南昌中考数学压轴题大集合.doc
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南昌中考数学压轴题分析大集合
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15879110114150“南昌启能辅导中心初三加强班授课笔记”
79050654
一、函数与几何综合的压轴题
1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：
A（-2,-6）,C（1,-3）
（1）求证：
E点在y轴上；
（2）如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
（3）如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k（k>0）个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.
图②
C（1+k，-3）
A
（2，-6）
B
D
O
x
E′
y
C（1，-3）
A
（2，-6）
B
D
O
x
E
y
图①
[解]
（1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：
过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC
∴
又∵DO′+BO′=DB
∴
∵AB=6，DC=3，∴EO′=2
又∵，∴
∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上
方法二：
由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：
y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：
y=-x-2②
联立①②得
∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上
（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c（a≠0）过A（-2，-6），C（1，-3）
E（0，-2）三点，得方程组
解得a=-1,b=0,c=-2
∴抛物线方程y=-x2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
由
（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。
同
（1）可得：
得：
E′F=2
方法一：
又∵E′F∥AB，∴
S△AE′C=S△ADC-S△E′DC=
==DB=3+k
S=3+k为所求函数解析式
方法二：
∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA
∴S△AE′C=S△BDE′
∴S=3+k为所求函数解析式.
证法三：
S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2
同理：
S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4
∴
∴S=3+k为所求函数解析式.
2.（2004广东茂名）已知：
如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：
直线AB是否⊙M的切线？
并对你的结论加以证明；
（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线
y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式.
[解]
（1）解：
由已知AM＝，OM＝1，
在Rt△AOM中，AO＝，
∴点A的坐标为A（0，1）
（2）证：
∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1 ∴y＝x＋1
令y＝0则x＝－1 ∴B（—1，0），
AB＝
在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2
∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°
∴直线AB是⊙M的切线
（3）解法一：
由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，
∴BC＝
∵∠BAC＝90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC，
A
B
C
D
x
M
·
y
∴
而
，
设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：
y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法二：
（接上）求得∴h＝5
由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5
又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5
解法三：
（接上）求得∴h＝5
因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
由已知得
∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.
3.（2004湖北荆门）如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上.
（1）求⊙P上劣弧的长；
（2）求抛物线的解析式；
A
B
C
O
x
y
·
P（1，－1）
（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？
若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]
（1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.
在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,
∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°
A
B
C
O
x
y
P（1，－1）
·
M
的长＝
（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝.
又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），
由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
则C（1，－3）.
点A、B、C在抛物线上，则
解之得
抛物线解析式为
（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.
又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.
又点D（0，－2）在抛物线上，故存在点D（0，－2），
使线段OC与PD互相平分.
4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：
直线EF与两圆有怎样的位置关系？
并证明你的猜想.
A
y
x
B
E
F
O1
Q
O
O2
C
（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：
在轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？
若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
[解]
（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴△AOC≌△COB.
∴OC2＝OA·OB.
∵OA∶OB＝3∶1,C（0,）,
B
A
E
F
O1
Q
O
O2
y
x
2
1
3
4
N
M
P
C
∴
∴OB＝1.∴OA＝3.
∴A（-3,0）,B（1,0）.
设抛物线的解析式为
则解之，得
∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为
（2）EF与⊙O1、⊙O2都相切.
证明：
连结O1E、OE、OF.
∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,
∴四边形EOFC为矩形.
∴QE＝QO.
∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，
∴EF与⊙O1相切.
同理：
EF理⊙O2相切.
（3）作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.
∵MN∥OA,
∴△CMN∽△CAO.
∴
∴
解之，得
此时，四边形OPMN是正方形.
∴
∴
考虑到四边形PMNO此时为正方形，
∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.
故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或
5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A（0，1）、C（4，3）、E（，），P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．
（1）说明点A、C、E在一条条直线上；
（2）能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?
请说明理由；
（3）设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?
若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．
X
O
P
D
C
A
B
Y
（本题图形仅供分析参考用）
[解]
（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）确定的解析式为：
y=x+1.
将点E的坐标E（，）代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=，
∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E
在一条直线上.
（2）解法一：
由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下
解法二：
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.
X
G
F
O
P
D
E
C
A
B
Y
（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴GO·AO—FO·AO=3∵OA=1，∴GO—FO=6.设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0＜x2，
∴GO=x2，FO=—x1，∴x2—（—x1）=6，
即x2+x1=6，∵x2+x1=—∴—=6，
∴b=—6a,
∴抛物线解析式为：
y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为（3，1—9a）,∵顶点P在矩形ABCD内部，
由方程组
y=ax2—6ax+1
y=x+1
得：
ax2—（6a+）x=0
∴1＜1—9a＜3,∴—＜a＜0.
∴x=0或x==6+.
当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交
点，则有：
0＜6+≤，解得：
—≤a＜—
综合得：
—＜a＜—∵b=—6a，∴＜b＜
0
x
y
6.（2004湖南长沙）已知两点O（0，0）、B（0，2），⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.
（1）求⊙A的半径；
（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；
（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；
（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.
[解]
（1）由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º
再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝
（2）⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx
任取l上一点（b，kb），由l与y轴夹角为45º可得：
b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，
∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x
又由r＝，易得C（2，0）或C（－2，0）
由此可设抛物线解析式为y＝ax（x－2）或y＝ax（x＋2）
再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1
∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分
（3）当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P（m，－m）（m＞0）
过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，
又由切割线定理可得：
OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分
∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E（－2，2）…8分
同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E（－2，2）
（4）若C（2，0），此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2，
当m＜0时，FC＝2（2－m），高为|yp|即为－m，
∴S＝
同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；
∴S＝又若C（－2，0），
此时l为y＝x，同理可得；S＝
A
A
B
（－2,0）C
C（2,0）
l
O
P
E
P′
x
y
（2,0）
P
C
l
O
y
x
C
F
F
F
P
P
7.（2006江苏连云港）如图，直线与函数的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．
（1）若的面积是的面积的倍，求与之间的函数关系式；
y
x
（2）在
（1）的条件下，是否存在和，使得以为直径的圆经过点．若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．
[解]
（1）设，（其中），
由，得
∴··（····），，
又，∴，即，
由可得，代入可得①
y
x
∴，，
∴，即．
又方程①的判别式，
∴所求的函数关系式为．
（2）假设存在,，使得以为直径的圆经过点．
则，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．
∵与都与互余，∴．
∴Rt∽Rt，∴．
∴，∴，∴，
即②
由
（1）知，，代入②得，
∴或，又，∴或，
∴存在,，使得以为直径的圆经过点，且或．
8.（2004江苏镇江）已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6.
（1）求抛物线和直线BC的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.
（3）若过A、B、C三点，求的半径.
（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部分？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]
（1）由题意得：
x
y
O
解得
经检验m=1，∴抛物线的解析式为：
或：
由得，或
抛物线的解析式为
由得
∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.
设直线BC的解析式为
则
∴直线BC的解析式为
（2）图象略.
（3）法一：
在中，
.
又
∴的半径
法二：
由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线的对称轴直线上，设P（－2，－h）（h＞0），
连结PB、PC，则，
由，即，解得h=2.
的半径.
法三：
延长CP交于点F.
为的直径，
又
又
的半径为
（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为则点E的坐标为
若则
解得（不合题意舍去），
若则
解得（不合题意舍去），
存在点M，点M的坐标为或（15，280）.
9.如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为、，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.
（1）若抛物线经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.
（2）求直线DF的解析式.
（3）是否存在过点G的直线，使它与
（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？
若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
（第9题图）
A
y
x
O
N
M
G
F
E
D
C
B
[解]
（1）∵抛物线过A、B两点，
∴，m=3.
∴抛物线为.
又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.
∴D点坐标为.
（2）由题意知：
AB=4.
∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2.∴ON=1.
由相交弦定理得：
NA·NB=ND·NC，
∴NC×4=2×2.∴NC=1.
∴C点坐标为.
设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°.
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.
∵GC、GF是切线，
F
B
A
y
x
O
N
M
G
E
D
C
P
1
2
3
4
∴GC=GF.∴∠3=∠4.
∴∠1=∠2.
∴GF=GP.
∴GC=GP.
可得CP=8.
∴P点坐标为
设直线DF的解析式为
则解得
∴直线DF的解析式为：
（3）假设存在过点G的直线为，
则，∴.
由方程组得
由题意得，∴.
当时，，
∴方程无实数根，方程组无实数解.
∴满足条件的直线不存在.
10.（2004山西）已知二次函数的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？
如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]
（1）解：
∵二次函数的图象过点A（－3，6），B（－1，0）
x
O
y
得 解得
∴这个二次函数的解析式为：
由解析式可求P（1，－2），C（3，0）
画出二次函数的图像
（2）解法一：
易证：
∠ACB＝∠PCD＝45°
又已知：
∠DPC＝∠BAC ∴△DPC∽△BAC
∴ 易求
∴∴ ∴
解法二：
过A作AE⊥x轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x轴于F.
亦可证△AEB∽△PFD、
∴. 易求：
AE＝6，EB＝2，PF＝2
∴∴ ∴
（3）存在.
（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，
∴MG＝MH＝OM
又∵且OM＋MC＝OC
∴
∴
（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′
同理OM′＋OC＝M′C，
得 ∴M′
即在x轴上存在满足条件的两个点.
M′
T
1
1
-1
-2
4
-3
2
3
0
5
6
E
-1
-2
2
3
A
C
x
y
B
D
M
F
S
G
H
P
11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
A
B
C
M
O
x
y
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.
[解]
（1），顶点坐标为（1，－4）.
（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），
即y＝ax2－2ax－3a，
∴A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），
M（1，－4a），
∴S△ACB＝×4×＝6，
而a＞0，∴S△ACB＝6A、
作MD⊥x轴于D，
又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，
∴S△ACM：
S△ACB＝1：
6.
（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，
有菱形可知＝，a＋k＞0，k＜0，
∴k＝，
∴y＝ax2－2ax＋，∴.
记l与x轴交点为D，
若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，
∴k＝－，a＝，
∴抛物线的解析式为.
若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，
∴k＝－，a＝，
∴抛物线的解析式为.
②当抛物线开口向下时，同理可得
，.
12.（2005北京）已知：
在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。
若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足
（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
[解]
（1）解法一：
∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点
解法二：
∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点
∴抛物线的对称轴为直线
（2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA
∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
又由
（1）知抛物线的解析式为
∴点D的坐标为（）
①当时，
如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'
∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切
∴点O为切点
∴D'O⊥OD
∴∠DOA＝∠D'OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形
∴点D的纵坐标为
∴抛物线的解析式为
②当时，
同理可得：
抛物线的解析式为
综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或
（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①当点P在抛物线上时（如图2）
∵点B是⊙D的优弧上的一点
过点P作PE⊥x轴于点E
由解得：
（舍去）
∴点P的坐标为
②当点P在抛物线上时（如图3）
同理可得，
由解得：
（舍去）
∴点P的坐标为
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为
或
13.（2005北京丰台）在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。
（1）如图，过点A作⊙的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；
（2）若⊙经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。
[解]
（1）如图1，过O作于G，则
设
（3，0）
AB是⊙的直径
切⊙于A，
在中
设直线AC的解析式为，则
直线AC的解析式为
（2）结论：
的值不会发生变化
设的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示
图2
则
在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN
平分
的值不会发生变化，其值为4。
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