解析版中考数学常考易错点《角相交线与平行线》原创.doc

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角、相交线与平行线

易错清单

1.平行线的性质.

【例1】　（2014·湖北襄阳）如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于（　　）.

A.35° B.45°

C.55° D.65°

【解析】　利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得∠A=35°,然后利用平行线的性质得到∠1=∠A=35°.

【答案】　∵　BC⊥AE,

∴　∠ACB=90°.

∴　∠A+∠B=90°.

又∵　∠B=55°,

∴　∠A=35°.

又　CD∥AB,

∴　∠1=∠A=35°.

【误区纠错】　本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质.此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求∠1的度数.

【例2】　（2014·广东梅州）如图,把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是（　　）.

A.15° B.20°

C.25° D.30°

【解析】　根据两直线平行,内错角相等求出∠3,再求解即可.

【答案】　∵　直尺的两边平行,∠1=20°,

∴　∠3=∠1=20°.

∴　∠2=45°-20°=25°.

【误区纠错】　误认为∠1与∠2是内错角来解题.

【例3】　（2014·湖北孝感）如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数（　　）.

A.46° B.44°

C.36° D.22°

【解析】　根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1,再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.

【答案】　∵　l1∥l2,

∴　∠3=∠1=44°.

∵　l3⊥l4,

∴　∠2=90°-∠3=90°-44°=46°.

故选A.

【误区纠错】　本题考查了平行线的性质,垂线的定义,要熟记性质并准确识图.例外识别∠3与∠1是同位角很重要.

2.平行线的判定.

【例4】　（2014·湖南湘潭）如图,直线a,b被直线c所截,若满足　　　　,则a,b平行. 

【解析】　根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时,a∥b.其他合理答案亦可.

【答案】　∵　∠1=∠2,

∴　a∥b（同位角相等两直线平行）.

故可填∠1=∠2.

【误区纠错】　分不清三线八角,以及平行线的判定方法是解题的误区,本题属条件开放性题.

名师点拨

　　1.能记住点、线、面的概念.

2.能利用角的概念判断角的大小及角的表示方法;会进行角的换算;能正确区分角的大小;会进行角的和、差运算.

3.能区分补角、余角的概念,记住补角、余角的性质.

4.掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理并能正确使用.

5.会画直线的垂线;能区分垂线、垂线段的联系与区别.

6.掌握平行的概念,会进行平行线的判断.

7.能利用直尺画直线的平行线;会作两平行线间的距离;能确定并准确度量两平行线间的距离.

提分策略

1.直线平行与垂直的判定及简单应用.

计算角度问题时,要注意挖掘图形中的隐含条件（三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直）及角平分线知识的应用.

【例1】　如图,△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠1=155°,则∠B的度数为　　　　. 

【解析】　由∠1=155°,可求得∠BCD=∠CDE=25°,最后求∠B=65°.

【答案】　65°

2.平行线的性质和判定的应用.

主要理解和掌握:

（1）平行线的性质;

（2）平行线的判定.

【例2】　如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.

【解析】　①∠APC=∠PAB+∠PCD;

②∠APC=360°-（∠PAB+∠PCD）;

③∠APC=∠PAB-∠PCD;

④∠APC=∠PCD-∠PAB.

如证明①∠APC=∠PAB+∠PCD.

证明:

过点P作PE∥AB,所以∠A=∠APE.

又因为AB∥CD,所以PE∥CD.

所以∠C=∠CPE.

所以∠A+∠C=∠APE+∠CPE.

所以∠APC=∠PAB+∠PCD.

同理可证明其他的结论.

专项训练

一、选择题

1.（2014·四川峨眉山二模）如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠CPB.若∠BOD=70°,则∠COE的度数是（　　）.

A.45° B.70°

C.55° D.110°

（第1题）

（第2题）

2.（2014·北京平谷区模拟）如图,AB∥CD,O为CD上一点,且∠AOB=90°.若∠B=33°,则∠AOC的度数是（　　）.

A.33° B.60°

C.67° D.57°

3.（2014·山东日照模拟）将一副三角板按图中的方式叠放,则∠α等于（　　）.

A.75° B.60°

C.45° D.30°

（第3题）

（第4题）

4.（2013·广东广州海珠区毕业班综合调研）如图,∠1与∠2是同位角,若∠2=65°,则∠1的大小是（　　）.

A.25° B.65°

C.115° D.不能确定

5.（2013·浙江温州一模）如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,AB=6,DE=3,则BC的长为（　　）.

A.9 B.6

C.4 D.3

（第5题）

（第6题）

6.（2012·湖北荆门东宝区模拟）如图,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°.则∠3等于（　　）.

A.100° B.60°

C.40° D.20°

二、填空题

7.（2014·广东模拟）将三角板ABC按下图放置,使其三个顶点分别落在三条平行直线上,其中∠CAB=90°,且CF恰好平分∠ACB.若∠CBA=40°,则∠DAC的度数是　　　　. 

（第7题）

（第8题）

8.（2014·河南鹿邑一模）如图,∠1=∠2,∠3=40°.则∠4=　　　　. 

9.（2014·湖北鄂州二模）如图AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3=　　　　. 

（第9题）

（第10题）

10.（2013·湖北孝感模拟）如图,直线AB,CD相交于点E,EF⊥AB于点E,若∠CEF=59°,则∠AED的度数为　　　　. 

三、解答题

11.（2014·河南安阳模拟）已知:

在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:

（1）如图

（1）,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD=　　　　; 

（2）如图

（2）,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD=　　　　; 

（3）如图（3）,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.

（第11题）

参考答案与解析

1.C　[解析]

2.D　[解析]∠AOC=90°-33°=57°.

3.A　[解析]∠α=45°+（90°-60°）=75°.

4.D　[解析]两直线平行同位角相等,如果不能确定两直线是平行线则不能确定同位角之间的关系.

5.A　[解析]首先利用平行线判定两三角形相似,然后利用相似三角形对应边的比等于相似比求得线段BC的长即可.

6.A　[解析]∠3=∠1+∠2=100°.

8.140°　[解析]∠4=180°-∠3=140°.

9.60°　[解析]∠3=180°-（∠1+180°-∠2）=60°.

10.149°　[解析]∵　EF⊥AB于点E,∠CEF=59°,

∴　∠AEC=90°-∠CEF=90°-59°=31°.

∴　∠AED=180°-∠AEC=180°-31°=149°.

11.

（3）以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE.

∴　CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a.

∴　△CDE为等边三角形.

∴　CE=CD.

如图

（1）,当点E,A,C不在一条直线上时,

有CD=CE

如图

（2）,当点E,A,C在一条直线上时,

CD有最大值,CD=CD=a+b.

此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°,

∴　∠ACB=120°.

因此当∠ACB=120°时,

CD有最大值a+b.

（第11题）

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