解：

a2+ab=　a（a+b）　．

【分析】直接把公因式a提出来即可．

【解答】解：

a2+ab=a（a+b）．

故答案为：

a（a+b）．

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．

14．（3分）（2016•衡阳）计算：

﹣=　1　．

【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．

【解答】解：

原式=

=1．

故答案为：

1．

【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．

15．（3分）（2016•衡阳）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是　x＞2　．

【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x的取值范围即可．

【解答】解：

∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，

∴，

解得：

x＞2．

故答案为：

x＞2．

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出关于x的不等式组是解题关键．

16．（3分）（2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：

16，则△ABC与△DEF的周长之比为　5：

4　．

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．

【解答】解：

∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：

16，

∴△ABC与△DEF的相似比为5：

4；

∴△ABC与△DEF的周长之比为5：

4．

故答案为：

5：

4．

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．

（1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

17．（3分）（2016•衡阳）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为　16　．

【分析】设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到8π=，然后解方程即可．

【解答】解：

设该圆锥的母线长为l，

根据题意得8π=，解得l=16，

即该圆锥的母线长为16．

故答案为16．

【点评】本题考查了圆锥的计算：

圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

18．（3分）（2016•衡阳）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为　10　．

【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n=n（n+1）+1，依此可得等量关系：

n条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可．

【解答】解：

依题意有

n（n+1）+1=56，

解得n1=﹣11（不合题意舍去），n2=10．

答：

n的值为10．

故答案为：

10．

【点评】考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点．

三、解答题（共8小题，满分66分）

19．（6分）（2016•衡阳）先化简，再求值：

（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．

【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项即可化简，将a、b的值代入求值即可．

【解答】解：

原式=a2﹣b2+a2+2ab+b2

=2a2+2ab，

当a=﹣1，b=时，

原式=2×（﹣1）2+2×（﹣1）×

=2﹣1

=1．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为　20%　；

（2）请将图②补充完整；

（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？

（要有解答过程）

【分析】

（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比；

（2）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择C的人数，从而可以将图②补充完整；

（3）根据条形统计图和扇形统计图可以估计全校选择此必唱歌曲的人数．

【解答】解：

（1）由题意可得，

本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：

×100%=20%．

故答案为：

20%；

（2）由题意可得，

选择C的人数有：

30÷﹣36﹣30﹣44=70（人），

故补全的图②如下图所示，

（3）由题意可得，

全校选择此必唱歌曲共有：

1530×=595（人），

即全校共有595名学生选择此必唱歌曲．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

21．（6分）（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：

DE=CF．

【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．

【解答

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