国家开放大学《数学思想与方法》期末复习题参考答案可下载编辑Word格式.docx

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（化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则）

二、判断题（每题4分，共20分。

在括号里填上是或否）

1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。

（是）

2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。

（否）

3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。

5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。

三、简答题（每题10分，共50分）

1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？

参考答案：

（1）因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。

因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

（2）另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。

（3）所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。

2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？

（1）因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。

《九章算术》将246个题目归结为九类，即九种不同的数学模型，分列为九章。

（2）它在每一章中所设置的问题，都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型，然后再通过“术”（即算法）转化成数学模型。

其中有些章就是专门探讨某种数学模型的应用。

（3）例如“勾股”、“方程”等章。

这在世界数学史上是最早的。

因此，我们说最早使用数学模型方法的是中国人。

3．什么是类比猜想？

并举一个例子说明。

（1）人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为类比猜想。

（2）例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。

因此，我们可以猜想，分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四则运算等方面都是对应相似的。

4．简述表层类比，并用举例说明。

（1）表层类比是根据两个被比较对象的表面形式或结构上的相似所进行的类比。

这种类比可靠性较差，结论具有很大的或然性。

（2）例如，从类比出是错误的，而类比出在数列极限存在的条件下是正确的。

（3）又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。

5．数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原则？

试举例说明。

（1）数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。

（2）学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的沿着螺旋式方向上升的。

（3）例如，学生理解数形结合方法可从小学的画示意图找数量关系着手孕育；

在学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等。

在数列极限存在的条件下是正确的。

（4）又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种结构上的类比。

模拟试卷B卷

1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（《几何原本》）。

2．随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果）。

3．演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

4．在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）。

5．（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

6．三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。

7．传统数学教学只注重（形式化数学知识）的传授，而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。

8．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。

9．分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分）。

10．数学模型可以分为三类：

（概念型、方法型、结构型）。

1．数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。

2．在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。

3．如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。

4．分类可使知识条理化、系统化。

5．在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。

1．我国数学教育存在哪些问题？

（1）数学教学重结果，轻过程；

重解题训练，轻智力、情感开发；

不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下；

（2）重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力；

（3）学生学业负担过重。

原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。

2．《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？

《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。

第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；

初始概念必须是直接可以理解的，因而无需加以定义。

第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规则；

同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。

3．简述数学抽象的特征。

数学抽象有以下特征：

（1）数学抽象具有无物质性；

（2）数学抽象具有层次性；

（3）数学抽象过程要凭借分析或直觉；

（4）数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象

4．什么是算法的有限性特点？

试举一个不符合算法有限性特点的例子。

（1）算法得有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。

（2）例如，对初始数据20和3，计算过程为

无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。

如果在某一处中断过程，我们只能得到一个近似的、不准确的结果。

而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。

可见，十进小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。

5．简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。

（1）由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。

（2）因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。

模拟试卷C卷

一、填空题（每空格3分，共30分）

1．（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

2．三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提）、（小前提）、（结论）三部分组成。

3．传统数学教学只注重（形式化数学知识）的传授，而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。

4．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。

5.数学模型可以分为三类：

（概念型）、（方法型）、（结构型）。

1．数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。

2．数学公理化方法在其他学科也能起到作用，所以它是万能的。

3．数学模型具有预测性、准确性和演绎性，但不包括抽象性。

4．猜想具有两个显著的特点：

一定的科学性和一定的推测性。

5．表层类比和深层类比其涵义是一样的。

1．为什么说数学模型方法是一种迂回式化归？

（1）运用数学模型方法解决问题时，不是直接求出实际问题的解，因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。

（2）而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型，然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解，走的是一条迂回的道路。

（3）因此，我们说数学模型方法是一种迂回式化归。

2．特殊化在数学教学中的作用有哪些？

（1）利用特殊值（图形）解选择题。

（2）利用特殊化探求问题结论。

（3）利用特例检验一般结果。

（4）利用特殊化探索解题思路。

3．为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用？

（1）数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。

（2）因此，在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。

（3）充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。

4．什么是公理方法和公理体系？

简要地说就是从初始概念和公理出发，按照一定的规律定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。

公里体系由初始命题、公理、逻辑规则、定理等构成。

5．简述数学思想方法教学的几个主要阶段。

（1）潜意识阶段——在这个阶段学生只注意数学知识的学习，注意知识积累，而未曾注意到对这些知识起到横向联系和固定作用的思想方法，或者只是处于一种“朦朦胧胧”、“若有所悟”的状况；

（2）明朗化阶段——随着运用同一种数学思想方法解决不同的数学问题的实践机会的增多，隐藏在数学知识后面的思想方法就会逐渐引起学生的注意和思考，直至产生某种程度的领悟。

当经验和领悟积累到一定程度时，这种事实上已经被应用多次的思想方法就会凸现出来，学生开始理解解题过程中所使用的方法与策略，并且概括总结出这一思想方法；

（3）深刻理解阶段——在这个阶段，学生基本上能正确运用某种数学思想方法进行探索和思考，以求得问题的解决。

同时，在解决问题的实践过程中，学生又将加深了对数学思想方法的理解，并养成了有意识地、自觉地运用数学思想方法解决问题的思维习惯。

模拟试卷D卷

1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）。

2．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。

3．古代数学大体可分为两种不同的类型：

4．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势

5．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：

（潜意识阶段）、（明朗化阶段）、（深刻理解阶段）。

6．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（《几何原本》）。

7．随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果）。

8．演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

1．数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”最后由欧拉用一笔画方法解决了其无解。

2．分类方法具有两要素：

母项与子项。

3．算法具有无限性、不确定性与有效性。

4．理论方法、实验方法和计算方法并列为三种科学方法。

5．最早使用数学模型方法的当数中国古人。

1．模型化的方法、开放性的归纳体系及算法化的内容之间的关系

模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容之间是互相适应并且互相促进的。

虽然，各个数学模型之间也有一定的联系，但是它们更具有相对独立性。

一个数学模型的建立与其它数学模型之间并不存在逻辑依赖关系。

正因为如此，所以可以根据需要随时从社会实践中提炼出新的数学模型。

另一方面，由于运用模型化的方法研究数学，新的数学模型从何产生？

只有寻找现实原型、立足于现实问题的研究，这就不可能产生封闭式的演绎体系。

解决实际问题还提出了这样的要求：

对由模型化方法求得的结果必须能够检验其正确性和合理性，为了能够求得实际可用的结果，于是算法化的内容也就应运而生。

2．算术与代数的解题方法基本思想有何区别？

区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；

算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处列方程。

3．简单说明社会科学数学化的主要原因？

第一，社会管理需要精确化的定量依据；

第二，社会科学理论体系的发展需要精确化；

第三，出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支；

第四，电子计算机的发展与应用。

4．第一次数学危机最终如何解决了？

第一次数学危机并没有轻易地很快解决。

最后约在公元前370年，才由柏拉图的学生欧多克斯解决了。

他创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。

他处理不可公度的方法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。

这个问题到19世纪戴德金及康托尔等人建立了现代实数理论才算彻底解决。

5．何谓化归方法？

它遵循哪三个原则？

所谓化归方法，就是将一个问题进行变形，使其归结为另一已能解决的问题，既然已可解决，那么也就解决了。

化归方法遵循三个原则：

简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。