福建省南平市中考数学试卷及答案.doc
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2016年福建省南平市初中毕业、升学考试
数学试题
（满分：
150分；考试时间：
120分钟）
★友情提示：
①所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；
②试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．的倒数等于
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体的左视图是
（第2题图）
a
b
c
1
2
A
B
（第3题图）
A.
B.
C.
D.
3．如图，直线a∥b，直线c与a、b分别交于A、B两点，
若∠1=46°，则∠2=
A．44° B．46°
C．134° D．54°
4．下列事件是必然事件的是
A．某种彩票中奖率是1％，则买这种彩票100张一定会中奖
B．一组数据1，2，4，5的平均数是4
C．三角形的内角和等于180°
D．若是实数，则＞0
5．2016年欧洲杯足球赛中，某国家足球队首发上场的11名队员身高如下表：
身高（cm）
176
178
180
182
186
188
192
人数
1
2
3
2
1
1
1
则这11名队员身高的众数和中位数分别是（单位：
cm）
A．180，182 B．180，180 C．182，182 D．3，2
6．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于
A．4 B．2 C． D．
7．下列运算正确的是
A． B．
C． D．
8．下列一元二次方程中，没有实数根的是
A． B．
C． D．
…
（第10题图）
O
y
x
B3
B2
B1
S1
S2
S3
A1
A2
A3
l
9．闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷．为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%．设把公顷旱地改造为林地，则可列方程为
A．B．
C．D．
10．如图，已知直线，分别过轴上的点（1，0）、
（2，0）、…、（n，0），作垂直于轴的直线交于点、、…、，将△、四边形、…、四边形的面积依次记为、、…、，则
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）
11．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则这两人中成绩更稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
12．计算：
．
A
B
C
E
D
F
O
（第15题图）
13．分解因式：
= ．
14．写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上：
．
15．如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且，点O为线段EF的中点，过点O作直线
与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF．
则这样的直线PQ（不同于EF）有条．
A
B
C
D
P
Q
（第16题图）
16．如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°.点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ.给出下列结论：
①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；
③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形.
其中所有正确结论的序号是 ．
（背面还有试题）
三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）
17．（8分）计算：
．
18．（8分）解分式方程：
．
19．（8分）解不等式组：
人数
非常了解
不太了解
比较了解
等级
基本了解
不太了解
非常了解
20%
比较了解
基本了解
90
60
30
（第20题图）
20．（8分）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，一年过去了，为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有________人；
（2）在扇形统计图中，表示“比较了解”的扇形的圆心角度数为________度；
（3）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率是多少？
A
B
C
D
E
（第21题图）
21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7.
D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E.
求线段DE的长.
（第22题图）
A
B
C
P
O
D
22．（10分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点．
点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D．
（1）求证：
OC=AD；
（2）若∠P=50°，⊙O的半径为4．
求四边形AOCD的周长．（精确到0.1）
23．（10分）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点A（2，1）.
O
x
y
（第23题图）
A（2,1）
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
-1
-2
-4
-5
-3
（1）求、的值；
（2）在直角坐标系中画出这两个函数的大致图象，
并根据图象直接回答>时的取值范围.
24．（12分）已知，抛物线经过点A（4，4）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线上存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形.请直接写出所有符合条件的点B的坐标：
____________________.
（3）如图2，直线经过点C（0，-1），且平行于轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交于点E，过点E作
y
x
l
G
C
O
D
F
E
（图2）
x
A
O
y
（图1）
EF⊥，交抛物线于点F.求证：
直线DF一定经过点G（0，1）.
25．（14分）已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）.
（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G.
①求证：
PG=PF；
②探究：
DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论.
（2）拓展：
如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G.你认为
（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？
若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由.
A
B
C
D
E
F
G
H
P
（图1）
（图2）
A
B
C
D
E
F
G
P
2016年福建省南平市初中毕业、升学考试
数学试题参考答案及评分说明
说明：
（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分．
（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．
（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分．
（4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．D；2．A；3．B；4．C； 5．B；6．A；7．C；8．B；9．A；10．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．甲； 12．28；13．；
14．如（只要中即可）；15．3；16．①②④.
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．解：
原式=…………………………………………………………………6分
=…………………………………………………………………………8分
18．解：
……………………………………………………………………3分
…………………………………………………………………4分
……………………………………………………………………5分
……………………………………………………………………6分
……………………………………………………………………7分
检验：
当时，∴原分式方程的解为……………8分
19．解：
解不等式①得，…………………………………………3分
解不等式②得，……………………………………………6分
∴不等式组的解集为：
……………………………………………8分
20．解：
（1）300…………………………………………………………………2分
（2）108……………………………………………………………………4分
（3）∵被调查学生中“基本了解”的人数为：
300-（60+90+30）=120（人）…5分
占被调查学生人数的百分比：
………………………………………6分
A
B
C
D
E
（第21题图）
∴抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率是：
P=40%（或=或0.4）……8分
21．解法一：
∵DE⊥AB，∴∠BED=90°………1分
又∠C=90°，∴∠BED=∠C………………2分
又∠B=∠B……………………………3分
∴△BED∽△BCA…………………………5分
∴………………………………7分
∴……………8分
解法二：
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=……2分
∴∠B=30°……………………………………………5分
∵DE⊥AB，∴∠BED=90°…………………………6分
∴在Rt△BDE中，………8分
22．
（1）证法一：
：
∵PA切⊙O于点A
∴OA⊥PA，即∠OAD=90°…………………………1分
∵OC∥AP
∴∠COA=180°-∠OAD=180°-90°=90°…………2分
又∵CD⊥PA
∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°……………………3分
∴四边形AOCD为矩形……………………………4分
∴OC=AD……………………………………………5分
证法二：
∵PA切⊙O于点A，CD⊥PA
（第22题图）
A
B
C
P
O
D
∴∠OAP=∠CPD=90°…………………………1分
∴OA∥CD………………………………………2分
∵OC∥AP………………………………………3分
∴四边形AOCD为平行四边形………………4分
∴OC=AD………………………………………5分
（2）∵PB切⊙O于点B
∴∠OBP=90°………………………………………6分
∵OC∥AP
∴∠BCO=∠P=50°…………………………………7分
在Rt△OBC中，sin∠BCO=，OB=4
O
x
y
（第23题图）
A（2,1）
1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
-1
-2
-4
-5
-3
∴……………9分
∴矩形OADC的周长为：
2（OA+OC）≈2×（4+5.22）≈18.4………10分
23．解：
（1）把点A（2，1）分别代入y1=ax和
中得，…………………4分
（2）正确画出直线和双曲线的示意图各1分…6分
由图象知，当y1＞y2时，-2＜x＜0或x＞2…10分
24.
（1）解：
∵抛物线y=ax2过点A（4，4）
∴16a=4，解得………………………2分
∴抛物线解析式为yx2…………………3分
（2）点B的坐标为（-4，4）或（-8，16）……………7分
（3）证明：
设D（m，m2），则直线DO解析式为
∵l∥x轴，且过点C（0，-1），令时，
y
x
l
G
C
O
D
F
E
（图2）
∴直线DO与l交于点E（，）……………8分
又∵EF⊥l，l∥x轴，
∴点F横坐标为，∵点F在抛物线yx2上，
∴点F的坐标为（，）…………………9分
解法一：
设直线DF解析式为：
y=kx+b，把D、F坐标代入得
解得……………………………………………10分
∴直线DF解析式为……………………………………………11分
则点G（0，1）满足直线DF解析式.（注：
考生若只求得b=1，有说明理由可得满分）
∴直线DF一定经过点G………………………………………………………12分
解法二：
∵G（0，1），设直线DG解析式为：
y=kx+1，把D（m，m2）代入得
，解得，∴直线DG解析式为…10分
当x=时，代入直线DG解析式得y=……………11分
∴点F的坐标（，）满足直线DG解析式
∴直线DG过点F，根据两点确定一条直线
∴直线DF一定过点G.………………………………………………………………12分
25.
（1）①证法一：
如图1，由已知：
∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD………1分
A
B
C
D
E
F
G
H
P
（图1）
∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°
得到△HPD为等腰直角三角形…………………2分
∴∠DHP=∠PDF=45°且PH=PD………………3分
∴△HPG≌△DPF………………………………4分
∴PG=PF…………………………………………5分
证法二：
如图2，①过点P分别作PM、PN垂直于AD、DC.垂足为M、N………1分
则∠PMG=∠PNF=90°，∵DE平分∠ADC，∴PM=PN……………………2分
在矩形ABCD中，∠ADC=90°
∴四边形PNDM为正方形，∴∠MPN=90°
A
B
C
D
E
F
G
H
P
（图2）
M
N
由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°
∴∠MPG+∠MPF=∠MPF+∠NPF=90°
∴∠GPM=∠NPF……………………………3分
∴Rt△PMG≌Rt△PNF………………………4分
∴PG=PF………………………………………5分
②结论：
证法一：
由①已证△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF………6分
∴HD=，HG=DF……………………………………………………7分
∴，∴………………8分
证法二：
∵∠HPD=∠GPF=90°，∴∠GPH=∠FPD
由①已证△PMG≌△PNF，∴∠PGM=∠PFN，PG=PF
∴∠PGH=∠PFD，∴△HPG≌△DPF…………………………………6分
∴HG=DF，PH=PD，∴△HPD为等腰直角三角形，∴HD=…7分
∴，∴………………8分
（2）答：
（1）中的结论不成立，数量关系式应为：
……9分
证法一：
如图3，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H
∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD…………10分
（图3）
A
B
C
D
E
F
G
P
H
∵DE平分∠ADC且在矩形ABCD中，∠ADC=90°
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形………11分
∴∠DHP=∠EDC=45°且PH=PD，HD=…………………12分
∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°
∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF…………13分
∴DH=DG-HG=DG-DF，∴………14分
证法二：
如图4，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，过点P分
别作PM、PN垂直于AD、DC，垂足为M、N…………10分
（图4）
A
B
C
D
E
F
G
P
M
N
H
∵DE平分∠ADC
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形.………11分
∴HD=……………………………12分
由
（1）①已证得△PMG≌△PNF，∴∠G=∠F，PG=PF
又∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD
∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF……………………13分
∴DH=DG-HG=DG-DF，∴……14分
数学试题 第10页（共4页）
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