宁波市2013年中考数学卷(含详细答案解析).doc

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宁波市2013年中考数学卷

一、选择题（每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求）

1．－5的绝对值为（）

A．－5B．5C．D．

2．下列计算正确的是（）

A．B．C．D．

3．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

4．在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（）

A．B．C．D．

5．备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车，此项目总投资约77亿元，77亿元用科学计数法表示为（）

A．元B．元C．元D．元

6．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）

A．5B．6C．7D．8

7．两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（）

A．内含B．内切C．相交D．外切

8．如果三角形的两条边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）

A．6B．8C．10D．12

9．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（）

A．B．C．D．

10．如图，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）

A．abc<0B．2a＋b<0C．a－b＋c<0D．4ac－b2＜0

11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连接BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（）

A．B．C．D．2

12．7张如图1的长为a，宽为b（a>b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）

A．B．a=3bC．D．a=4b

二、填空题（每小题3分，满分18分）

13．实数－8的立方根是

14．因式分解：

x2－4=

15．已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴对称，则该函数的解析式为

16．数据－2，－1，0，3，5的方差是

17．如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=，弦CD=DE=4，连接OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为

18．如图，等腰直角三角形ABC顶点A，C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为

三、解答题（本大题有8小题，共76分）

19．（本题6分）先化简，再求值：

（1＋a）（1－a）＋（a－2）2，其中a=－3

20．（本题7分）解方程：

21．（本题7分）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹，如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度CD为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）

22．（本题9分）2013年5月7日浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如下图所示：

（1）这11个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少？

（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优，求这11个城市当天的空气质量为优的频率；

（3）求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量的平均数．

23．（本题9分）已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0），B（3，0）且过点C（0，－3）

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标

（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=－x上，并写出平移后抛物线的解析式．

24．（本题12分）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：

甲

乙

进价（元/部）

4000

2500

售价（元/部）

4300

3000

该商场计划购进两种手机若干部，共需15．5万元，预计全部销售后获毛利润共2．1万元（毛利润=（售价－进价）×销售量）

（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量，已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？

并求出最大毛利润．

25．（本题12分）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC，求证：

BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A，B，C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找出一个点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数

26．（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（－4，0），点P在射线AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD，过P，D，B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连接EF，BF

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时，

①求证：

∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：

点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2:

1？

如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案

1．【考点】绝对值．

【分析】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

【解答】B

【点评】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项．

【分析】a2＋a2=2a2，2a－a=a，（a2）3=a6．

【解答】C

3．【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断．

【解答】D

【点评】判断中心对称图形就是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．【考点】概率公式．

【分析】根据题意可得：

一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是=．

【解答】D

【点评】概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

5．【考点】科学记数法（表示较大的数）．

【分析】77亿=7700000000=7．7×109．

【解答】A

【点评】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

6．【考点】多边形内角与外角．

【分析】多边形的边数是360÷72=5．

【解答】A

【点评】任何多边形的外角和都是360度．

7．【考点】圆与圆的位置关系．

【分析】∵两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，又∵2＋3=5，∴这两个圆外切．

【解答】D

【点评】掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间．

8．【考点】三角形中位线定理；三角形三边关系．

【分析】设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，则2＜c＜10，14＜三角形的周长＜20，故7＜中点三角形周长＜10．

【解答】B

9．【考点】展开图折叠成几何体．

【分析】A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体；B、剪去阴影部分后，无法组成长方体；C、剪去阴影部分后，能组成长方体；D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体．

【解答】C

【点评】空间想象能力．

10．【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴x=－=1＞0，则b＜0．抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，所以abc＞0．故选项A错误；

∵x=－=1，∴b=－2a，∴2a＋b=0．故选项B错误；

∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（－1，0），∴当x=－1时，y=0，即a－b＋c=0．故选项C错误；

根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2－4ac＞0，则4ac－b2＜0．故选项D正确．

【解答】D

【点评】二次函数y=ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

11．【考点】梯形；等腰三角形的判定与性质．

【分析】延长AE交BC于F，

∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF．∵AB=，BC=4，∴CF=4－=．∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．

【解答】B

【点评】梯形问题，关键在于准确作出辅助线．

12．【考点】整式的混合运算．

【分析】左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，

∵AD=BC，即AE＋ED=AE＋a，BC=BP＋PC=4b＋PC，∴AE＋a=4b＋PC，即AE－PC=4b－a，∴阴影部分面积之差S=AE•AF－PC•CG=3bAE－aPC=3b（PC＋4b－a）－aPC=（3b－a）PC＋12b2－3ab，则3b－a=0，即a=3b．

【解答】B

13．【考点】立方根．

【分析】∵（－2）3=－8，∴－8的立方根是－2．

【解答】－2

【点评】如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．

14．【考点】因式分解（运用公式法）．

【分析】x2－4=（x＋2）（x－2）．

【解答】（x＋2）（x－2）

【点评】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点：

两项平方项，符号相反．

15．【考点】反比例函数的性质．

【分析】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴－y=，即y=－．

【解答】y=－

16．【考点】方差．

【分析】这组数据－2，－1，0，3，5的平均数是（－2－1＋0＋3＋5）÷5=1，则这组数据的方差是[（－2－1）2＋（－1－1）2＋（0－1）2＋（3－1）2＋（5－1）2]=．

【解答】

【点评】一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]．

17．【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】∵弦AB=BC，弦CD=DE，∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，∴∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，

则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，在四边形OFCG中，∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，则∠FCN=90°，∠NCG=135°－90°=45°，∴△CNG为等腰三角形，∴CG=NG=2．过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，∴OG=ON＋NG=6，在Rt△OGD中，OD===2，即圆O的半径为2，故S阴影=S扇形OBD==10π．

【解答】10π

【点评】解答本题的关键是求出圆O的半径．

18．【考点】反比例函数综合题．

【分析】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），∴C（a，0），B（a，2），A（2－a，0），∴易求直线AB的解析式是y=x＋2－a．又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE=∠BCA=90°，∴直线y=x与直线DE垂直，∴点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3．又∵点D在直线AB上，∴=b＋2－a，即2a2－2a－3=0，解得a=，∴点E的坐标是（，）．

【解答】（，）

【点评】注意双曲线的对称性的应用．

19．【考点】整式的混合运算（化简求值）．

【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算．

【解答】解：

原式=1－a2＋a2－4a＋4=－4a＋5，

当a=－3时，原式=12＋5=17．

20．【考点】解分式方程．

【分析】

【解答】解：

方程的两边同乘（x－1），得－3=x－5（x－1），

解得x=2，

检验，将x=2代入（x－1）=1≠0，

∴x=2是原方程的解．

【点评】

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

21．【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）．

【分析】在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD，BD的长度，然后根据AB=AD＋BD即可求出AB的值．

【解答】解：

由题意得，∠EAC=45°，∠FCB=60°，

∵EF∥AB，∴∠CAD=∠ECA=45°，∠CBD=∠FCB=60°．

在Rt△CDB中，tan∠CBD=，∴BD==17，

∵AD=CD=51米，∴AB=AD＋BD=51＋17．

答：

A，B之间的距离为（51＋17）米．

【点评】根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形．

22．【考点】条形统计图；频数与频率；算术平均数；中位数；众数；极差．

【分析】

（1）极差=最大值－最小值；众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数：

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；

（2）从条形统计图中找出这11个城市当天的空气质量为优的城市个数，再除以城市总数；

（3）根据平均数的计算方法进行计算．

【解答】解：

（1）极差：

80－37=43；众数：

50；中位数：

50；

（2）这11个城市中当天的空气质量为优的有6个，这11个城市当天的空气质量为优的频率为；

（3）=（50＋60＋57＋37＋55）=51．8．

【点评】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

23．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．

【分析】

（1）利用交点式得出y=a（x－1）（x－3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标；

（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2．

【解答】解：

（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x－1）（x－3），

把C（0，－3）代入得3a=－3，解得a=－1，

故抛物线解析式为y=－（x－1）（x－3），即y=－x2＋4x－3，

∵y=－x2＋4x－3=－（x－2）2＋1，

∴顶点坐标（2，1）；

（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=－x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上．

【点评】根据平移性质得出平移后解析式．

24．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】

（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为15．5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解；

（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，表示出购买的总资金，由总资金部超过16万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．

【解答】解：

（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意，得

解得

答：

商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；

（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，由题意，得

0.4（20－a）＋0．25（30＋2a）≤16，解得a≤5．

设全部销售后获得的毛利润为W元，由题意，得W=0.03（20－a）＋0.05（30＋2a）=0.07a＋2.1，

∵k=0.07＞0，∴W随a的增大而增大，∴当a=5时，W最大=2．45．

答：

当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．

25．【考点】四边形综合题．

【分析】

（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形；

（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在弧BC上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形；

（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质求出∠BCD的度数．

【解答】解：

（1）∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．

∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，

∴∠ABD=∠ADB，

∴△ADB是等腰三角形．

在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，

∴△BCD为等腰三角形，

∴BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）由题意作图：

（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．

∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，

∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC，∴△ABC是正三角形，

∴∠BAC=∠BCA=60°．

∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°，

∴∠BCD=60°＋75°=135°．

如图5，当AD=CD时，∴AB=AD=BC=CD．

∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°；

如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，

∵AC=CD，CE⊥AD，∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．

∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE是矩形．

∴BF=AE．

∵AB=AD=BC，∴BF=BC，∴∠BCF=30°．

∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC．

∵AB∥CE，∴∠BAC=∠ACE，∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，

∴∠BCD=15°×3=45°．

【点评】解答如图6这种情况容易忽略，应合理运用分类讨论思想．

26．【考点】一次函数综合题．

【分析】

（1）设直线AB的函数解析式为y=kx＋4，把（4，0）代入求得k；

（2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，得出∠BDE=∠ADP；

②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP＋∠DPE，∠BDE=∠ABD＋∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x；

（3）当=2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4－OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x＋，联立y=－x＋4求出点P的坐标；当=时，连结EB，同理可求出点P的坐标．

【解答】解：

（1）设直线AB的函数解析式为y=kx＋4，代入（4，0）得4k＋4=0，解得k=－1，

则直线AB的函数解析式为y=－x＋4；

（2）①由已知得OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，

∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP；

②连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP＋∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD＋∠OAB．

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°．

∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=DE，即y=x；

（3）当BD：

BF=2：

1时，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO＋∠OBF=90°，∠OBF＋∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH．

又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，

∴===2，∴FH=2，OD=2BH．

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四边形OEFH是矩形，∴OE=FH=2，∴EF=OH=4－OD．

∵DE=EF，∴2＋OD=4－OD，解得OD=，∴点D的坐标为（0，），

∴直线CD的解析式为y=x＋．

由解得

则点P的坐标为（2，2）；

当=时，连结EB，同

（2）①可得∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB＋∠DBE，∠EDP=∠DAP＋∠DPA，∵∠DEP=∠DPA，

∴∠DBE=∠DAP=45°，

∴△DEF是等腰直角三角形．

过点F作FG⊥OB于点G，同理可得