国家开放大学《数学思想与方法》网络讨论参考答案.docx
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国家开放大学《数学思想与方法》网络讨论参考答案
1.谈谈你对学习本课程的认识
参考答案：
数学思想与方法课程是研究数学思想方法及其教学的一门课程。
随着现代科学技术的迅速发展和素质教育的全面实施，对科学思想、科学方法有着全局影响的数学思想方法其重要性日益凸现。
鉴于数学思想方法在素质教育中的重要作用，数学思想与方法被列为国家开放大学小学教育专业（专升本）的一门重要的必修课。
本课程的主要内容分为三大块：
上篇为数学的起源与基本内涵；中篇为各种数学方法的介绍与应用；下篇为数学的素质教育及实施。
课程内容包括数学思想与方法的两个源头、数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理性、现代数学的发展趋势、抽象与概括、猜想与反驳、演绎与化归、计算与算法、应用与建模、其他方法、数学思想与方法与素质教育、数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案例。
2.西方数学的特质？
东方数学的特质？
参考答案：
古希腊数学和中国古代数学有许多共同之处。
但是，由于希腊和中国这两个文明古国的社会制度、数学和哲学的关系、文化背景及统治阶级对数学的态度等方面的差异．又决定了希腊与中国古代数学的很大不同。
首先，从内容上，古希腊数学以定性研究为主，以几何研究为中心；中国数学则以定量研究为主，以算法研究为中心。
其次，希腊数学不是用来解决实际问题的，他们所研究的内容都是离开具体应用对象的相当抽象的性质。
相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并在应用中发展。
离开实际应用的纯理论数学在中国未占主流。
第三，从形式上说，希腊数学都包括命题的证明，并试图构成一个演绎体系。
与此不同，中国传统数学的特色是构造性、计算性和机械化。
中国古代数学著作则采取应用问题集的形式。
第四，由于中国古代数学家追求实际应用的效果，而古希腊数学家强调逻辑的严密，因此中国古代数学家没有像希腊人那样受悖论困扰。
《几何原本》是古希腊数学的代表，而中国古代数学以《九章算术》为代表。
《几章算术》确立了中国古代数学应用题的形式，以算法为中心的特点，理论联系实际的风格，构筑了中国古代数学的基本框架。
在中国和东方影响深远。
今天，电子计算机的广泛应用使人们重新认识到中国算法的重要意义。
3.数学思想方法突破的基础是什么？
参考答案：
（1）在认知心理学里，思想方法属于元认知范畴，数学思想对认知活动起着监控、调节作用，对培养能力起着决定性的作用。
学习数学的目的“就意味着解题”（波利亚语），解题的关键在于找到合适的解题思路，数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想。
因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，提高学生的元认知水平，是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。
（2）数学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。
未来社会需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。
因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。
（3）小学数学教材是数学教学的显性知识系统，许多重要的法则、公式，教材中只能看到结论，许多例题的解法也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括和探索推理的心智活动过程。
因此，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统，小学数学教学应包括显性和隐性两方面知识的教学。
教师如果在教学中仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，即使讲深讲透，并要求学生记住结论，掌握解题的类型和方法，这样培养出来的学生也只能是“知识型”、“记忆型”的，将完全背离数学教育的目标。
（4）小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。
如果将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。
淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构，而且必将影响其能力的发展和数学素质的提高。
因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破。
（5）小学数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有转化思想、类比思想、统计思想、符号思想、模型化思想、对应思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了小学数学知识的精髓。
4.数学的三次危机产生的原因。
参考答案：
第一次数学危机是无理数的诞生，发现根号2不能写成两个整数相除，最终无理数被纳入了实数范围。
第二次数学危机源于微积分工具的使用，由于定义不严格，无穷小量这些概念引起争论，最终建立了实数理论，极限理论，使得数学分析有了严格基础。
第三次数学危机是关于集合论，即著名的罗素悖论，集合的定义受到了攻击.最终通过不同的公理化系统解决，使数理逻辑等学科得到发展。
历史上的三次数学危机，给人们带来了极大的麻烦，危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段，所以悖论是科学发展的产物，又是科学发展源泉之一.第一次数学危机使人们发现无理数，建立了完整的实数理论，欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系；第二次数学危机的出现，直接导致了极限理论、实数理论和集合论三大理论的产生和完善，使微积分建立在稳固且完美的基础之上；第三次数学危机，使集合论成为一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性.
5.当下计算机的应用又有哪些进展?
参考答案：
计算机的6个应用领域：
科学计算、数据处理、人工智能、计算机辅助设计与制造、过程控制和多媒体技术。
6.抽象与概括
参考答案：
抽象是在思想上把事物的本质属性、特征抽取出来，并把这些本质属性、特征与其它属性、特征分离开来的思维过程；概括是在思想上把抽象出来的本质属性、特征推广到同类事物中去的思维过程。
7.举一个用完全归纳法的实例
参考答案：
完全归纳法 :
把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。
完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。
与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。
通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法
归纳法：
条件：
我养的一只猫a喜欢吃鱼
邻居家的一只猫b喜欢吃鱼
猫c喜欢吃鱼
猫d喜欢吃鱼
结论：
猫喜欢吃鱼 .
8.比较归纳猜想与类比猜想的异同？
参考答案：
（1）相同点：
它们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反驳。
（2）不同点：
归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，是一种由特殊到一般的推理形式，其思维步骤为“特例—归纳—猜测”。
类比猜想是运用类比法得到的猜想，是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想—类比—猜测”。
9.什么是公理方法和公理体系?
参考答案：
（1）公理化方法：
在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的法则，把该系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。
它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。
（2）公理体系也称公理系统：
一个公理系统（或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个公理的集合，从中一些或全部公理可以用来一起逻辑的导出定理。
一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成。
一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例；但是通常完全形式化的努力带来在确定性上递减的收益，并让人更加无法阅读。
所以，公理系统的讨论通常只是半形式化的。
一个形式化理论通常表示一个公理系统，例如在模型论中表述的那样。
一个形式化证明是一个证明在形式化系统中的表述。
10.简述算法工具的发展历史
参考答案：
“算法”即演算法的大陆中文名称出自《周髀算经》；而英文名称Algorithm来自于9世纪波斯数学家al-Khwarizmi，因为al-Khwarizmi在数学上提出了算法这个概念。
“算法”原为algorism，意思是阿拉伯数字的运算法则，在18世纪演变为algorithm。
欧几里得算法被人们认为是史上第一个算法。
第一次编写程序是AdaByron于1842年为巴贝奇分析机编写求解伯努利方程的程序，因此AdaByron被大多数人认为是世界上第一位程序员。
因为查尔斯·巴贝奇（CharlesBabbage）未能完成他的巴贝奇分析机，这个算法未能在巴贝奇分析机上执行。
因为well-definedprocedure缺少数学上精确的定义，19世纪和20世纪早期的数学家、逻辑学家在定义算法上出现了困难。
20世纪的英国数学家图灵提出了著名的图灵论题，并提出一种假想的计算机的抽象模型，这个模型被称为图灵机。
图灵机的出现解决了算法定义的难题，图灵的思想对算法的发展起到了重要作用。
11.就下面例子进行讨论，对其建立数学模型。
案例：
库存问题：
商店经营商品需要仓库存货，而贮存货物需要贮存费用，若进货太多，一时卖不掉，就得净付存货费；但是进货太少也不行，这是因为每次进货总得耗费人力、物力，诸如派人采购、动用车辆运输、电讯联络等都要用钱。
那么每次究竟进货多少最经济?
参考答案：
所谓每次进货多少最经济，就是指每年用于采购订货及库存的总费用最少。
为了建立库存问题的数学模型，必须掌握某商品的全年销售量，该商品的每次进货量，每件商品的年存贮费用，每次进货所需的费用。
为了保证商品不脱销，还应考虑仓库中要有一定数量的备用商品，进货商品中的不合格率和运输途中的损坏率等。
要同时考虑这许多因素，建立数学模型就比较困难，因此可将问题适当简化，对于该问题中的备用商品量，进货中的不合格率和运输过程中的损坏率等因素暂时不加考虑。
12.针对下面例子进行讨论
案例：
一个星级旅馆有150个房间。
经过一段时间的经营实践，经理得到数据：
如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为65%；如果每间客房定价为120元，住房率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%。
欲使每天收入提高，问每间住房的定价应是多少？
参考答案：
弄清实际问题加以化简。
经分析为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设：
设每间客房的最高定价为160元；
根据题中提供的数据.设随着房价的下降.住房率呈线性增长；
设旅馆每间客房定价相等。
13.数学教学中引起“分类讨论”的原因是什么?
参考答案：
数学教学中引起“分类讨论”的原因有：
数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论；数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要分类讨论有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论；许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同，会使问题出现不同的结果。
因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。
14.举一个应用数形结合方法的实例
参考答案：
把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成一包，怎样包装最省包装纸？
分析：
此题是小学数学比较典型的通过探索活动发现规律的题目，一般情况下教师会给学生足够的学具进行操作，拼出几种包装方法，再通过计算比较表面积的大小找到最佳答案。
现在我们从代数思想出发，不用任何操作和具体数量的计算，一般性地，假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，并且a>b>c（只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法计算的过程和结论）。
首先要明确的是，问题所求怎样包装最省包装纸，实际上就是求怎样拼才能使拼成的大长方体的表面积最小。
每个长方体有6个面，两个长方体拼成一个大长方体后仍然有6个面，但这6个面的面积是原来长方体的10个面的面积，其中有两个面是原来长方体的面，另4个面分别是原来的相同的两个面拼成的；也就是说，大长方体的表面积已经不是原来两个长方体的12个面的面积直接相加的和了，而是它们的和再减去拼在一起的两个面的面积和。
原来两个长方体的12个面的面积和是恒定不变的，因而大长方体的表面积的大小，取决于减去的（拼在一起的）两个面的面积和的大小，减去的两个面的面积和越大，大长方体的表面积就越小。
根据已知条件可知，ab>ac>bc，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。
列成公式为：
Ｓ＝4（ab+bc+ac）－2ab。
15.举一个应用特殊化方法的实例
参考答案：
利用特殊值（图形）解选择题
某些选择题按常规方法解比较困难或者运算繁琐，若利用特殊值（图形）来解则非常简捷。
例l给定一个三角形，设它的周长、外接圆半径长、内切圆半径长分别为。
l，R，r（这里R为定值），则下面结论正确的是（）
（A）l>R+r（B）l£R+r（C）l不妨考虑三角形的一些特殊情况。
当这个三角形的三个顶点彼此非常接近时，则该三角形各边的边长均远小于R，这时（A）和（C）显然都不成立。
当这个三角形是顶角很小的等腰三角形时，腰长接近于外接圆直径长，显然（B）也不能成立。
因此应选（D）。
16.针对数学思想方法教学的主要阶段，设想在具体教学中应该如何做？
参考答案：
一、改变应试教育观念，创新数学思想方法。
数学思想方法隐含在数学知识体系里，是无“形”的，而数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的。
作为教师首先要改变应试教育观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。
其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。
在小学数学教学中，教师不能仅仅满足于学生获得正确知识的结论，而应该着力于引导学生对知识形成过程的理解。
让学生逐步领会蕴涵其中的数学思想方法。
也就是说，对于数学教学重视过程与重视结果同样重要。
教师要站在数学思想方面的高度，对其教学内容，用恰当的语言进行深入浅出的分析，把隐蔽在知识内容背后的思想方法提示出来。
例如，长方体和正方体的认识概念教学，可以按下列程序进行：
（1）由实物抽象为几何图形，建立长方体和正方体的表象；
（2）在表象的基础上，指出长方体和正方体特点，使学生对长方体和正方体有一个更深层次的认识；（3）利用长方体和正方体的各种表象，分析其本质特征，抽象概括为用文字语言表达的长方体和正方体的概念；（4）使长方体和正方体的有关概念符号化。
显然，这一数学过程，既符合学生由感知到表象，再到概念的认知规律，又能让学生从中体会到教师是如何应用数学思想方法，对有联系的材料进行对比的，对空间形式进行抽象概括的，对教学概念进行形式化的。
二、课堂教学中及时渗透数学思想方法。
为了更好地在小学数学教学中渗透数学思想方法，教师不仅要对教材进行研究，潜心挖掘，而且还要讲究思想渗透的手段和方法。
在教学过程中，我经常通过以下途径及时向学生渗透数学思想方法：
（1）在知识的形成过程中渗透。
如概念的形成过程，结论的推导过程等，这些都是向学生渗透数学思想和方法的极好机会。
例如量的计量教学，首要问题是要合理引入计量单位。
作为课本不可能花大气力去阐述这个过程。
但是作为教师根据教学的实际情况，适当地展示它的简单过程和所运用的思想方法，有利于培养学生的创造性思维品质和为追求真理而勇于探索的精神。
例如，在“面积与面积单位”一课教学中，当学生无法直接比较两个图形面积的大小时，引进“小方块”，并把它一个一个地铺在被比较的两个图形上，这样，不仅比较出了两个图形的大小，而且，使两个图形的面积都得到了“量化”。
使形的问题转化为数的问题。
在这一过程中，学生亲身体验到“小方块”所起的作用。
接着又通过“小方块”大小必须统一的教学过程，使学生深刻地认识到：
任何量的量化都必须有一个标准，而且标准要统一。
很自然地渗透了“单位”思想。
（2）在问题的解决过程中渗透。
如：
教学“鸡兔同笼”这一课时，在解决问题的过程中，用图表、课件展示的方法让学生逐步领会“假设”这种策略的奥妙所在。
（3）在复习小结中渗透。
在章节小结、复习的数学教学中，我们要注意从纵横两个方面，总结复习数学思想与方法，使师生都能体验到领悟数学思想，运用数学方法，提高训练效果，减轻师生负担，走出题海误区的轻松愉悦之感。
如教学“梯形面积”这一单元之后，我及时帮助学生依靠梯形面积的推导过程回忆平行四边形的面积、三角形的面积公式的推导方法，使学生能清楚地意识到：
“转化”是解决问题的有效方法。
三、让学生学会自觉运用数学思想方法。
数学思想方法的教学，不仅是为了指导学生有效地运用数学知识、探寻解题的方向和入口，更是对培养人的思维素质有着特殊不可替代的意义。
它在新授中属于“隐含、渗透”阶段，在练习与复习中进入明确、系统的阶段，也是数学思想方法的获得过程和应用过程。
这是一个从模糊到清晰的飞跃。
而这样的飞跃，依靠着系统的分析与解题练习来实现。
学生做练习，不仅对已经掌握的数学知识以及数学思想方法会起到巩固和深化的作用，而且还会从中归纳和提炼出新的数学思想方法。
数学思想方法的教学过程首先是从模仿开始的。
学生按照例题师范的程序与格式解答和例题相同类型的习题，实际上是数学思想方法的机械运用。
此时，并不能肯定学生已领会了所用的数学思想方法，只当学生将它用于新的情景，解决其他有关的问题并有创意时，才能肯定学生对这一教学本质、数学规律有了深刻的认识。
17.利用下列材料，请你设计一个“不完全归纳法”教学片断。
参考答案：
不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。
不完全归纳法又叫做普通归纳法。
例如，求多边形内角和的公式时，先通过求四、五、六边形的内角和去寻找规律。
从每个多边形的一个顶点引出所有的对角线，这样，四边形被分成2个三角形，五边形被分成3个三角形，六边形被分成4个三角形。
由此，可以发现所分得的三角形的个数总比它的边数少2。
而每个三角形的内角和是180°，因此，归纳出n边形的内角和为（n-2）×180°。
这种归纳法是以一定数量的事实作基础，进行分析研究，找出规律。
但是，由于不完全归纳法是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论。
这样作出的结论有时可能不正确。
例如，在y=x2+X+41这个函数式中，当自变量x取0，1，2，3，……，38，39时，得出y的值为41，43，47，53，…，1601，这些数都是质数，如果由此得出“无论x取任何非负整数，y都是质数”的结论，那么这个结论就不对了。
因为当x=40时，则y=402+40+41=40×（40+1）+41=41×（40+1）=412，可以看出，y的值不是质数了，而是合数。
虽然不完全归纳法的结论有时可能不正确，但它仍是一种重要的推理方法。
18.谈谈你对本课程学习后的体会。
参考答案：
数学思维方法是对数学内容的思维运动形式的认识，学习数学思维，就是学习数学思维运动形式。
因此，数学的思维方法就成为学生数学学习的重要方面，同时，学生数学思维方法的掌握，对学生数学学习将起到很大的促进作用。
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